Cours de logique math

Cours de logique math´ematique

Martin Hils

15 janvier 2013

Table des mati` eres

1 Compter `a l’infini 3

1.1 Le Th´eor`eme de Cantor et le Th´eor`eme de Cantor-Bernstein . . . 4

1.2 Notions d’ordre . . . 4

1.3 Op´erations sur les ordres . . . 5

1.4 Ordinaux . . . 7

1.5 Arithm´etique ordinale . . . 10

1.6 Axiome du choix . . . 12

1.7 Cardinaux . . . 13

1.8 Op´erations sur les cardinaux . . . 14

1.9 Cofinalit´e . . . 16

2 Calcul des pr´edicats 19 2.1 Langages et structures . . . 19

2.2 Termes et formules . . . 20

2.3 S´emantique . . . 23

2.4 Substitution . . . 24

2.5 Formules universellement valides . . . 26

2.6 D´emonstrations formelles et th´eor`eme de compl´etude de G¨odel . 29 3 Premiers pas en th´eorie des mod`eles 36 3.1 Quelques th´eor`emes fondamentaux . . . 36

3.2 La m´ethode des diagrammes . . . 39

3.3 Expansions par d´efinitions . . . 40

3.4 Elimination des quanteurs . . . .´ 42

3.5 Corps alg´ebriquement clos . . . 45

3.6 Le th´eor`eme d’Ax . . . 47

4 R´ecursivit´e 49 4.1 Fonctions primitives r´ecursives . . . 49

4.2 La fonction d’Ackermann . . . 52

4.3 Fonctions partielles r´ecursives . . . 54

4.4 Fonctions calculables par machine de Turing . . . 54

4.5 Fonctions universelles . . . 61

4.6 Ensembles r´ecursivement ´enum´erables . . . 62

4.7 Elimination de la r´´ ecurrence . . . 64

5 Mod`eles de l’arithm´etique et th´eor`emes de limitation 67 5.1 Codage des formules et des preuves . . . 67

5.2 Th´eories d´ecidables . . . 69

5.3 Arithm´etique de Peano . . . 70

5.4 Les th´eor`emes de Tarski et de Church . . . 75

5.5 Les th´eor`emes d’incompl´etude de G¨odel . . . 76

6 Th´eorie axiomatique des ensembles 79 6.1 Les axiomes de Zermelo-Fraenkel . . . 79

6.2 Axiome du choix . . . 84

6.3 La hi´erarchie de von Neumann et l’axiome de fondation . . . 86

6.4 Quelques r´esultats d’incompl´etude, d’ind´ependance et de consis- tance relative . . . 89

Chapitre 1

Compter ` a l’infini

Dans ce premier chapitre, les notions d’ensembleet d’entier sont prises dans leur sens na¨ıf. La th´eorie des ordinaux et cardinaux, due `a Cantor (fin du 19<sup>e</sup> si`ecle) sera d´evelopp´ee du point de vue na¨ıf.

Voici les deux principes de la Th´eorie des ensembles na¨ıve :

– Extensionalit´e: Deux ensembles contenant les mˆemes ´el´ements sont ´egaux.

– Compr´ehension (globale) : Pour toute propri´et´e (raisonnable)P, la collec- tion{a | av´erifieP} est donn´ee par un ensemble.

C’est le second principe qui est probl´ematique.

Antinomie de Russell. Soita={x | x6∈x}. Alorsa∈assia6∈a.

Grˆace `a cette antinomie montrant que la Th´eorie des ensembles na¨ıve est contradictoire, des fondements rigoureuses de la Th´eorie des ensembles (et par cons´equent de la math´ematique en g´en´erale) ´etaient devenues n´ecessaires.

Dans le dernier chapitre de ce cours nous traitons le syst`eme d’axiomes ZFC (axiomes de Zermelo-Fraenkel plus l’axiome du choix) ; la plupart de ces axiomes consisteront en une forme restreinte du principe de compr´ehension.

Nous y verrons que les notions et r´esultats de ce premier chapitre restent valides enTh´eorie axiomatique des ensembles, en n’utilisant que le syst`eme d’axiomes ZFC.

Notation. SiA, Bsont des ensembles,A∪B,A∩BetA\Bd´esignent lar´eunion, l’intersection et la diff´erence d’ensembles, respectivement. Si (Ai)_i∈I est une famille d’ensembles, on note sa r´eunion parS

i∈IAi ={x | x∈Ai pour uni∈ I}, et son intersection parT

i∈IAi.

Nous ´ecrivonsA⊆B siAest unepartie deB, etA⊂B siAest unepartie propre deB. L’ensemble des parties deAest not´eP(A).

1.1 Le Th´ eor` eme de Cantor et le Th´ eor` eme de Cantor-Bernstein

L’existence d’une fonction injective / surjective / bijective entre deux en- sembles sera utilis´ee comme moyen pour comparer leur «taille». Nous com- men¸cons avec deux premiers r´esultats qui vont dans ce sens.

Th´eor`eme 1.1.1 (Cantor). Soit A un ensemble. Il n’existe pas de surjection deA sur P(A).

D´emonstration. Soitf :A→ P(A) une appliction. On consid`ere l’ensemble B={x∈A | x6∈f(x)}.

Pour toutx∈Aavecf(x) =B, on a x∈B si et seulement six6∈B. DoncB n’est pas dans l’image def.

Th´eor`eme 1.1.2(Cantor-Bernstein). SoientAetB deux ensembles, f :A→ B etg:B →Adeux injections. Alors il existe une bijection h:B→A.

D´emonstration. On peut supposer queAest une partie deBet que l’application f est donn´ee par l’inclusion. (Il suffit de remplacerg parf◦g etA parf(A).) Soit C = {gⁿ(x) | n ∈ N, x ∈ B\A}. On pose h(c) = g(c) pour c ∈ C et h(x) =xpourx∈B\C.

D´efinition. SoientX etY deux ensembles. On dit queXetY sont´equipotents, not´eX ∼Y, s’il existe une bijection entreX et Y; on dit que X est subpotent

`

aY, not´eX 4Y, s’il existe une injection deX dansY.

Dans cette terminologie, le th´eor`eme de Cantor-Bernstein dit que siX4Y etY 4X, alorsX ∼Y.

Exercice 1.1.3. Montrer qu’il existe une bijection entreRet P(N).

1.2 Notions d’ordre

D´efinition. Unordre partiel <sur un ensembleX est une relation binaire (c.-

`

a-d. donn´ee par une partie deX×X) qui esttransitive (six < yety < zalors x < z) etantir´eflexive(x6< x). Si de plus<est une relationconnexe (pour tout x, y∈X on a x < y,x=youy < x) on dit que<est unordre total.

On note x≤y pour x < youx=y, puisx > y poury < x, et x≥y pour y≤x.

Si Y ⊆X, y ∈Y est un plus petit ´el´ement si pour touty⁰ dans Y,y ≤y⁰. C’est un´el´ement minimal si pour touty⁰dansY,y⁰ 6< y. On d´efinit de mˆeme un plus grand ´el´ement et un´el´ement maximal. Un minorant de Y est un ´el´ement deX qui est≤`a tous les ´el´ements deY. Uneborne inf´erieure deY est un plus

grand ´el´ement parmi les minorants. On d´efinit de mˆeme la notion de majorant et deborne sup´erieure.

Noter que, dans un order partiel,a≤betb≤aentraˆınea=b. Un plus petit (grand) ´el´ement est donc n´ecessairement unique, ce qui n’est pas le cas pour un

´el´ement minimal (maximal) en g´en´eral.

Remarque 1.2.1. Si< est un ordre partiel alors≤ est une relation r´eflexive (x ≤ x pour tout x ∈ X), transitive et faiblement antisym´etrique (x ≤ y et y≤xentraˆıne x=y).

R´eciproquement, si≤est une relation r´eflexive, transitive et faiblement an- tisym´etrique, la relation <d´efinie parx < y:⇔(x≤y etx6=y)est un ordre partiel.

D´emonstration. Exercice.

D´efinition. – Soit<un ordre partiel sur X. On dit que <est bien-fond´e si toute partie non vide deX contient un ´el´ement minimal.

– Unbon ordre est un ordre total bien-fond´e.

Exemples 1.2.2. 1. L’ordre usuel < sur N est un bon ordre, tandis qu’il d´efinit un ordre total non bien-fond´e surZ.

