I.2-Définitionetpropriétésd’uneintégrale I.1-Notiondefonctioncontinueparmorceaux I-Intégraled’unefonctioncontinueparmorceauxsurunsegment Résumédecourssurl’intégration

Résumé de cours sur l’intégration

Le programme de première année se limite à l’intégration des fonctions continues par mor- ceaux sur un segment, donc pas d’intégrales impropres.

I - Intégrale d’une fonction continue par morceaux sur un segment

I.1 - Notion de fonction continue par morceaux

Définition 1 Une fonction f : [a, b] → R est dite continue par morceaux s’il existe une subdivision σ = ( x ₀ , . . . , x _n ) de [ a, b ] telle que pour tout k ∈ J0 , n − 1K, f est continue sur ]x k , x _{k − 1} [ et admet une limite finie à droite en x _{k − 1} et une limite finie à gauche en x _k .

CEX : la fonction g définie par g(x) = ¹ _x si x ∈ ]0, 1] et g(0) = 1 n’est pas Cpm.

Une fonction continue par morceaux sur un segment est bornée. Une combinaison linéaire de fonctions Cpm est encore Cpm.

I.2 - Définition et propriétés d’une intégrale

On admet (on utilise pour cela la notion de continuité uniforme que l’on voit en fin de chapitre) que l’on peut définir sur un segment [a, b] l’intégrale d’une fonction f Cpm. On la note ^R _[a,b] f . Ainsi pour justifier l’existence de l’intégrale d’une fonction f sur un segment, il suffit de montrer que f est Cpm sur [a, b]. Dans la pratique, on montre que la fonction est prolongeable par continuité. Ex : ^R ₀ ^{1 sin} _x ^x dx existe car ^sin _x ^x ∼ ₀ 1.

1. Propriétés de l’intégrale

(a) Linéarité : ^R _[a,b] (λf + g) = λ ^R _[a,b] f + ^R _[a,b] g (b) positivité : si f > 0 sur [a, b], alors ^R _[a,b] f > 0

(c) croissance : si f > g sur [a, b], alors ^R _[a,b] f > ^R _[a,b] g (d) l’inégalité triangulaire : |

Z

[a,b] f | 6

Z

[a,b] | f | (e) Relation de Chasles.

Exemple : déterminer la limite de I _n = ^R ₀ ¹ sin(x ⁿ )e ^x dx.

2. Extension de la définition

(a) Notation ^R _a ^b f (t) dt avec a et b dans un ordre quelconque.

(b) Intégrale d’une fonction f : [a, b] → C continue par morceaux. On pose

Z _b

a f =

Z _b

a Re(f) + i

Z _b

a Im(f).

Exemples : ^R

π 2

0 e ^it dt et ^R ₀ ¹ _{x − (1+i)} ^dx

II - Comment calculer l’intégrale d’une fonction conti- nue ?

I désigne un intervalle et K désigne R ou C .

II.1 - Avec des primitives selon le théorème fondamental de l’ana- lyse

Définition-Proposition 2 (Primitive et unicité à une constante additive près) Soit f : I → K .

• On dit que F : I → K est une primitive de f si F est dérivable sur I et F ^′ = f .

• Si f admet une primitive F , alors toutes les primitives de f sont de la forme F + λ, λ ∈ K .

Exemples :

• x 7→ arctan x est une primitive de x 7→ _1+x ¹

et arcsin une primitive sur ] − 1, 1[ de x 7→ ^√ _x ¹

_{− 1} .

• Si u est une fonction dérivable ne s’annulant pas, une primitive de ^u _u

est ln | u | .

Théorème 3 (Théorème fondamental de l’analyse) Si f est une fonction continue sur I et a ∈ I, la fonction F _a : x 7→ ^R a ^x f(t) dt est l’unique primitive de f s’annulant en a, en particulier c’est une fonction de classe C ¹ sur I et F _a ^′ (x) = f(x).

