IQuelquesoutilssurlesfonctionsréciproques I.1LeTVI,outild’analysepour«fabriquer»dessurjections Résumédecours:denouvellesfonctionsderéférence

©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2019-2020 1

Résumé de cours : de nouvelles fonctions de référence

Nous allons élargir note catalogue de fonctions de référence avec :

1. les fonctions arccosinus, arcsinus et arctangente qui seront obtenues comme des fonctions réciproques.

2. les fonctions hyperboliques

I Quelques outils sur les fonctions réciproques

I.1 Le TVI, outil d’analyse pour «fabriquer» des surjections

Nous avons vu au travers d’exemples que le TVI et donc la continuité était un outil de surjectivité, il assure l’existence d’antécédents sous certaines hypothèses. La stricte monotonie elle garantit l’injectivité et donc l’unicité d’un antécédent. Nous allons «encapsuler» ces deux ingrédients dans le théorème suivant :

Théorème 1 (Théorème de la bijection monotone) Toute fonction f continue et stric- tement monotone sur un intervalle I est bijective de I sur l’intervalle J = f ( I ) et sa fonction réciproque f ⁻¹ possède la même monotonie que f .

Attention le résultat fort de théorème est que l’image de l’intervalle I par f se décrit facilement, c’est encore un intervalle dont les bornes sont obtenues à partir des bornes de I . Par exemple :

• si f : [a, b] → R est continue et strictement décroissante, alors f est une bijection de [a, b]

sur [f (b), f(a)]

• si f : [ a, b [ → R est continue et strictement croissante, alors f est une bijection de [ a, b [ sur [f (a), lim b f [.

Remarques :

• cette méthode donne l’existence de la fonction réciproque mais ne permet pas d’obtenir son expression.

• on rappelle que les courbes d’une fonction et de sa fonction réciproque sont symétriques par rapport à la droite d’équation y = x.

Exemples :

• g : x 7→ e ^−x + _1+x ¹

est une bijection de R ⁺ dans g( R ) = [0, +2[ car f est continue et strictement décroissante sur R (somme) et a pour limites ...

• Les fonctions racines n-ièmes x 7→ √

x :

Si n est impair, la fonction f : x 7→ x ⁿ est une bijection de R sur R . Cela revient à dire que tout réel x admet une unique racine n -ième réelle, notée √

x . Comme on a aussi (x

) ⁿ = x

^×n = x ¹ = x, on en déduit que √

x = x

. La fonction réciproque est donc f ⁻¹ : x 7→ x

.

Si n est pair, la fonction x 7→ x ⁿ est une bijection de R ⁺ sur R ⁺ , on note x 7→ x ^1/n sa

fonction réciproque.

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I.2 Qualités conservées par une application réciproque

Le tableau suivant résume les théorèmes ci-dessous : soit f : I → J bijective.

f croissante sur I f ⁻¹ croissante sur J

f est continue sur I f ⁻¹ est continue sur J

f est dérivable en a ∈ I et f ^′ ( a ) 6 = 0 f ⁻¹ est dérivable en b = f ( a ) et ( f ⁻¹ ) ^′ ( b ) = _f

¹ (a)

f est impaire f ⁻¹ est impaire

On admet pour le moment les théorèmes suivants utiles pour toute la suite du chapitre (nous les démontrerons plus tard dans l’année) :

Théorème 2 (Théorème de continuité d’une fonction réciproque) Toute fonction f conti- nue et strictement monotone sur un intervalle I est bijective de I sur l’intervalle J = f ( I ) et sa fonction réciproque f ⁻¹ est continue sur J et possède la même monotonie que f.

Théorème 3 (Théorème de dérivation des fonctions réciproques) Si de plus, f est dé- rivable en a ∈ I avec f ^′ ( a ) 6 = 0 , alors f ⁻¹ est dérivable en b = f ( a ) et on a

(f ⁻¹ ) ^′ (b) = 1 f ^′ (f ⁻¹ (b)) . Remarques :

• si f bijective, une tangente horizontale en a (resp. horizontale) pour f donnera une tan- gente verticale en b = f (a) (resp. horizontale) pour f ⁻¹ par la symétrie par rapport à la droite d’équation y = x.

• pour retrouver la formule précédente, on peut dériver la relation f ⁻¹ ( f ( x )) = x , ce qui donne par dérivation de fonctions composées :

( f ⁻¹ ) ^′ ( f ( x )) × f ^′ ( x ) = 1 donc ( f ⁻¹ ) ^′ ( f ( x )) = 1 f ^′ (x) .

