(i) La s´erie

MVA101 Analyse et Calcul Matriciel 2015-2016

CONTR ˆOLE du 10 F´evrier 2016 Corrig´e

Exercice 1 : S´eries num´eriques.

(i) La s´erie

+∞

X

n=1

(−1)ⁿ 1−4n², est absolument convergente d’apr`es le crit`ere d´equivalence car

(−1)ⁿ 1−4n²

= 1

1−4n² ∼ 1 n². En particulier elle est convergente.

(ii) La s´erie

+∞

X

n=1

1 ne⁻ⁿ

est une s´erie `a termes positifs. On peut donc utiliser le crit`ere de comparaison avec e⁻ⁿ≤ 1

n

donc 1

ne⁻ⁿ≤ 1 n². La s´erie est donc convergente.

(iii) On consid`ere la s´erie

+∞

X

n=1

cos

π 1

2 − 1 n

. On a

cos π

2 −π n

= sin π

n

.

En particulier la s´erie est `a termes positifs. On utilisera le crit`ere d’´equivalence avec sin

π n

∼ π n ce qui nous donne que la s´erie est divergente.

Exercice 2 : S´eries enti`eres.

(i) Pour d´eterminer le rayon de convergenceR de la s´erie enti`ere

+∞

X

n=0

xⁿ 1 +n² on peut utiliser le crit`ere de d’Alembert et on a

n→∞lim

1 +n²

1 + (n+ 1)² = 1 doncR= 1. Pourx= 1 la s´erie

+∞

X

n=0

1 1 +n²

est convergente (s´erie de Riemann de param´etre 2). Par consequence la s´erie converge absolument pour x=−1.

(ii) Pour d´eterminer le rayon de convergenceR de la s´erie enti`ere

+∞

X

n=0

sin(n)xⁿ

on peut utiliser le crit`ere de comparaison sachant que sin(n) ≤1. DoncR ≥ 1. Or pour x= 1 la suites des termes g´en´erales sin(n) n’a pas de limite, en particulier ne tend pas vers 0. AinsiR = 1.

La suite est divergente enx=−1 pour la mˆeme raison.

Exercice 3 : S´erie de Fourier.

On consid`ere la fonction 2π-p´eriodique d´efinie par :

f(x) =x²−π², pour x∈]−π, π].

1.

La fonctionf est paire donc b_n= 0 pour toutn≥1. Or a₀= 1

2π Z _π

−π

(x²−π²)dx= 1 2π

2π³

3 −2π³

=−2 3π². Pout toutn≥1 on a

an= 1 π

Z π

−π

(x²−π²) cos(nx)dx

= 2 π

Z π

0

x²cos(nx)dx− 2 π

Z π

0

π²cos(nx)dx

| {z }

=0

= 2

πn[x²sin(nx)]^π₀

| {z }

=0

− 4 πn

Z π

0

xsin(nx)dx

= 4

πn²[xcos(nx)]^π₀ − 8 πn²

Z π

0

cos(nx)dx

| {z }

=0

= 4(−1)ⁿ n² La S´erie de Fourier def est

S(f)(x) =−2 3π²+ 4

∞

X

n=1

(−1)ⁿ

n² cos(nx).

2. La fonction f est continue sur R et d´erivable par morceaux, par le Th´eor`eme de convergence uniforme sa S´erie de Fourier converge uniform´ement (et donc simplement) vers S(f)(x). En plus on a

S(f)(x) =f(x), pour toutx∈R. (1)

3.On posex=π dans l’´egalit´e (1) pour obtenir 0 =f(π) =S(f)(π) =−2

3π²+ 4

∞

X

n=1

1 n², d’o`u

+∞

X

n=1

1 n² = π²

6 . 2

Sinon on posex= 0 dans l’´egalit´e (1) pour obtenir

−π²=f(0) =S(f)(0) =−2 3π²+ 4

∞

X

n=1

(−1)ⁿ n² , d’o`u

+∞

X

n=1

(−1)ⁿ

n² =−π² 12. Exercice 4 : Transform´ee de Fourier

Trouver la transform´ee de Fourier de la fonction x²e^−a|x|, sachant que

d^p

du^pF(f)(u) = (−i)^pF(x^pf(x))(u), pour toutp∈N.

On a que

F(e^−a|x|)(u) = Z 0

−∞

e^axe^ixudx+ Z +∞

0

e^−axe^ixudx

= 1

a+iu+ 1 a−iu

= 2a

a²+u², donc

F(x²e^−a|x|)(u) =− d²

du²F(e^−a|x|)(u)

=− d² du²

2a a²+u²

=−4a d du

u (a²+u²)²

=−4a(a²+u²)²+ 4u² (a²+u²)³

3

Exercice 5 : Transform´ee de Laplace et Alg`ebre lin´eaire (les 4 questions suivantes sont ind´ependantes)

1. On utilise la m´ethode de Gauss pour r´esoudre le syst`eme lin´eaire suivant en fonction du param`etre p∈R. Donc

((3−p)X−5Y = 1 X−(3 +p)Y = 2

((3−p)X−5Y = 1 (p²−4)Y = 5−2p

Donc pour p = 2 ou p=−2 le syst`eme n’a pas des solutions. Si p 6=±2 on a une solution unique qui est

X = 7−p

p²−4 et Y = 5−2p p²−4. 2. Trouver la fonction ayant pour transform´ee de Laplace :

p7→ 7−p p²−4.

On commence en faisant une d´ecomposition en ´el´ements simples pour trouver l’identit´e 7−p

p²−4 = 5 4

1 p−2 −9

4 1 p+ 2. Or, on sait, que

1

p−2 =L(e^2tu(t))(p), et 1

p+ 2 =L(e^−2tu(t))(p), o`u u(t) est la fonction echelon d´efinie par

u(t) =

(1 sit≥0, 0 sit <0.

Donc

L (5e^2t−9e^−2t)u(t)/4

(p) = 7−p p²−4. 3. Trouver la fonction ayant pour transform´ee de Laplace :

p7→ 5−2p p²−4.

On commence encore une fois en faisant une d´ecomposition en ´el´ements simples pour trouver l’identit´e

5−2p p²−4 = 1

4 1 p−2−9

4 1 p+ 2. Comme dans le point pr´ecedent on peut conclure que

L (e^2t−9e^−2t)u(t)/4

(p) = 5−2p p²−4. 4. Le dernier point est consequence directe des points pr´ecedents.