I Continuité d’une fonction

I Continuité d’une fonction

I.1 Définition

Définition 1 Soitaun réel et f une fonction définie sur un intervalleI contenanta.

La fonctionf est continue enasi

lim

x→af(x) =f(a)

La fonctionf est continue sur l’intervalleI sif est continue en tout réeladeI.

Exemple 1 Voir exemple dans l’activité d’approche :http://www.mimaths.net/IMG/pdf/approchecontinuite_ts_12_13.pdf

O ~i

~j

←−Exemple de fonction non continue en 1 : (discontinuité en 1)

f(x) =

x² pourx <1

−x²+ 3 pourx>1

La fonction inverse est continue

sur]− ∞; 0[∪]0; +∞[. −→

O ~i

~j

Important : Les fonctions polynômes, les fonctions rationnelles, les fonctions trigonométriques, les fonctions usuelles vues en seconde et en première, les composées de ces fonctions sont continues sur leur ensemble de définition.

EXERCICE 1 On considère la fonctionhdéfinie surRparf(x) =

x²−3x+ 5 pourx <0 k pourx>0

Pour quelle valeur dek, la fonctionf est-elle continue surR?

I.2 Théorème des valeurs intermédiaires

Théorème 1 Soit f une fonctioncontinuesur un intervalleIetaet bdeux réels deI. Pour tout réelkcompris entref(a) et f(b) , il existe un réelccompris entreaetb tel que :f(c) =k.

Interprétation graphique

O ~i

~j

k∈[f(a);f(b)] et f continue sur l’intervalleI donc sur [a;b].

Tracer la droite d’équationy =k.

Remarque 1 :

Nécessité de la continuité

O ~i

~j

...

Exemple 2 En utilisant le théorème des valeurs intermédiaires sur un intervalle convenablement choisi, démontrer que l’équation x³−3x= 1 admet au moins une solution.

O ~i

~j

...

I.3 Théorème de la bijection

Théorème 2 Soit f une fonctioncontinueetstrictement monotonesur un intervalleIetaetbdeux réels de I. Pour tout réelkcompris entref(a) etf(b) , il existe ununiqueréelc compris entreaet btel que :f(c) =k.

Remarque 2 : Dans un tableau de variation, la flêche indique la continuité et la stricte monotonie. Ainsi le théorème de la bijection s’applique dans l’une des deux situations suivantes :

x

Variations def

a b

f(a) f(a)

f(b) f(b) c

k

x

Variations def

a b

f(a) f(a)

f(b) f(b) c

k

Exemple 3 Reprendre l’exemple 2 et dénombrer le nombre de solutions surR.

I.4 Résolution d’équations

Une équation (E) étant donnée, on se ramène à une équation de la forme f(x) = k où k est un réel et f une fonction continue sur un intervalle à préciser (si ce n’est déjà fait). Souventk= 0.

Méthode

• Si la question consiste à justifier l’existence de solutions, on utilise éventuellement le théorème des valeurs intermédiaires.

• Si la question fait allusion à l’existence d’uneunique solution sur un intervalle ou du nombre de solutions de l’équation, on utilise lethéorème de la bijection.(calcul de dérivée et tableau de variation)

• Si l’on demande explicitement les valeurs approchées de solutions, on utilise lacalculatriceou un ordinateur: tableau de valeurs et balayage ou dichotomie

Exemple 4 Donner la valeur arrondie au centième des solutions de l’équation de l’exemple 2.

II Dérivabilité

II.1 Rappel : dérivabilité et nombre dérivé

1. Définition

Définition 2 Soitf une fonction définie sur un intervalleI, et aun réel deI.

On dit quef est dérivable enalorsque le taux d’accroissement def enaadmet une limiteLena, c’est à dire lorsque :

x→alim

f(x)−f(a)

x−a =Lou écrit autrement, lim

x→a

f(a+h)−f(a)

h =L

Dans ce cas,Lest appelé le nombre dérivé def ena, et on notef^′(a).

bb

a

Interprétation graphique : Le taux d’accroissement f(x)−f(a)

x−a est la pente de la droite ∆ passant par les pointsA(a;f(a)) etM(x;f(x)).

Lorsquextend versa, le pointM se « rapproche » deAet la droite

∆ devient la tangente à la courbe de la fonction enA.

2. Équation de la tangente

Propriété 1 f est une fonction dérivable ena. L’équation de la tangente àCf au point d’abscisseaest : y=f^′(a)(x−a) +f(a)

3. Fonction non dérivable en un réel a

Il ne s’agit pas de tenir un dicours théorique sur la dérivabilité. A partir de deux exemples comprendre ce qu’est une fonction non dérivable en un réela.