Exemple : (⋆) si on reprend g : x 7→ e ^−x + _1+x ¹

, on a g(0) = 2, g ^′ (0) = − 1 donc g ⁻¹ dérivable en 2 et ( g ⁻¹ ) ^′ (2) = _g

¹ (0) = − 1.

II Fonctions circulaires

Voir le kit de trigonométrie.

Exo : Représenter la fonction f définie sur R par f(t) = cos ³ t (on pourra calculer f(t +

π

2 ) + f ( ^π ₂ − t ) pour t ∈ R ).

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III Fonctions circulaires réciproques

1. Fonctions arcsin et arccos.

x sin(x)

− ^π ₂ 0 ^π ₂

− 1

− 1

0 11

x arcsin x

− 1 0 1

− ^π ₂

− ^π ₂

π 2 π

0 2

x cos(x)

0 π

2 π

11

-1 0 -1

x arccos x

− 1 0 1

π π

00

π 2

À savoir absolument :

• Comment sont-elles définies ? (merci théorème de la bijection). Quelles sont leurs variations, leur parité ?

• Savoir calculer cos(arccos x) ou arccos(cos x) selon les valeurs de x (idem avec sin).

• (⋆) Pour x ∈ [ − 1, 1], sin(arccos x) = cos(arcsin x) = √

1 − x ² .

• arcsin et arccos sont dérivables sur ] − 1 , 1[ (et non pas sur [ − 1 , 1], ce sont des fonctions «méchantes»). On a

(⋆) arcsin ^′ (x) = 1

√ 1 − x ² et arccos ^′ (x) = − 1

√ 1 − x ² .

Exo (⋆) : montrer que la courbe de arccos admet le point (0, ^π ₂ ) comme centre de symétrie.

2. Fonction tangente

On pose pour x 6 = ^π ₂ mod π, tan x = ^sin _cos ^x _x .

tan est π -périodique, impaire, il suffit de l’étudier sur ] − ^π ₂ , ^π ₂ [. Elle est dérivable (quotient) et

tan ^′ ( x ) = 1

cos ² x = 1 + tan ² x.

Elle est donc continue et strictement croissante sur I =] − ^π ₂ , ^π ₂ [, elle réalise donc une bijection de I sur tan( I ) = R .

On a la formule d’addition

tan(a + b) = tan a + tan b

1 − tan a tan b .

Deux nombres qui ont la même tangente sont égaux modulo π.

©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2019-2020 4 3. Fonction arctangente

On note arctan la fonction réciproque de tan restreinte à ] − ^π ₂ , ^π ₂ [. Elle est définie sur R , impaire car tan |I l’est, et croissante. Elle est dérivable et arctan ^′ ( x ) = 1

1 + x ² . On en déduit un nouvel équivalent usuel : arctan x ∼ 0 x .

(⋆) Pour x > 0, arctan x + arctan 1 x = π

2 . (ramène l’étude de arctan à l’infini à son étude en 0).

Exo ( ⋆ ) : arctan 1 + arctan 2 + arctan 3 = π .

IV Fonctions hyperboliques

1. Fonctions sinus, cosinus hyperboliques On pose

∀ x ∈ R , ch x = e ^x + e ^−x

2 et sh x = e ^x − e ^−x

2 .

Les fonctions ch et sh sont dérivables sur R et on a ch ^′ = sh et sh ^′ = ch . On en déduit leur variation. Il faut connaître les limites et le graphe.

Remarque : On a les équivalents suivants : ch x ∼ ^+∞ e ^x

2 et sh x ∼ ^+∞ e ^x 2 . On a la relation suivante de trigonométrie hyperbolique :

∀ t ∈ R , ch ² t − sh ² t = 1 .

Cette relation s’interprète graphiquement : le point de coordonnées (ch t, sh t ) est sur l’hyperbole d’équation x ² − y ² = 1.

2. Fonction tangente hyperbolique. On pose pour x ∈ R , th( x ) = sh x ch x . th dérivable et

∀ x ∈ R , th ^′ ( x ) = 1

ch ² x = 1 − th ² x . La fonction th réalise une bijection de R sur ] − 1, 1[.

Remarque : les fonctions hyperboliques réciproques ne sont plus au programme. On

peut néanmoins les aborder en exercice.