2. Pour tout ensembleX, la relation⊂est un ordre partiel surP(X) qui est bien-fond´e si et seulement siX est fini¹.

3. La restriction d’un ordre partiel (total, bien-fond´e) sur X `a une partie Y ⊆X est un ordre partiel (total, bien-fond´e) sur Y.

Remarque 1.2.3. Soit<un ordre partiel surX.

1. L’application a7→X_≤a ={x∈X | x≤a} identifie (X, <) `a une partie Y deP(X)avec l’ordre partiel sur Y induit par ⊂.

2. <est bien-fond´e si et seulement s’il n’existe pas de suite infinie strictement d´ecroissante dansX.

3. <est un bon ordre si et seulement si toute partie non vide de X contient un plus petit ´el´ement.

D´emonstration. Les preuves de (1) et (3) sont laiss´ees en exercice.

Montrons (2). Si (X, <) n’est pas bien-fond´e, il existe une partie∅ 6=Y ⊆X sans ´el´ement minimal. Par induction on peut donc choisir des ´el´ements y_n ∈ Y tels que yn+1 < yn. R´eciproquement, si (yn)_n∈N est une suite strictement d´ecroissante, il est clair que Y = {yn | n ∈ N} ne contient pas d’´el´ement minimal.

1.3 Op´ erations sur les ordres

D´efinition. Soient X etY deux ensembles partiellement ordonn´es.

1Par un ensemblefininous entendons un ensemble dans lequel on ne peut pas injecterN.

– Lasomme ordonn´eedeXetY, not´eeX+Y, est l’ensemble ordonn´e form´e des paires (x,0) avecx∈ X et (y,1) avec y ∈ Y et o`u l’ordre est d´efini ainsi : (a, i)<(b, j) sii < j ou sii=j eta < b.

– Leproduit lexicographique deX et Y est obtenu en munissant le produit cart´esienX×Y de l’ordre suivant : (x, y)<(x⁰, y⁰) siy < y⁰ ou siy=y⁰ etx < x⁰. On le note ´egalementX×Y.

Lemme 1.3.1. 1. La somme ordonn´ee d’ordres totaux (resp. bien-fond´es) est un ordre total (resp. bien-fond´e).

2. Le produit lexicographique d’ordres totaux (resp. bien-fond´es) est un ordre total (resp. bien-fond´e).

3. SoientX,Y etZ des ensembles partiellement ordonn´es. On a les isomor- phismes suivants d’ensembles ordonn´es.

(a) (X+Y) +Z∼=X+ (Y +Z) (b) (X×Y)×Z∼=X×(Y ×Z) (c) X×(Y +Z)∼= (X×Y) + (X×Z)

D´emonstration. Le seul point non trivial est de montrer que si deux ordres sont bien-fond´es, alors leur produit lexicographique l’est aussi. Soient doncX et Y des ensembles ordonn´es bien-fond´es. SoitZun sous-ensemble non vide deX×Y. On d´enote π:X×Y →Y la projection sur la deuxi`eme coordonn´ee. Comme l’ordre sur Y est bien-fond´e, il existe un ´el´ement minimal y0 dans π(Z) ⊆Y. Comme l’ordre surX est bien-fond´e, il existex0 minimal dansZy₀ ={x∈X | (x, y0)∈Z}. Il est clair que (x0, y0) est minimal dansZ.

D´efinition. Soient X et Y des ensembles totalement ordonn´es. On suppose queX poss`ede un plus petit ´el´ement 0. On d´efinit l’exponentiation, not´eeX<sup>(Y)</sup>, comme suit. Comme ensemble, il s’agit des suites `a support fini, c’est-`a-dire le sous-ensemble deX^Y form´e des applicationsf :Y →X avec supp(f) ={y ∈ Y | f(y) 6= 0} fini. On pose f < g s’il existey ∈ Y tel que f(y) < g(y) et f(y⁰) =g(y⁰) pour touty⁰> y.

Proposition 1.3.2. 1. La relation<d´efinit un ordre total sur X^(Y) qui est bien-fond´e si les ordres sur X etY le sont.

2. On a les isomorphismesX^(Y+Z)∼=X^(Y)×X^(Z)etX^(Y×Z)∼= X^(Y)(Z) . D´emonstration. L’´enonc´e sur les isomorphismes est une cons´equence directe des d´efinitions. Il est ´egalement facile `a voir qu’il s’agit d’un ordre total.

Supposons que les ordres sur X et Y soient bien-fond´es (ce sont donc des bons ordres). SoitZune partie non vide deX^(Y). Il faut montrer queZcontient un plus petit ´el´ement. Si la fonction constante `a 0 est dans Z, il n’y a rien

`

a montrer. On peut donc supposer que supp(f) 6= ∅ pour tout f ∈ Z. Soit Y1 ={s1(f) | f ∈Z}, o`us1(f) = max(supp(f)). Soity1 le plus petit ´el´ement deY1, etZ<sub>1</sub><sup>0</sup> ={f ∈Z | s1(f) =y1}. L’ensembleZ<sub>1</sub><sup>0</sup> est uns´egment initial de Z, c’est-`a-diref < g pour toutf ∈Z₁⁰ etg∈Z\Z₁⁰.

Soitx1 le plus petit ´el´ement de{f(y1) | f ∈Z₁⁰}. On pose Z1={f ∈Z₁⁰ | f(y1) =x1}.

L’ensembleZ1 est un s´egment initial de Z₁⁰. Si Z1 contient la fonction qui est constante 0 en dehors dey₁, on a termin´e. Sinon, supp(f)\ {y1} 6=∅ pour tout f ∈Z₁. SoitY₂={s2(f) | f ∈Z₁}, o`us₂(f) = max(supp(f)\ {y1}). Soit y₂le plus petit ´el´ement deY₂, puisx₂le plus petit ´el´ement de{f(y₂) | f ∈Z₁ ety₂= s₂(f)}. On poseZ₂={f ∈Z₁ | s₂(f) =y₂ etf(y₂) =x₂}. C’est un s´egment initial deZ₁. SiZ₂contient la fonction qui est constante 0 en dehors de{y₁, y₂}, on a termin´e, sinon on continue de la mˆeme fa¸con, construisantY3, y3, Z₃⁰, x3, Z3

et ainsi de suite. Comme la suite desyi est strictement d´ecroissante dansY, ce proc´ed´e s’arrˆete apr`es un nombre fini d’´etapes.

1.4 Ordinaux

Un ensembleX esttransitif si pour toutx∈X ety∈xon ay∈X. (C’est

´equivalent `ax∈X ⇒x⊆X.

D´efinition. Un ensembleX est unordinal s’il est transitif et si∈X×X d´efinit un bon ordre surX.

Proposition 1.4.1. Soientαetβ des ordinaux.

1. ∅ est un ordinal.

2. Siα6=∅, alors ∅ ∈α.

3. α6∈α

4. Six∈α, alorsx=S<x:={y ∈α | y < x}.

5. Six∈α, alorsxest un ordinal.

6. β⊆αsi et seulement si β∈αouβ =α.

7. x:=α∪ {α} est un ordinal. On le noteα⁺.

D´emonstration. (1) est clair. Quant `a (2), on consid`ere x ∈ α minimal. S’il existaity∈x, alorsy∈αpar transitivit´e deα, etxne serait donc pas minimal.

Dans (3), par antir´eflexivit´e, on ax6∈xpour toutx∈α. Doncα∈αentraˆıne α6∈α. (4) suit du fait que<est donn´e par ∈. Pour montrer (5), notons que∈ se restreint en un bon ordre surx, carx⊆α. De plus,x=S<xest un ensemble transitif, carz∈y ∈x⇒z < x⇒z∈S<x.

Pour montrer le sens direct dans (6), supposons queβ ⊂α. Soitxminimal dansα\β. Clairementβ⊇S<xpar minimalit´e. R´eciproquement, siy∈β, alors y∈xcar sinon x∈y et x∈β. Donc β =S<x=x∈α. L’autre sens dans (6) est trivial, et (7) se v´erifie imm´ediatement.

Proposition 1.4.2. Soit X un ensemble non vide d’ordinaux. Alors T

α∈Xα est un plus petit ´el´ement deX.