• On définit la fonctionf sur ]0; +∞[ de la façon suivante :f(x) = ( 1

x pour 0< x <1

−x²+ 2x pourx>1

O ~i

~j

La fonctionf est-elle dérivable en 1 ? Est-elle dérivable sur ]0; +∞[ ?

• Prouver que la fonctionx7−→√xn’est pas dérivable en 0 (Elle est donc continue sur [0; +∞[ et dérivable sur ]0; +∞[)

4. Dérivabilité et continuité

Si une fonctionf est dérivablesur un intervalleI alors elle estcontinuesur cet intervalle.

II.2 Calculs de dérivées

1. Fonction dérivée

Définition 3 Lorsqu’une fonction est dérivable en tout nombre d’un intervalle I, nous pouvons définir la fonction dérivée :

f^′ :x7−→f^′(x)surI

Avec la notation différentielle (Sciences physiques, Enseignement supérieur, ...),f^′ se note encore df dx 2. Dérivées des fonctions usuelles

Fonction Dérivée Ensemble de dérivation

x7−→k,k∈R x7−→0 R

x7−→x x7−→1 R

x7−→x² x7−→2x R

x7−→x³ x7−→3x² R

x7−→xⁿ ,n∈N^∗ x7−→nxⁿ⁻¹ R

x7−→ 1

x x7−→ −1

x² ]− ∞; 0[ ou ]0; +∞[ x7−→ 1

xⁿ ,n∈N^∗ x7−→ − n

xⁿ⁻¹ ]− ∞; 0[ ou ]0; +∞[ x7−→√

x x7−→ 1

2√

x ]0; +∞[

x7−→sinx x7−→cosx R

x7−→cosx x7−→ −sinx R

x7−→tanx x7−→ 1

cos²x= 1 + tan²x i

−π

2 +kπ;π 2 +kπh

,k∈Z

3. Dérivée de la fonctionx7−→p u(x)

Théorème 3 Soituune fonction définie et dérivable sur un intervalleI.

La fonction f : x7−→ p

u(x) est dérivable sur tout intervalle J inclus dans I tel que, pour tout xde J, u(x)>0.

On a, pour toutx∈J, f^′(x) = u^′(x) 2p

u(x)

Exemple 5 Dérivabilité dex7−→√

x²−3sur un intervalleJà déterminer ...

4. Dérivée de la fonctionx7−→[u(x)]ⁿ ,n∈Z^∗

Théorème 4 Soituune fonction définie et dérivable sur un intervalleI.

La fonctionf :x7−→[u(x)]ⁿ (n∈Z^∗) est dérivable :

• surI, sin >0 ;

• sur tout intervalleJ inclus dansI tel que, pour toutxdeJ,u(x)6= 0, sin <0.

On a, pour toutxde l’ensemble de dérivabilité def, f^′(x) =n×u^′(x)×[u(x)]ⁿ⁻¹

Exemple 6 Dérivabilité deg:x7−→(5x²−3x+ 2)² et deh:x7−→

₁ 4x−7

³ ...

5. Dérivée d’une fonction du type f o uoùuest affine

Théorème 5 Soituune fonction définie et dérivable sur un intervalleI,aetb sont deux nombres réels.

La fonctiong:x7−→f(ax+b) est dérivable sur tout intervalleJ tel que, pour toutxdeJ,ax+b∈I.

On a, pour toutx∈J, g^′(x) =a×f^′(ax+b)

Exemple 7 Dérivabilité deg:x7−→cos(2x−1)...

6. Dérivée d’une fonction composée : cas général Schéma de composition def =v o u

x∈I y∈J v o u(x)∈R

x u

y v u(x)

v(y) =v(u(x))

Théorème 6 :

• u définie et dérivable sur I et à valeurs dans J (u(x)∈J) ;

• v dérivable surJ

La fonctionf =u o v est dérivable surI et : pour toutx∈I, f^′(x) =u^′(x)×v^′(u(x))

7. Dérivées et opérations

Opération Fonction Dérivée Multiplication par un scalaire ku ku^′

Addition u+v u^′+v^′

Multiplication uv u^′v+uv^′

Inverse 1

u −u^′

u²

Quotient u

v

u^′v−uv^′ v² Composition v o u u^′×(v^′o u)

II.3 Dérivées et variations

1. Variations d’une fonction (rappels)

Théorème 7 Soitf une fonction dérivable sur un intevalleI :

• Si la dérivéef^′ est nulle surI, alorsf est constante sur I ;

• Sif^′est strictement positive surI, sauf peut-être en des points isolés où elle s’annule, alorsfest strictement croissante surI;

• Si f^′ est strictement négative sur I, sauf peut-être en des points isolés où elle s’annule, alors f est strictement décroissante surI;

2. f dérivable sur un intervalle ouvertIet x0 un réel deI.

Si en x0 la dérivée f^′ s’annule en changeant de signe, alors f admet un extremum local en x0 (minimum ou maximum).