On en déduit que pour calculer une intégrale, il suffit de chercher des primitives ! Corollaire 4 Pour toute primitive F de f, si b ∈ I, on a ^R _a ^b f (t) dt = F (b) − F (a).

Exemple : ^R ₀ ¹ _1+x ¹

dx = arctan 1 − arctan 0 = ^π ₄ .

Application à l’étude de fonctions du type φ : x 7→ ^R u(x) ^v(x) f ( t ) d t

On utilise pour cela le corollaire suivant du théorème fondamental de l’analyse :

Corollaire 5 (*) Si f est continue sur I , et si u et v sont des fonctions dérivables sur un intervalle J à valeurs dans I, alors la fonction φ : x 7→

Z _v(x)

u(x) f (t) dt est dérivable sur J et

∀ x ∈ J, φ ^′ (x) = f(v(x))v ^′ (x) − f(u(x))u ^′ (x).

Exemple : étude sur ]0, + ∞ [ de φ : x 7→ ^R x ^3x e

t dt.

II.2 - Deux outils fondamentaux : l’intégration par parties et le changement de variable

Proposition 6 (Intégration par parties) Soit u : I → K et v : I → K de classe C ¹ . Alors pour tout a et b dans I

Z _b

a u ^′ (t)v(t) dt = [u(u)v (t)] ^b _a −

Z _b

a u(t)v ^′ (t) dt.

Applications :

• calcul de primitives comme ln, arctan ou x 7→ x ² e ^x (double IPP).

• obtention de relation de récurrence pour des suites définies par des intégrales comme celles de Wallis par exemple.

• Cas où le caractère C ¹ n’est pas établi sur une borne de [a, b[ : exemple montrer que

R 2π 0 1 − cos x

x

dx = ^R ₀ ^{2π sinx} _x dx.

• Exemple du lemme de Lebesgue

Proposition 7 (Changement de variable) Soit f : J → K continue et φ : I → J de classe C ¹ . Alors pour tout a et b dans I

Z b

a f(φ(t))φ ^′ (t) dt =

Z φ(b) φ(a)

f (x) dx.

Corollaire 8 (Intégrale d’une fonction paire/impaire/périodique)

• Soit f : [ − a, a] → K continue. On a

Z _a

− a

f = 2

Z _a

0

f si f est paire et

Z _a

− a

f = 0 si f est impaire .

• Si f : R → K est continue et T -périodique, alors

Z _b

a f =

Z _b+T

a+T f et

Z _a+T

a f =

Z _T

0 f.

Exemple : limite de I _n = ^R _π ^{nπ | sin} _t ^{t |} dt.

II.3 - Calculs numériques d’intégrales : méthode des rectangles, sommes de Riemann

On subdivise [ a, b ], et sur chaque intervalle de la subdivision, on approxime f par une fonc- tion constante. L’intégrale cherchée est ainsi approximée par une somme d’aires de rectangles, que l’on appelle sommes de Riemann, par exemple pour pour estimer ^R ₀ ¹ e ^{− t}

dt.

Proposition 9 Soit f : [ a, b ] → R continue par morceaux.

1. On a

n → lim + ∞

b − a n

n − 1

X

k=0

f(a + k b − a

n ) = lim

n → + ∞

b − a n

X n

k=1

f(a + k b − a n )

| {z }

R

=

Z _b

a

f.

2. Si de plus f est de classe C ¹ , alors l’erreur | ^R a ^b f − R _n | est majorée par ^M

^(b _2n ^{− a)}

où M ₁ = sup _[a,b] | f ^′ | .

Si l’on approxime f sur chaque intervalle de la subdivision par une fonction affine (resp.

une fonction polynomiale de degré 2), on obtient la méthode des trapèzes (resp. méthode de Simpson), méthodes plus précises, l’erreur est en O( _n ¹

) (resp. O( _n ¹

)).

Cette proposition peut aussi s’utiliser dans l’autre sens et permet de calculer des limites de suites qui sont des sommes de Riemann. On a alors souvent [a, b] = [0, 1]. Exemple : la suite u _n = _n+1 ¹ + _n+2 ¹ + · · · + _2n ¹ converge vers ln 2.