D´emonstration. L’intersection d’ensembles transitifs est transitive, et l’ordre in- duit sur un sous-ensemble d’un bon ordre est un bon ordre. Doncβ =T

α∈Xα est un ordinal. On aβ ⊆αpour tout α∈X. Siβ 6∈X, alors β ∈αpour tout α∈X, par Proposition 1.4.1(6). D’o`uβ ∈β, absurde.

Th´eor`eme 1.4.3. Soient α et β deux ordinaux. Une et une seule des trois propri´et´es suivantes est v´erifi´ee :

(1) α∈β , (2) α=β , (3) β∈α.

D´emonstration. On poseX ={α, β}, et on applique Proposition 1.4.2. Siα∩β = α, alors α⊆ β, d’o`u α = β ou α ∈ β par Proposition 1.4.1(6). De mˆeme, si α∩β=β, alorsα=β ouβ∈α. L’exclusivit´e de ces propri´et´es est claire.

Notation. Dans la suite, nous ´ecrivons α < β pour α ∈ β, et α ≤ β pour α⊆β, quand αet β sont des ordinaux.

Proposition 1.4.4. Soit X un ensemble d’ordinaux. Alors b = S

α∈Xα est un ordinal. De plus, si γ < b, il existe α∈ X tel queγ ∈α. On ´ecrira aussi b= sup_α∈Xα.

D´emonstration. Commebest r´eunion d’ensembles transitifs, il est transitif. De plus,bne contient que des ordinaux. Par le Th´eor`eme 1.4.3,∈induit un ordre total surb. Si∅ 6=Z ⊆b, alorsT

α∈Zαest un plus petit ´el´ement deZpar 1.4.2.

Cela montre que cet ordre est bien-fond´e.

Un ordinal de la formeα⁺ est appel´eordinal successeur. Il est clair queα⁺ est le plus petit ordinal> α, autrement dit le successeur de α.

D´efinition. Unordinal limite est un ordinal non vide qui n’est pas successeur.

Proposition 1.4.5. Pour un ordinal λ6=∅, sont ´equivalents : 1. λest limite ;

2. λ=S

α<λα.

D´emonstration. (1)⇒(2). Soitβ =S

α<λαet λ limite. Il est clair que β ⊆λ.

R´eciproquement, supposons α < λ. Donc α⁺ ≤ λ et alors α⁺ < λ car λ est limite. On conclut, puisqueα∈α⁺⊆β.

(2)⇒(1). Siλ=γ⁺, alorsS

α<λα=S

α≤γα=γ < λ.

Exemples 1.4.6. 1. On peut retrouver les entiers comme ordinaux de la fa¸con suivante. On pose 0 := ∅, puis inductivement n+ 1 := n⁺ pour n∈N. On a par exemple 1 ={∅}, 2 ={0,1}={∅,{∅}}, 3 ={0,1,2} = {∅,{∅},{∅,{∅}}}.

On montre par induction quenest un ordinal pour tout entiern. Dans la suite, on identifiera souventnet n.

2. On noteω:=S

n∈Nn. C’est un ordinal par 1.4.4.

D´efinition. On dit qu’un ordinal estfini si ni lui-mˆeme ni aucun de ses ´el´ements n’est limite.

Proposition 1.4.7. 1. ω est l’ensemble des ordinaux finis.

2. ω est le plus petit ordinal limite.

D´emonstration. On montre d’abord, par induction sur n ∈ N, que tous les

´el´ements de ω sont des ordinaux finis. De plus, α < ω entraˆıneα⁺ < ω. Cela montre (2). Siα6∈ω, alorsω≤α, donc ou bienα=ω ou bienω∈α. Dans les deux cas,αn’est pas fini. Cela montre (1).

Th´eor`eme 1.4.8(Classification des bons ordres par les ordinaux).

Tout ensemble bien-ordonn´e X est isomorphe, comme ensemble ordonn´e, `a un ordinal. De plus, l’ordinal et l’isomorphisme en question sont uniques.

Pour d´emontrer le th´eor`eme, nous avons besoin d’un lemme.

Lemme 1.4.9. Soit f : α→ α⁰ une application strictement croissante entre deux ordinaux. Alorsf(β)≥β pour toutβ∈α. En particulier, on aα≤α⁰, et sif est un isomorphisme, alorsα=α⁰ etf est ´egale `a l’identit´e.

D´emonstration. S’il existe β ∈ α avec f(β) < β, on choisit β0 minimal avec cette propri´et´e. Commef est strictement croissante, on af(f(β0))< f(β0), ce qui contredit la minimalit´e.

D´emonstration du Th´eor`eme 1.4.8. L’unicit´e est une cons´equence du lemme.

Quant `a l’existence, notons d’abord que pour tout x∈ X, tout isomorphisme entreS<x et un ordinal αs’´etend en un isomorphisme entreS_≤x=S<x∪ {x}

etα⁺. Soit

Y ={y∈X | il existe f :S≤y∼=αpour un ordinalα}.

Par unicit´e, pour y ∈ Y, l’ordinal α = α(y) et l’isomorphisme f = f_y sont uniques. Nous allons montrer queY =X. Sinon, il existex∈X minimal dans X \Y. Pour y < x on a f_y : S_≤y ∼= α(y). De plus, il s’agit d’un syst`eme coh´erent d’isomorphismes, c’est-`a-dire pour touty⁰< y < xon af_yS_≤y0 =f_y⁰. (Remarquons pour cela qu’un segment initial d’un ordinal est un ordinal.) On pose

α= sup

y<x

α(y) etf :S<x→α, f(y) :=fy(y).

Il est clair quef est bien d´efinie et induit un isomorphisme d’ensembles ordonn´es entreS<xetα. Par ce qui ´etait dit au d´ebut,f s’´etend en un ismorphisme entre S_≤x et α⁺. Contradiction. On a donc bien Y = X. Pour conclure, il suffit d’employer un argument du mˆeme type, en posant α(X) := sup_x∈Xα(x) et f :X ∼=α(X),x7→fx(x).

Remarque 1.4.10(Induction transfinie).

SoitP une propri´et´e qui porte sur les ordinaux. On suppose : – ∅ v´erifieP;

– pour tout ordinal α: siαv´erifie P, alors α⁺ v´erifieP;

– pour tout ordinal limiteλ: si tout α < λ v´erifie P, alors λv´erifieP. Alors tout ordinal v´erifieP.

1.5 Arithm´ etique ordinale

Si αet β sont des ordinaux, on note α+β l’unique ordinal isomorphe `a la somme ordonn´ee deα et β (qui existe par le Th´eor`eme 1.4.8). On d´efinit de mˆemeαβ comme l’unique ordinal isomorphe au produit lexicographiqueα×β etα^β comme l’unique ordinal isomorphe `a l’ensemble ordonn´eα^(β). Notons que 0^β n’est pas encore d´efini. On pose 0⁰:= 1, puis 0^β:= 0 pour toutβ >0.

Proposition 1.5.1(Addition ordinale). 1. α+ 0 = 0 +α=α 2. α+ 1 =α⁺

3. α+ (β+γ) = (α+β) +γ, en particulier α+β⁺= (α+β)⁺ 4. α < β si et seulement s’il existe γ >0 tel queβ=α+γ

5. Si β < β⁰, alors α+β < α+β⁰ pour tout α. En particulier, on peut simplifier `a gauche :α+β=α+β⁰⇒β =β⁰.

6. Siλest limite, alorsα+λ= sup_β<λ(α+β)(continuit´e).

7. 1 +α=α+ 1 siαest fini,1 +α=αsinon.

D´emonstration. (1)–(3) sont clairs. Dans le sens non trivial de (4), on v´erifie sans peine que l’ordinalγ isomorphe `a l’ensemble bien-ordonn´eβ\αmarche.

(5) Siβ < β⁰, on utilise (2) et (4) pour obtenirβ⁰=β+γ et doncα+β⁰ = (α+β) +γpour unγ >0.

(6)α+λ≥sup_β<λ(α+β) suit de (5). R´eciproquement, si α≤µ < α+λ, alorsµ=α+δ pour un δ avec 0≤δ < λ. Comme λest limite, on aδ⁺ < λ, d’o`uµ < α+δ⁺≤sup_β<λ(α+β).

(7) On montre par induction surn∈Nque 1+n=n+1. Puis, on a 1+ω=ω par (6). Enfin,α≥ωs’´ecritα=ω+β, d’o`u 1 +α= 1 +ω+β=ω+β=α.

