Soit f une fonction de classe L1(R) telle que R R|ξ||fb(ξ)|dξ converge, montrer que f coincide presque partout avec une fonction de classeC1

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Année universitaire 2018/2019 Université de Bordeaux Master Mathématiques et Applications Collège Sciences et Technologies

M1 Semestre 1 UF Math. et Interactions

Analyse : dualité et convergence Ph. Jaming

Examen, seconde session.

Les exercices sont indépendants.

Dans tout cet examen,(Ω, µ)sera un espace mesuré. La transformée de Fourier est normalisée de telle sorte que, pourf ∈ S(R),

fˆ(ξ) = Z

R

f(t)e^−2iπtξdt.

PourA⊂R, on note1_A la fonction1_A(x) =

(1 six∈A 0 sinon

Exercice 1. Soit f une fonction de classe L¹(R) telle que R

R|ξ||fb(ξ)|dξ converge, montrer que f coincide presque partout avec une fonction de classeC¹.

Exercice 2. Soientf, g∈L³(Ω, µ)Montrez quef²g∈L¹(Ω, µ). Exercice 3. Soitf ∈L¹(Ω, µ)∩L^∞(Ω, µ).

(1) Montrez que, pour toutp∈]1,+∞),f ∈L^p(Ω, µ).

(2) Montrez que l'applicationp→ kfk_p est dérivable sur]1,+∞)et calculer sa dérivée.

Exercice 4. Montrer que`^p est complet.

Exercice 5.

(1) SoitT ∈ S⁰(R)donnez la dénition deT⁰ et T⁰⁰.

(2) Donnez la dénition de la distributionT ∈ S⁰(R)donnée parT =δ0et montrez que cela dénit bien un élément deS⁰(R).

(3) Montrez que, pour toutϕ∈ S(R),R

R|x|ϕ⁰⁰(x)dx= 2ϕ(0).

(4) En déduire que, pour touta∈R, _dx^d²2|x−a|= 2δa au sens des distributions.

On notera fa:x→ |x−a|et id:x→x.

(5) On dénit l'ensemble E des fonctions f continues sur R, admettant un nombre ni n ∈ N (qui dépend de f) de points de non dérivabilitéa1<· · ·< an, et anes sur chaque intervalle ]ai;ai+1[,i∈ {0, . . . , n}où l'on a poséa0=−∞etan+1= +∞(avec la convention que sif ∈E est dérivable sur R, n= 0, l'ensemble des points de non dérivabilité est vide et f est ane sur R).

(a) Soitf dénie parf(x) = (−2x+ 1)1_R−(x) + (1 + 3x)1_R+(x).

Justier quef est dansEet montrer quefest combinaison linéaire de la famille de fonctions (f0;id;1_R).

(b) Soitf une fonction deEnon dérivable en au moins un point deRet soienta1<· · ·< an ses points de non dérivabilité. Montrer l'existence d'un unique(n+2)-uplet de réels(α1, αn, β, γ) tels que

eq:form

eq:form (0.1) f =

n

X

i=1

α_if_a_i+βid+γ1.

Indication : Pour l'existence, on pourra raisonner par récurrence sur le nombrende points de non dérivabilité def.

(c) Donner alors, pour touti= 1, . . . , nl'expression deαien fonction de la diérence des pentes de la fonctionf à droite et à gauche du pointai.

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(2)

(d) Tracer la représentation graphique en repère orthonormé de la fonctionf dénie surRpar : f(x) =







−x six <−2 3 +^x₂ si −2≤x≤4 1 +x six >4

.

puis donner la décomposition de cette fonction sous la forme (^eq:form0.1).

(e) Déduire de ce qui précède, pour toute fonctionf ∈E, l'expression (au sens des distributions) de sa dérivée seconde comme combinaison linéaire de distributions de Dirac.

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