III - Techniques et/ou outils supplémentaires

III.1 - Intégration des fractions rationnelles

On utilise leur décomposition en éléments simples.

Exemple : calcul de ^R _x

^dx

− 1 .

III.2 - Fonctions positives dont l’intégrale est nulle

Proposition 10 Soit f : [a, b] → R positive et continue. Si ^R _[a,b] f = 0, alors f = 0.

Attention ce résultat est faux si f n’est pas continue (prendre f définie sur [0, 1] par f (x) = 0 pour x ∈ ]0 , 1] et f (0) = 1, on a f > 0 et ^R _[0,1] f = 0 mais f 6 = 0).

Exemple : si P ∈ R [ X ] vérifie ^R ₀ ¹ tP ² ( t ) = 0, alors P = 0.

On utilise aussi cette proposition ainsi : si f : [ a, b ] → R est continue, positive et non nulle, alors ^R _[a,b] f > 0.

Exemple : ^R _[0,π/2] sin ⁿ x dx > 0.

III.3 - La comparaison série intégrale

Si f est une fonction continue positive et monotone, il faut savoir dans le cadre d’exercice comparer la nature des suites

s _n =

X n

k=1

f (k) Vs I _n =

Z _n

1 f (t) dt.

On montre ainsi

H _n =

X n

k=1

1 n ∼

Z _n

1

dt

t = ln n.

III.4 - Inégalité de Cauchy-Schwarz

Cette inégalité est d’origine géométrique : si − → u et − → v sont des vecteurs, alors

|− → u · − → v | 6 k− → u kk− → v k .

Ici le produit scalaire des fonctions f et g est l’intégrale < f, g >= ^R _a ^b f (t)g(t) dt et la norme de f est k f k = √

< f, f > = ^{q R} _a ^b f ² (t) dt.

Proposition 11 Soit f et g deux fonctions continues sur [a, b]. Alors

Z _b

a f g

6

s Z _b

a f ²

s Z _b

a g ² . De plus, il y a égalité ssi f et g sont proportionnelles.

III.5 - Formule de Taylor avec reste intégral

Théorème 12 (Formule de Taylor avec reste intégral) : si f est de classe C ⁿ⁺¹ sur un intervalle I et a ∈ I, alors :

∀ x ∈ I, f(x) =

X n

k=0

f ^(k) (a)(x − a) ^k

k! +

Z _x

a

(x − t) ⁿ f ⁽ⁿ⁺¹⁾ (t)

n! dt.

Remarque : cette formule est globale, elle permet d’approcher la fonction f par une fonction polynomiale de degré n. Le reste représente l’erreur commise dans cette approximation.

Il est impératif de retenir que le cas n = 0 redonne le théorème fondamental de l’analyse.

Si l’on sait borner les dérivées n-ièmes, alors on a un contrôle du reste, c’est l’objet de la proposition suivante :

Théorème 13 (Inégalité de Taylor-Lagrange) : soit f de classe C ⁿ⁺¹ sur un intervalle I, a et x deux points de I. Si f ⁽ⁿ⁺¹⁾ est bornée par M _n+1 entre a et x, alors :

f(x) −

X n

k=0

f ^(k) (a)(x − a) ^k k !

6 M _n+1 | x − a | ⁿ⁺¹ ( n + 1)! . Autre formulation : il existe un réel K _a ^x borné par M _n+1 tel que :

f (x) =

X n

k=0

f ^(k) (a)(x − a) ^k

k! + (x − a) ⁿ⁺¹ (n + 1)! K _a ^x . Quelques applications :

• des développements en série entière :

∀ x ∈ R , e ^x =

+ X ∞ k=0

x ^k k! .

• obtenir des inégalités globales : par exemple, on a ∀ x ∈ R ⁺ , | sin x − x + ^x ₆

| 6 ^x ₂₄

.