Dans ce qui suit, nous omettons quelques parenth`eses, en suivant la conven- tion que l’exponentiation lie plus fortement que la multiplication et que la mul- tiplication lie plus fortement que l’addition. Ainsi, il faudra par exemple lire αβ+γcomme (αβ) +γ, etγα^β commeγ α^β

.

Proposition 1.5.2(Multiplication ordinale). 1. α0 = 0α= 0 2. α1 = 1α=α

3. α(βγ) = (αβ)γ

4. α(β+γ) =αβ+αγ, en particulierαβ⁺=αβ+α 5. 2ω=ω < ω2 =ω+ω

6. On suppose α 6= 0. Si β < β⁰, alors αβ < αβ⁰. En particulier, on peut simplifier `a gauche :αβ=αβ⁰⇒β=β⁰.

7. Siλest limite, alorsαλ= sup_β<λαβ (continuit´e).

D´emonstration. (1) et (2) sont clairs, (3) et (4) sont cons´equences du Lemme 1.3.1. Dans (5), 2ω=ωsuit de (7), les autres parties de (5) sont simples. Quant

`

a (6), il suffit de noter que si β < β⁰ alors β⁰ = β +γ pour un γ > 0, d’o`u αβ⁰=αβ+αγ par (4) et alorsαβ⁰> αβ.

(7) On peut supposer α 6= 0. Soit λ un ordinal limite. L’in´egalit´e αλ ≥ sup_β<λαβ=:δest clair par (6). R´eciproquement, on se donneγ < αλ. La divi- sion euclidienne, d´emontr´ee dans le lemme suivant, fournit une paire d’ordinaux (ρ, µ) telle queγ=αµ+ρ, avecρ < α. Commeµ < λ(par (6)), on aµ⁺ < λ carλest limite, d’o`uγ=αµ+ρ < αµ+α=αµ⁺≤δ.

Lemme 1.5.3(Division euclidienne). Soientαetβ des ordinaux, avec α6= 0.

Alors il existe une unique paire d’ordinaux(ρ, µ)telle queρ < αetβ =αµ+ρ.

D´emonstration. Unicit´e : Supposons que αµ+ρ=αµ⁰+ρ⁰ avec ρ, ρ⁰ < α. Si µ < µ⁰, alorsαµ+ρ < αµ⁺≤αµ⁰≤αµ⁰+ρ⁰, ce qui est absurde. Donc µ=µ⁰ par sym´etrie, et on obtient ´egalementρ=ρ⁰ en simplifiant.

Existence : Si β= 0 il n’y a rien a montrer. Soit donc β6= 0. L’application f0 : β → α×β, x7→(0, x) est strictement croissante, d’o`u β ≤αβ par 1.4.9.

Siβ =αβ, on poseµ=β et ρ= 0. Sinon, on a β∈αβ. Soitf l’isomorphisme d’ensembles ordonn´es entreαβ etα×β. On pose (ρ, µ) =f(β). On v´erfie que β=αµ+ρ(exercice).

Exercice 1.5.4. 1. Montrer queαest limite si et seulement s’il existeβ6= 0 tel queα=ωβ.

2. Montrer queω²=ωω n’est pas de la formeδ+ω.

Proposition 1.5.5(Exponentiation ordinale).

1. Pour toutαon a α⁰= 1,α¹=αet 1^α= 1. Siα6= 0, alors 0^α= 0.

2. α^β+γ =α^βα^γ, en particulierα^β+=α^βα.

3. α^βγ

=α^βγ

4. Siα >1, alors β < β⁰ ⇒α^β< α^β0.

5. Siλest limite et α6= 0, alors α^λ= sup_β<λα^β (continuit´e).

D´emonstration. (1) se v´erifie directement, et (2) ainsi que (3) suivent de 1.3.2.

(4) β < β⁰ ⇒ β⁰ = β+ρ pour un ρ > 0. Doncα^β0 = α^β+ρ = α^βα^ρ. Or α^ρ >1 est clair (l’ensemble α^(ρ) contient au moins 2 ´el´ements), d’o`uα^β0 > α^β par 1.5.2(6).

Montrons l’in´egalit´e non triviale dans (5). On se donne f ∈α^(λ). On peut supposer que f n’est pas la fonction constante 0. Alors s1(f) < λ, d’o`u β = s1(f)⁺< λ, ce qui montre queS_≤fadmet une application strictement croissante dansα^(β). On conclut par le Lemme 1.4.9.

Exercice 1.5.6. Soitα >1.

1. Montrer que α^γ ≥ γ pour tout γ. (Est-ce qu’il y a des exemples avec α^γ=γ?)

2. Soitβ >0. Montrer qu’il existeγ tel queα^γ≤β < α^γ+.

3. En d´eduire que tout ordinal β admet un d´eveloppement en base α : il existe une suite finie d’ordinauxβ1> . . . > βn≥0 et des ordinauxki tels avec 0< ki< alpha tels que

β=α^β1k1+. . .+α^βnkn.

De plus, l’entiernainsi que les suites (β_i) et (k_i) sont uniques.

On appelle le d´eveloppement en baseω laforme normale de Cantor.

Remarque 1.5.7. Les formules suivantes permettraient de donner une autre d´efinition (par r´ecurrence transfinie) de l’addition, de la multiplication ainsi que de l’exponentiation ordinale :

– α+ 0 =α,α+β⁺= (α+β)⁺, puisα+λ= sup_β<λ(α+β)pourλlimite.

– α0 = 0,αβ⁺=αβ+α, puis αλ= sup_β<λ(αβ) pourλlimite.

– (α6= 0.)α⁰= 1,α^β+=α^βα, puis α^λ= sup_β<λ α^β

pour λlimite.

Exercice 1.5.8(Topologie de l’ordre). Dans tout ordre totalX, on peut d´efinir une topologie, appel´e topologie de l’ordre, dont une base d’ouverts est donn´ee par les intervalles ouverts, c’est-`a-dire par les ensembles de la forme (−∞, b) = {x∈X | x < b}, (a, b) ={x∈X | a < x < b}ou (a,∞), pour a, b∈X.

1. Montrer que pourX quelconque, cette topologie est s´epar´ee.

2. Soit maintenantαun ordinal muni de la topologie de l’ordre. Montrer : (a) La topologie surαest discr`ete si et seulement siα≤ω.

(b) αest compact si et seulement s’il n’est pas limite.

(c) Une applicationf :α→β entre deux ordinaux et qui est faiblement croissante (x ≤ y ⇒ f(x) ≤ f(y)) est continue si et seulement si, pour toutλ∈αlimite, on af(λ) = sup_γ<λf(γ).

1.6 Axiome du choix

Pour une famille d’ensembles (Xi)i∈I on pose Y

i∈I

Xi={f :I→[

i∈I

Xi | f(i)∈Xi pour touti∈I},

appel´e leproduit de la famille.

D´efinition. L’Axiome du choix (AC) dit que le produit d’une famille d’en- sembles non vides est non vide, c’est-`a-dire que siX_i6=∅pour touti∈I, alors Q

i∈IX_i6=∅.

Dans le syst`eme d’axiomes de Zermelo-Fraenkel (ZF), (AC) est ´equivalent auLemme de Zorn ainsi qu’auTh´eor`eme de Zermelo. Nous le d´emontrons au dernier chapitre du cours et l’admettons comme r´esultat pour l’instant.

D´efinition. Un ensemble partiellement ordonn´eX estinductif si toute partie Y ⊆X totalement ordonn´e poss`ede un majorant (dans X). En particulier, un telX n’est pas vide.

Lemme de Zorn. Tout ensemble partiellement ordonn´e inductif poss`ede un

´el´ement maximal.

Th´eor`eme de Zermelo(Wohlordnungssatz). Tout ensembleXadmet un bon ordre.

1.7 Cardinaux

On suppose jusqu’`a la fin de l’avant-dernier chapitre que l’axiome du choix est v´erifi´e.

D´efinition. On appelle cardinal tout ordinal qui n’est pas ´equipotent `a un ordinal plus petit.

Exemples 1.7.1. 1. Tout ordinal fini et un cardinal.

2. L’ordinalω est un cardinal. Il sera not´eℵ0.

3. Siαest infini, alorsα⁺ n’est pas un cardinal. (α⁺ etαsont ´equipotents.) Proposition 1.7.2. Tout ensembleX est ´equipotent `a un unique cardinal, not´e card(X).

