U P M C - Paris 6 LM260-CNED
Math´ematiques 2008/2009
Feuille d’Exercices 8
S´eries trigonom´etrique
Exercice 8.1.—Soitf :R7→R, la fonction p´eriodique de p´eriode 2π donn´ee par
∀x∈[−π, π], f(x) =x2.
1. D´eterminer les coefficients de Fourier de la fonctionf. 2. Calculer la somme de la s´erie de Fourier def.
3. En d´eduire la valeur des s´eries
(i)
+∞
X
n=1
1 n2, (ii)
+∞
X
n=1
(−1)n n2 , (iii)
+∞
X
n=0
1
(2n+ 1)2, (iv)
+∞
X
n=1
1 n4.
Exercice 8.2.— Soit 0< α < π. On consid`ere la fonctionf : R7→R p´eriodique de p´eriode 2π donn´ee par
∀x∈[−π, π], f(x) =
1, si −α≤x≤α, 0, sinon.
1. D´eterminer les coefficients de Fourier de la fonctionf. 2. Calculer la somme de la s´erie de Fourier def.
3. En d´eduire la valeur des s´eries
(i)
+∞
X
n=1
sin(nα)2 n2 , (ii)
+∞
X
n=1
cos(nα)2 n2 .
Exercice 8.3.—Soit α∈R\Z. On consid`ere la fonctionf : R7→Rperiodique de periode 2π donn´ee par
∀x∈[−π, π], f(x) = cos(αx).
1. D´eterminer les coefficients de Fourier de la fonctionf. 2. Calculer la somme de la s´erie de Fourier def.
3. En d´eduire la valeur des s´eries
(i)
+∞
X
n=1
1
α2−n2, (ii)
+∞
X
n=1
(−1)n α2−n2.
Exercice 8.4.—Soitf :R7→R, la fonction impaire, p´eriodique de p´eriode 2πdonn´ee par
∀x∈[0, π], f(x) =
x, si 0≤x≤π2, π−x, si π2 ≤x≤π.
1. D´eterminer les coefficients de Fourier de la fonctionf.
2. Montrer que la s´erie de Fourier def converge normalement vers la fonction f surR. 3. D´eterminer le d´eveloppement en s´erie de Fourier de la primitive nulle en 0 de la fonctionf. 4. En d´eduire la valeur de la s´erie
+∞
X
n=0
(−1)n (2n+ 1)3.
Exercice 8.5.— Soitf la fonction 2π-p´eriodique d´efinie parf(x) = cosh(αx) pourx∈]−π, π]
(avecα >0).
1. Calculer les coefficients de Fourier def et ´etudier la convergence de la s´erie de Fourier.
2. Calculer
+∞
X
n=1
1 α2+n2·
3. En utilisant la formule de Parseval calculer
+∞
X
n=1
1 (α2+n2)2·
4. D´eduire de ce qui pr´ec`ede les coefficients de Fourier de la fonction 2π-p´eriodique d´efinie par f(x) = sinh(αx) pourx∈]−π, π] et calculer
+∞
X
n=1
(−1)n 1 +n2·