D´emonstration. Par le Th´eor`eme de Zermelo et 1.4.8, X est ´equipotent `a un ordinal α. Soit β ≤ α minimal tel que β soit ´equipotent `a α. Alors β est un cardinal et en bijection avecX. L’unicit´e est claire.

Proposition 1.7.3. Soient X et Y deux ensembles avec X non vide. Sont

´equivalents :

1. card(X)≤card(Y)

2. Il existe une injection deX dansY. 3. Il existe une surjection de Y sur X.

D´emonstration. (1)⇒(2) est facile.

(2)⇒(3) : Soit f : X → Y une injection. On choisitx₀ ∈ X et on obtient une surjectiong:Y →X, en posantg(y) :=x₀siy6∈im(f) ={f(x) | x∈X}, etg(y) :=f⁻¹(y) sinon.

(3)⇒(1) : S’il existe une surjection deY surX, alors il existe une surjection g:λ= card(Y)→κ= card(X). L’applicationf qui `a α∈κassocie l’´el´ement minimalβdansλavecg(β) =αd´efinit une injection deκdansλ. En particulier, κest en bijection avec un ordinalγ ≤λ. (On prend γ l’unique ordinal qui est isomorphe au bon ordre induit sur im(f).)

D´efinition. On appelle un ensembleX d´enombrable si card(X)≤ ℵ0, etfini si card(X)<ℵ0.

Dans la suite,κ, λetc. d´enoteront des cardinaux.

Proposition 1.7.4. SoitX un ensemble de cardinaux. Alors λ= sup_κ∈Xκest un cardinal.

D´emonstration. Siα < λ, alorsα < κpour unκ∈X. Commeκest un cardinal, on a κ = card(κ) ≤ card(λ), d’o`u α < card(λ). Cela montre que λ n’est pas

´equipotent avec un ordinal plus petit.

Il n’y a pas de plus grand cardinal. En effet, si κ est un cardinal, alors λ:= card(P(κ))> κ par le th´eor`eme de Cantor. L’ensemble des cardinaux≤λ qui sont > κ est donc non vide. On note κ⁺ son plus petit ´el´ement, appel´e successeur cardinal deκ. Pour ´eviter des confusions, le successeur ordinal deα sera not´eα+ 1 dans la suite.

D´efinition. Lahi´erarchie des ℵ est l’application des ordinaux dans les cardi- naux qui est d´efinie comme suit :

– ℵ0:=ω – ℵα+1:=ℵ⁺_α

– ℵα:= sup_β<αℵβ, siαest un ordinal limite.

Par induction transfinie, on montre que α < β ⇒ ℵα <ℵβ. En combinai- son avec le r´esultat suivant, on en d´eduit que la hi´erarchie des ℵ ´etablit une

´enum´eration strictement croissante des cardinaux infinis par les ordinaux.

Proposition 1.7.5. Tout cardinal infini est de la forme ℵα.

D´emonstration. Soitκ un cardinal infini. La fonction β 7→ ℵβ est strictement croissante sur κ+ 1 (et `a valeurs dans ℵκ+1). Donc ℵκ ≥ κ par 1.4.9, d’o`u ℵκ+1 > κ. Soit α≤κ+ 1 minimal avec ℵα > κ. Commeκ≥ ℵ0, on aα > 0.

Siα´etait limite, par d´efinition on auraitκ∈S

β<αℵ_β et alorsκ∈ ℵ_β pour un β < α, ce qui contredirait la minimalit´e de α. Doncα =β+ 1 et alors ℵ_β ≤ κ < ℵ_β+1 = ℵ⁺_β. Comme ℵ⁺_β est le successeur cardinal de ℵ_β, n´ecessairement ℵβ=κ.

1.8 Op´ erations sur les cardinaux

SiX etY sont des ensembles, on noteX+Y leur r´eunion disjointe,X×Y leur produit cart´esien etX^Y l’ensemble des applications deY dansX. Siκet λsont deux cardinaux, on noteκ+λle cardinal de leur r´eunion disjointe,κλ le cardinal de leur produit cart´esien etκ^λ le cardinal de l’ensemble des applica- tions deλ dansκ. Ces op´erations sont appel´ees addition (resp. multiplication, exponentiation) cardinale. Il ne faut pas confondre ces op´erations avec les op´e- rations ordinales correspondantes. Ainsi, on a par exemple 2^ω=ω=ℵ0<2^ℵ0, o`u encoreℵ02 =ℵ0, maisω < ω2. Il est clair que ces op´erations co¨ıncident avec les op´erations arithm´etiques usuelles sur les cardinaux finis.

On notera aussi que card(X +Y) = card(X) + card(Y), card(X ×Y) = card(X)card(Y) et card(X^Y) = card(X)^card(Y).

La preuve des r´esultats suivants est imm´ediate.

Proposition 1.8.1. 1. L’addition et la multiplication cardinale sont com- mutatives et associatives, la multiplication est distributive par rapport `a l’addition,κ^λ+µ=κ^λκ^µ,(κ^λ)^µ=κ^λµ et(κλ)^µ=κ^µλ^µ.

2. Siκ≤κ⁰, alors κ+λ≤κ⁰+λ,κλ≤κ⁰λetκ^λ≤κ^0λ (siκ >0) ainsi que λ^κ≤λ^κ0 (siλ >0).

Proposition 1.8.2. On acard(R) = 2^ℵ0.

D´emonstration. Cela reprend l’exercice 1.1.3, compte tenu de la bijection cano- nique entreP(N) et 2^ℵ0.

On a une injection h: 2^ℵ0 →Rqui `a une suite (ai)_i∈N de 0 et de 1 associe P

iai2⁻ⁱ si le support de la suite est infini, et 2 +P

iai2⁻ⁱ sinon. Cela montre 2^ℵ0≤card(R). D’autre part l’image dehcontient l’intervalle ]0,1[ qui est ´equi- potent `aR(par exemple viax7→1/πarctan(x) + 1/2), d’o`u card(R)≤2^ℵ0. Proposition 1.8.3(Th´eor`eme de Hesseberg).

Pour tout cardinal infiniκon a κκ=κ.

D´emonstration. Par induction surα, on montrera queℵ_αℵ_α=ℵ_α. Pourα= 0 c’est clair. (L’applicationα₂:N²→N, α₂(m, n) := 1/2(m+n+ 1)(m+n) +n est bijective.) On suppose queℵ_βℵ_β=ℵ_β pour toutβ < α, et on munitℵ_α× ℵ_α de l’ordre suivant :

(β, γ) < (β⁰, γ⁰) si max(β, γ) < max(β⁰, γ⁰) ou si max(β, γ) = max(β⁰, γ⁰) et β < β⁰ ou si max(β, γ) = max(β⁰, γ⁰) etβ =β⁰ etγ < γ⁰.

On v´erifie qu’il s’agit d’un bon ordre.

De plus, pour tout δ < ℵα, la partie δ×δ est un s´egment initial pour

<. Soit f : ε → ℵα× ℵα l’unique isomorphisme d’ensembles ordonn´es avec ε un ordinal. Si ε > ℵα, alors ℵα ∈ ε et f(ℵα) = (β0, γ0) ∈ ℵα× ℵα. Posons δ0:= max(β0, γ0) + 1. Comme aucun ordinal successeur infini n’est un cardinal (par 1.7.1), on a δ0 < ℵα et f restreinte `a ℵα d´efinit une injection de ℵα

dansδ0×δ0, un ensemble de cardinal card(δ0×δ0) = card(δ0)≤δ0 <ℵα par hypoth`ese d’induction. Contradiction. Doncℵαℵα≤ ℵα. L’in´egalit´e dans l’autre sens est claire.

Exemple 1.8.4. SoitT ={X⊆R | X est un ouvert}. Alors card(T) = 2^ℵ0. D´emonstration. L’application qui `a r ∈ R associe l’intervalle (r,+∞) d´efinit une injection deRdansT, ce qui montre que card(T)≥2^ℵ0.

R´eciproquement, notons que tout ouvert de R s’´ecrit comme r´eunion sur des intervalles de la forme =(q, q+q⁰), avec q ∈Q et q⁰ ∈Q>0. L’application qui `a Y ⊆ Q×Q>0 associe S

(q,q⁰)∈Y(q, q+q⁰) d´efinit donc une surjection de P(Q×Q>0) sur T. Comme Q×Q>0 est d´enombrable, on obtient 2^ℵ0 ≥ card(T).

Proposition 1.8.5. 1. SiX etY sont des ensembles non vides dont l’un au moins est infini, alors

card(X∪Y) = card(X×Y) = max(card(X),card(Y)).

2. Soit κ≥ ℵ0 etλ >0 des cardinaux. Alorsκ+λ=κλ= max(κ, λ).

3. Soit (Xi)_i∈I une famille d’ensembles avec au moins un Xi infini. Alors card [

i∈I

X_i

!

≤sup ({card(X_i)|i∈I} ∪ {card(I)}). (1.1)

(En particulier, une r´eunion d´enombrable d’ensembles d´enombrables est d´enombrable.) Si de plus les Xi sont tous non vides et 2 `a 2 disjoints, alors on a ´egalit´e dans (1.1).

D´emonstration. (1) Soitκ= max(card(X),card(Y)). On aκ≤card(X∪Y)≤ κ+κ= 2κ≤κκainsi queκ≤card(X×Y)≤κκ. On conclut par le th´eor`eme de Hesseberg. (2) est un cas particulier de (1).

(3) Soit X ={(xi, i) | x_i ∈X_i pour uni∈I} la r´eunion disjointe des X_i. On a une surjection canonique deX surS

i∈IX_i et il suffit donc de montrer que card(X)≤sup ({card(X_i)|i∈I} ∪ {card(I)}). Soitκ= sup(card(X_i)), et soit Y_i l’ensemble des applications injectives de X_i dansκ. Comme lesY_i sont tous non vides, par l’axiome du choix il existe f = (fi)_i∈I ∈ Q

i∈IYi. La fonction g:X →κ×I,g((xi, i)) := (fi(xi), i) est injective, d’o`u card(X)≤κcard(I) = max(κ,card(I)). L’´enonc´e sur l’´egalit´e est clair.

La proposition pr´ec´edente montre que l’addition cardinale et la multiplica- tion cardinale deviennent triviaux pour des cardinaux infinis. C’est tout `a fait le contraire pour l’exponentiation cardinale. Notons que le syst`eme d’axiomes ZFC ne d´etermine pas compl`etement l’exponentiation cardinale. Ainsi, il ne permet par exemple pas de trancher sur l’hypoth`ese du continu.

D´efinition. – L’Hypoth`ese du continu (CH)est l’´enonc´e 2^ℵ0 =ℵ1.

– L’Hypoth`ese du continu g´en´eralis´ee (GCH) dit que 2^κ = κ⁺ pour tout cardinal infiniκ.

Si (κ_i)_i∈I est une famille de cardinaux, on note P

i∈Iκ_i le cardinal de la r´eunion disjointe desκ_i, etQ

i∈Iκ_i le cardinal du produit de la famille.

Th´eor`eme 1.8.6(Th´eor`eme de K¨onig). Soient(κi)_i∈I et(λi)_i∈I deux familles de cardinaux dont on suppose queκi< λi pour touti. AlorsP

i∈Iκi<Q

i∈Iλi. D´emonstration. Soit f : P

i∈Iκi → Q

i∈Iλi. Pour chaque i, f induit une ap- plication fi :κi →λi donn´ee par la i-`eme composante de la restriction def `a κi. Comme κi < λi, l’ensemble Bi :=λi\im(fi) est non vide pour touti. Par l’axiome du choix il existeb∈Q

i∈IBi ⊆Q

i∈Iλi. Clairementb6∈im(f).

1.9 Cofinalit´ e

Afin de pouvoir d´emontrer des ´enonc´es du type 2^ℵ0 6=ℵω, nous aurons besoin de la notion de cofinalit´e.

D´efinition. – SoitXun ensemble totalement ordonn´e. On dit qu’une partie Y ⊆X est cofinale dans X si Y n’est pas born´e dansX, c’est-`a-dire si pour toutx∈X il existey∈Y tel que x≤y.

– Soitf :β →αune application entre ordinaux. On dit quef estcofinale si im(f) est cofinale dansα.

– Lacofinalit´e deα, not´ee cof(α), est le plus petit ordinalβ tel qu’il existe une fonctionf :β →αqui est cofinale.

Exemples 1.9.1. 1. cof(0) = 0 2. cof(α+ 1) = 1 pour toutα 3. cof(ω) =ω

Proposition 1.9.2. 1. cof(α)≤α 2. cof(α)est un cardinal.

3. cof(α)est ´egal au plus petit ordinalβ tel qu’il existe une application cofi- nale et (strictement) croissante f :β →α.

4. cof(cof(α)) = cof(α)

D´emonstration. (1) est clair, et (2) suit du fait que tout ordinalβest en bijection avec card(β)≤β.

(3) Il suffit de construire β ≤ cof(α) et une application f : β → α qui soit strictement croissante et cofinale. Par hypoth`ese il existe h : cof(α) → α cofinale. On d´efinit

X ={x∈cof(α) | h(y)< h(x) pour tout y < x}.

L’ensemble h(X) ={h(x) | x∈X} est une partie cofinale de α. En effet, soitγ < αdonn´e. Par cofinalit´e deh, il existey∈cof(α) tel queh(y)≥γ. Siy est minimal avec cette propri´et´e, on ay∈X.

Comme (X, <) ∼= (β,∈) pour un β ≤ cof(α), on a donc termin´e, car h restreinte `aX est strictement croissante et cofinale.

(4) cof(cof(α)) ≤ cof(α) suit de (1). Pour l’autre sens, on choisit deux fonctions croissantes et cofinales f : cof(cof(α)) → cof(α) et g : cof(α) → α ce qui est possible par (3). Alors g◦f : cof(cof(α)) → α est cofinale, d’o`u cof(α)≤cof(cof(α)).

On dit qu’un cardinal infini κ est r´egulier si cof(κ) = κ, et singulier si cof(κ)< κ.

Proposition 1.9.3. Tout cardinal infini successeur est r´egulier. En particulier, ℵ1 est r´egulier.

D´emonstration. Soitκ=ℵβ+1=ℵ⁺_β. Notons que pour un ordinal limiteα, une partieX ⊆αest cofinale si et seulement siα=S

γ∈Xγ. (C’est une cons´equence de 1.4.5.) On consid`ere f : λ → κ pour un cardinal λ < κ. Alors λ ≤ ℵ_β et 1.8.5(3) entraˆıne que card

S

β<λf(β)

≤sup ({f(β)|β < λ} ∪ {λ})≤ ℵ_β. Doncf n’est pas cofinale.

Proposition 1.9.4. Siλest un ordinal limite, alors cof(ℵλ) = cof(λ).

D´emonstration. Si f : α → λ est cofinale, alors il est clair que ˜f : α → ℵλ, β 7→ ℵf(β), est cofinale aussi, car ℵλ = S

γ<λℵγ par d´efinition. Cela montre cof(ℵλ)≤cof(λ). R´eciproquement, soitg:α→ ℵλ cofinale. On d´efinit ˜g:α→ λ, ˜g(β) = 0 si g(β) est fini, et ˜g(β) =γ si card(g(β)) =ℵγ. Clairement, ˜g est cofinale.

Proposition 1.9.5. Siκ≥2etλ≥ ℵ₀sont deux cardinaux, alorscof κ^λ

> λ.

D´emonstration. Soitf :α→κ^λune application, avecαun ordinal≤λ. Comme f(β)< κ^λ pour toutβ < α, le th´eor`eme de K¨onig donne

card



 [

β<α

f(β)



≤ X

β<α

card(f(β))< Y

β<α

κ^λ

= κ^λcard(α)

=κ^λ·card(α)≤κ^λ.

Doncf n’est pas cofinale.

Corollaire 1.9.6. On a2^ℵ0 6=ℵω.

D´emonstration. On a cof(ℵω) = cof(ω) =ω=ℵ0<cof 2^ℵ0 .

Chapitre 2

Calcul des pr´ edicats

2.1 Langages et structures

Les ´enonc´es du calcul des pr´edicats sont des chaˆınes de symboles qui d´e- crivent des propri´et´es de structures. L’´enonc´e

ϕ=∀x(x >0→ ∃y y·y=x)˙

par exemple est satisfait dans un corps ordonn´e si et seulement si tout ´el´e- ment positif est un carr´e. Il est vrai dans le corps ordonn´e des r´eels R = hR; 0,1,+,−, <iet faux dans le corps ordonn´e des rationnels.

On verra que l’´enonc´eϕs’exprime dans le cadre que nous allons ´etudier, c’est-

`

a-dire dans la logique du premier ordre. Par contre, nous verrons que d’autres propri´et´es de corps ordonn´es comme le fait d’ˆetrearchim´edien (pour toutx >0 il existen∈Ntel quenx >1) oucomplet (toute partie born´ee non vide admet un supremum) ne s’expriment pas par des ´enonc´es du premier ordre.

D´efinition. Unlangage (du premier ordre) est un ensemble de symbolesLqui se compose de deux parties :

1. La premi`ere partie (commune `a tous les langages) consiste en les symboles auxiliaires«(»et«)»ainsi qu’en lessymboles logiques suivants :

l’ensemble desvariables V={vn | n∈N} lesymbole de l’´egalit´e = (˙ «´egal»)

lesconnecteurs ¬(n´egation,«non»), ∧(conjonction,«et») lequanteur existentiel ∃(«il existe»)

2. La deuxi`eme partie, appel´ee lasignaturedeLet not´eeσ^L, consiste en les symboles non logiques deL. Elle est form´ee

– d’un ensemble desymboles de constante C^L;

– d’une suite d’ensemblesF_n^L,n∈N^∗, o`u les ´el´ements deF_n^Lsont appel´es symboles de fonction n-aires;

– d’une suite d’ensemblesR^L_n,n∈N^∗, o`u les ´el´ements deR^L_n sont appel´es symboles de relation (oupr´edicat)n-aires.

Le langage L est donn´e par la r´eunion (disjointe) de ces ensembles de symboles.

On observe que tout langage est infini. Comme la premi`ere partie est com- mune `a tous les langages, nous identifions souvent L et σ^L, par un abus de notation.

Exemples 2.1.1.

L_∅=∅ Le langage vide.

Lan={0,1,+,−,·} Le langage des anneaux (avec 1).

Lord={<} Le langage des ordres.

Lc.ord=Lan∪ Lord Le langage des corps ordonn´es.

Lar ={0, S,+,·, <} Le langage de l’arithm´etique.

Lens={∈} Le langage de la th´eorie des ensembles.

Dans ces exemples, 0 et 1 sont des symboles de constantes, − et S des symboles de fonction unaires, + et · des symboles de fonction binaires, et <

ainsi que∈des symboles de relation binaires.

D´efinition. SoitLun langage. UneL-structure Aest la donn´ee d’un ensemble non videA (appel´e l’ensemble de base de A) muni d’un ´el´ement c^A ∈A pour chaquec∈ C^L, d’une fonctionf^A:Aⁿ→Apour chaquef ∈ F_n^Let d’une partie R^A⊆Aⁿ pour chaqueR∈ R^L_n. On l’´ecritA=hA; (Z^A)_Z∈σLi.

Z^A est uneinterpr´etation du symbole Z∈σ^L.

Exemples 2.1.2. 1. N=hN; 0, S,+,·, <iest uneLar-structure, avecSl’ap- plication successeur qui `a xassociex+ 1.

2. C=hC; 0,1,+,−,·i, le corps des complexes, est uneLan-structure.

3. R=hR; 0,1,+,−,·, <i, le corps ordonn´e des r´eels, est uneL_c.ord-structure.

D´efinition. On dit que deuxL-structuresAetBsontisomorphes,A∼=B, s’il existe unisomorphisme F :A∼=B, une bijectionF :A→Bqui commute avec les interpr´etations des symboles dansσ^L, c’est-`a-dire

– F(c^A) =c^Bpour toutc∈ C^L,

– F(f^A(a1, . . . , an)) =f^B(F(a1), . . . , F(an)) pour toutf ∈ F_n^L et tout uple (a1, . . . , an)∈Aⁿ,

– (a1, . . . , an)∈R^A ⇐⇒ (F(a1), . . . , F(an))∈ R^B pour tout R ∈ R^L_n et tout uple (a1, . . . , an)∈Aⁿ.

2.2 Termes et formules

Unmotsur un ensemble (alphabet)Eest une chaˆıne finiem=a₀a₁· · ·a_k−1 aveca_i∈Epour touti. On appelleklalongueurdem, et on noteE^∗l’ensemble des mots surE.

D´efinition. SoitL un langage. L’ensemble T^L des L-termes est le plus petit sous-ensemble deL^∗ qui contient les variables et les symboles de constante et tel que sif ∈ F_n^L et t1, . . . , tn∈ T^L, alorsf t1· · ·tn∈ T^L.

On a T^L = S

n∈NT_n^L, o`u on d´efinit T₀^L = C^L∪ V^L, puis inductivement T_n+1^L =T_n^L∪ {f t1· · ·tk | f ∈ F_k^L ett1, . . . , tk ∈ T_n^L}.

Proposition 2.2.1 (Lecture unique des termes). Tout terme t ∈ T^L v´erifie une et une seule des trois possibilit´es suivantes :

1. t est une variable,

2. t est un symbole de constante,

3. il existe un unique entier n≥1, un unique symbole de fonction n-airef et une unique suite (t1, . . . , tn)de termes tels que t=f t1· · ·tn.

D´emonstration. Exercice. (On montrera d’abord, par induction sur la longueur des termes, qu’aucun s´egment initial propre d’un terme n’est un terme.) Notation. Pour faciliter la lecture des termes, on ´ecrira dor´enavantf(t₁, . . . , t_n) pour f t₁· · ·t_n. Sif est binaire, on ´ecrira parfois aussi t₁f t₂ au lieu de f t₁t₂. Par exemple, (x+y)·zsignifie·+xyz.

Si t est un terme, sonhauteur ht(t) est d´efini comme le plus petit entierk tel que t ∈ T_k^L. Il suit de la propri´et´e de lecture unique pour les termes que ht(f t1· · ·tn) = 1 + max(ht(ti)).

D´efinition. 1. UneL-formule atomique est

– soit un mot de la formet1=t˙ 2, o`u t1 ett2 sont desL-termes,

– soit un mot de la forme Rt1· · ·tn, o`u R ∈ R^L_n et tous les ti sont des L-termes.

2. L’ensembleFml^L desL-formules est le plus petit sous-ensemble deL^∗qui contient les formules atomiques et tel que siϕ, ψ∈ Fml^L etx∈ V, alors

¬ϕ, (ϕ∧ψ) et ∃xϕsont des ´el´ements deFml^L. On aFml^L =S

n∈NFml^L_n, o`uFml^L₀ est d´efinit comme l’ensemble des for- mules atomiques, puis inductivement

Fml^L_n+1 = Fml^L_n∪ {¬ϕ | ϕ∈ Fml^L_n} ∪ {(ϕ∧ψ) | ϕ, ψ∈ Fml^L_n}

∪ {∃xϕ | x∈ V etϕ∈ Fml^L_n}.

Proposition 2.2.2(Lecture unique des formules).

Toute formuleϕ∈ Fml^L v´erifie une et une seule des possibilit´es suivantes : 1. ϕest une formule atomique, soit de la formeRt1· · ·tnpourRett1, . . . , tn

uniques, soit de la formet1=t˙ 2 pourt1, t2 uniques ; 2. ϕ=¬ψpour une unique L-formuleψ;

3. ϕ= (ψ∧χ)pour des uniquesL-formules ψetχ;

4. ϕ=∃xψ pour une unique variable xet une uniqueL-formuleψ.

D´emonstration. Exercice. (On montrera d’abord qu’aucun s´egment initial propre d’une formule n’est une formule.)

Siϕest une formule, sonhauteur ht(ϕ) est d´efinie comme le plus petit entier ktel queϕ∈ Fml_k^L. Il suit de la propri´et´e de lecture unique pour les formules que ht(∃xϕ) = ht(¬ϕ) = 1 + ht(ϕ) et ht((ϕ∧ψ)) = 1 + max(ht(ϕ),ht(ψ)). Cela nous permet de donner des d´efinitions par induction sur la hauteur des formules.

D´efinition. 1. Soitv_kune variable. On d´efinit, par induction sur la hauteur deϕ, la notion d’occurrence libre dev_k dansϕ:

– Siϕest atomique, toutes les occurrences dev_k dansϕsont libres.

– Les occurrences libres devk dansϕ=¬ψsont celles dansψ.

– Les occurrences libres devkdansϕ= (ψ∧χ) sont celles dansψet celles dansχ.

– Sil6=k, les occurrences libres devk dansϕ=∃vlψ sont celles deψ.

– Aucune occurrence devk dansϕ=∃vkψn’est libre.

Les occurrences non libres d’une variable sont ditesli´ees.

2. Lesvariables libres deϕsont celles qui admettent au moins une occurrence libre dansϕ. On note Lib(ϕ) l’ensemble des variables libres deϕ.

3. Un´enonc´e est une fomule sans variable libre.

Exemple. Dansϕ= (∃v0v0< v1∧v0=v˙ 1), les deux premi`eres occurrences de v0sont li´ees, tandis que la troisi`eme est libre. Toutes les occurrences dev1dans ϕsont libres, d’o`u Lib(ϕ) ={v0, v1}.

Notation. On utilisera les abbr´eviations suivantes :

(ϕ∨ψ) =¬(¬ϕ∧ ¬ψ) (disjonction,«ou») (ϕ→ψ) =¬(ϕ∧ ¬ψ) (implication,«implique»)

(ϕ↔ψ) = ((ϕ→ψ)∧(ψ→ϕ)) (´equivalence,«si et seulement si»)

∀xϕ=¬∃x¬ϕ (quanteur universel,«pour tout») On ´ecrira ∃x₁, . . . , x_n au lieu de ∃x₁· · · ∃x_n (de mˆeme pour le quanteur universel),R(t₁, . . . , t_n) au lieu deRt₁· · ·t_n, et parfoist₁Rt₂ au lieu deRt₁t₂.

On notera (ϕ0∧ · · · ∧ϕn) au lieu de (· · ·((ϕ0∧ϕ1)∧ϕ2)∧. . .∧ϕn), de mˆeme pour∨`a la place de∧.

Enfin, pour faciliter la lecture des formules, on ajoutera parfois des paren- th`eses, ou on les omettra. Dans ce cas, on lira les formules selon l’affinit´e des symboles logiques :

Affinit´e maximale : ¬ ∃ ∀

∧

∨ Affinit´e minimale : → ↔

Ainsi,∀xϕ∧ψ →χ voudra dire ((∀xϕ∧ψ)→χ) =¬((∀xϕ∧ψ)∧ ¬χ) =

¬((¬∃x¬ϕ∧ψ)∧ ¬χ).

Exemple. Voici la liste des axiomes de corps dansLan. 1. ∀x x+ 0 ˙=x

2. ∀x, y x+y=y˙ +x

3. ∀x(−x) +x= 0

4. ∀x, y, z(x+y) +z=x˙ + (y+z) 5. ∀x x·1 ˙=x

6. ∀x, y x·y=y˙ ·x

7. ∀x, y, z(x·y)·z=x˙ ·(y·z) 8. ∀x, y, z x·(y+z) ˙=(x·y) + (x·z) 9. ∀x(¬x=0˙ → ∃y x·y=1)˙

10. ¬0 ˙=1

2.3 S´ emantique

Dans ce paragraphe, nous donnons un sens aux formules.

D´efinition. 1. SoitAune L-structure. Uneaffectation est une fonctionα: V →Ade l’ensemble des variables dans l’ensemble de base deA.

2. Si α est une affectation, A une L-structure et t un L-terme, on d´efinit t^A[α], par induction sur ht(t), de la mani`ere suivante :

– v_i^A[α] =α(v_i) (pourv_i∈ V) et c^A[α] =c^A(pourc∈ C^L), – f(t₁, . . . , t_n)^A[α] =f^A(t^A₁[α], . . . , t^A_n[α]).

La preuve du lemme suivant est claire.

Lemme 2.3.1. Si les affectationsαetβ co¨ıncident sur toutes les variables qui ont une occurrence danst, alors t^A[α] =t^A[β].

Notation. Si test un terme, on ´ecrirat=t(x₁, . . . , x_n) si les variablesx_i sont distinctes et si toutes les variables ayant au moins une occurrence danstfigurent parmi lesxi.

Sit=t(x1, . . . , xn) eta1, . . . , an∈A, on d´efinitt^A[a1, . . . , an] part^A[α] o`uα est une affectation avecα(xi) =ai pour touti. (C’est bien d´efini par le lemme.) D´efinition(Satisfaction d’une fomule). SoitAuneL-structure. On d´efinit pour toutes les affectationsαet toutes les formules la relationA|=ϕ[α] qu’on lit«ϕ est satisfait dansAparα»:

A|=t₁=t˙ ₂[α] :⇐⇒ t^A₁[α] =t^A₂[α]

A|=Rt₁· · ·t_n[α] :⇐⇒ (t^A₁[α], . . . , t^A_n[α])∈R^A A|=¬ψ[α] :⇐⇒ A6|=ψ[α]

A|= (ψ∧χ)[α] :⇐⇒ A|=ψ[α] etA|=χ[α]

A|=∃xψ[α] :⇐⇒ il existea∈A tel queA|=ψ[α_a/x] Ici,α_a/x(y) :=

(α(y), siy6=x, a, siy=x.

Proposition 2.3.2. Si les affectations α etβ co¨ıncident sur Lib(ϕ), alors on aA|=ϕ[α] ⇐⇒ A|=ϕ[β].

D´emonstration. Par induction sur ht(ϕ). Le cas des formules atomiques suit du lemme. Dans l’´etape d’induction, seul le casϕ =∃xψ m´erite un argument. Si A|=ϕ[α], il existea∈Atel queA|=ψ[αa/x]. Toute variabley6=xqui est libre dansψ est aussi libre dans ϕ. Donc A|=ψ[βa/x] par l’hypoth`ese d’induction, d’o`uA|=ϕ[β].

Notation. Si ϕest une formule, on ´ecriraϕ=ϕ(x₁, . . . , x_n) si les variablesx_i sont distinctes et si toutes les variables libres dansϕfigurent parmi lesx_i.

Si ϕ = ϕ(x₁, . . . , x_n) et a₁, . . . , a_n ∈ A, on d´efinit A |= ϕ[a₁, . . . , a_n] par A|= ϕ[α], o`u αest une affectation avec α(x_i) =a_i. (C’est bien d´efini par la proposition.)

Ainsi, la formule ϕ(x1, . . . , xn) d´efinit une relation n-aire dans la structure A, donn´ee par{(a1, . . . , an)∈Aⁿ | A|=ϕ[a1, . . . , an]}.

En particulier, siϕest un ´enonc´e, on peut d´efinir le symbole A|=ϕ,

lu comme«ϕestsatisfait (ouvrai) dansA»ou bien «Aest mod`ele deϕ». Exemple. Une Lan-structure hK; 0,1,+,−,·i est un corps si et seulement si elle satisfait aux axiomes de corps (1)–(10) donn´es auparavant.

Exercice 2.3.3. 1. Soit A une L-structure et B une partie non vide de A qui contient les interpr´etations c^A de toutes les constantes de L et qui est close sous toutes les op´erationsf^A. En restreignant les interpr´etations des symboles deA`a B on obtient alors uneL-structureB, appel´eesous- structure deA. Nous ´ecrivons B⊆AsiB est une sous-structure deA.

Montrer que l’intersection d’une famille de sous-structures de A est une sous-structure ou vide. En d´eduire que toute partie non vide X de A est contenue dans une plus petite sous-structure de A, appel´ee la sous- structure engendr´ee parX et not´eehXiA. Montrer que l’ensemble de base dehXi_A est donn´e par{t^A[α] | t∈ T^L etα:V →X}.

2. Soit A = hA; 0,1,+,−,·i une Lan-structure. On suppose que A est un anneau. Montrer que la sous-structure engendr´ee par une partieX deA est donn´ee par le sous-anneau engendr´e parX.

2.4 Substitution

Le but de ce paragraphe est de donner une bonne d´efinition de la substitution (dans une formuleϕ) d’une variablexpar un termes, d’une telle mani`ere que les propri´et´es s´emantiques qu’on attend (voir 2.4.2) soient satisfaites.

On pourrait tout simplement remplacer toute occurrence libre dexdansϕ pars, mais alors il se peut qu’une variable de sest li´ee, dans la formule ainsi obtenue, par un quanteur. Cela peut avoir des effets s´emantiques ind´esirables, comme par exemple pourϕ(v0) =∃v1¬v1=v˙ 0,x=v0 ets=v1. On obtiendrait