Il s’en suit que #ϕ∈X si et seulement s’il existeppremier et y tels que (y,#(χp→ ¬ϕ))∈Dem(CAC). Comme l’application (p,#ϕ)7→#(χp→
¬ϕ) est (primitive) r´ecursive, on conclut queX est r´ecursivement ´enum´ e-rable.]
4. La th´eorie du corps ordonn´e des r´eels Rest d´ecidable (c’est un r´esultat de Tarski).
[Comme elle est compl`ete, il suffit de donner une axiomatisation effective.
On peut montrer que tout corps ordonn´e hK; +,−,0,1,·, <i satisfaisant aux deux propri´et´es suivantes est ´el´ementairement ´equivalent `aR: – tout ´el´ement positif est un carr´e (∀x(x≥0→ ∃y y·y=x)) ;˙
– K a la propri´et´e de la valeur interm´ediaire pour les fonctions poly-nˆomiales, c.-`a-d. si P(X) ∈ K[X] est un polynˆome et a < b avec P(a)·P(b)<0, alors il existec∈K tel quea < c < betP(c) = 0.
Pour le prouver, Tarski a montr´e que Th(R) admet l’´elimination des quan-teurs dans le langage des corps ordonn´es, un r´esultat que nous ne pouvons pas pr´esenter dans ce cours, par manque de temps.]
Exercice 5.2.6. Si T est d´ecidable etϕ0, . . . , ϕn−1 sont desL-´enonc´es, alors T∪ {ϕ0, . . . , ϕn−1} est d´ecidable.
5.3 Arithm´ etique de Peano
On consid`ere le langage de l’arithm´etiqueLar ={0, S,+,·, <}.
D´efinition. L’ensemble desaxiomes de Peano faibles est l’ensemble finiP0des 8 axiomes suivants :
(A1) ∀v0¬Sv0=0˙
(A2) ∀v0∃v1(¬v0=0˙ →Sv1=v˙ 0) (A3) ∀v0∀v1(Sv0=Sv˙ 1→v0=v˙ 1) (A4) ∀v0v0+ 0 ˙=v0
(A5) ∀v0∀v1v0+Sv1=S(v˙ 0+v1) (A6) ∀v0v0·0 ˙=0
(A7) ∀v0∀v1v0·Sv1=(v˙ 0·v1) +v0
(A8) ∀v0∀v1(v0< v1↔(∃v2v2+v0=v˙ 1∧ ¬v0=v˙ 1))
L’ensemble desaxiomes de Peanoest l’ensemble (infini)Pform´e deP0, ainsi que pour chaqueLar-formuleϕ=ϕ[v0, . . . , vn] de l’axiome d’induction suivant (on posev= (v1, . . . , vn)) :
∀v1∀v2· · · ∀vn((ϕ(0, v)∧ ∀v0(ϕ(v0, v)→ϕ(Sv0, v))→ ∀v0ϕ(v0, v)).
Remarque 5.3.1. 1. On aN =hN; 0, succ,+,·, <i |=P.
2. P0 est une expansion par d´efinition de la Lar\ {<}-th´eorie (A1)-(A7).
(C’est une cons´equence de (A8).)
3. P0 est une th´eorie tr`es faible. On peut construire des mod`eles dans les-quels l’addition (ou la multiplication) n’est pas commutative / associative ; de mˆeme, il y a des mod`eles dans lesquels ≤ ne d´efinit pas une relation d’ordre.
4. Pour n ∈ N, dans tout mod`ele de P0 on trouve l’´el´ement qui interpr`ete n = S· · ·S
| {z }
nfois
0. Un ´el´ement est dit non standard s’il est diff´erent de n pour toutn∈N. Par compacit´e, il existe des mod`eles de P contenant des
´
el´ements non standards.
D´efinition. SoitM⊆M0 deux Lar-structures. On dit que Mest un segment initial deM0 si
– pour touta0∈M0 et touta∈M tel que M0 |=a0< aon aa0∈M, et – pour touta0∈M0\M et touta∈M on aM0 |=a < a0.
Lemme 5.3.2. SoitM|=P0. AlorsN ={nM | n∈N} est l’ensemble de base d’une sous-structure deMisomorphe `aN qui forme un segment initial deM.
D´emonstration. SoitM|=P0. On montre : (i) Pour toutm, n∈Non aP0|=m+n=m˙ +n.
[Preuve par induction surn, en utilisant (A4) et (A5).]
(ii) Pour toutm, n∈Non aP0|=m·n=m˙ ·n.
[Preuve par induction surn, en utilisant (A6), (A7) et (i).]
(iii)P0|=∀x∀y(x < y ⇐⇒ Sx < Sy).
[En effet, si c ∈M, alorsM |= (c+x=y˙ ∧ ¬x=y)˙ (A3)⇔ M|= (S(c+x) ˙=Sy∧
¬Sx=Sy)˙ (A5)⇔ M|= (c+Sx=Sy˙ ∧ ¬Sx=Sy). Le r´˙ esultat suit de (A8).]
(iv) Pour toutn∈Non aP0|=∀x(x < n↔Wn−1 i=0 x=i).˙
[Preuve par induction sur n. Si M|= c < 0 pour un c ∈ M, alors (dans M) a+c= 0 pour una∈M etc6= 0 (par (A8)), doncc=Sdpour und(par (A2)) et enfin (par (A5)) 0 =a+Sd=S(a+d), ce qui contredit (A1). Cela montre le casn= 0.
Pour l’´etape d’induction, on utlise (iii) ainsi que le fait que 0< c pour tout c6= 0 (cons´equence de (A4) et (A8)).]
(v) Soitc∈M\N et n∈N. AlorsM|=n < c.
[Preuve par induction surn, le cas n= 0 ´etant clair. Pour l’´etape d’induction n7→n+ 1, notons quec =Sdpour un d6∈N. On a doncM|=n < d, ce qui donneM|=n+ 1< c, en utilisant (iii).]
Il est clair que cela termine la preuve.
Quitte `a nommer les ´el´ements de N par des constantes (ce qui est inutile puisque tout ´el´ement de N est donn´e par l’interpr´etation d’un terme), nous avons donc en particulier montr´e que siM|=P0, alorsM|= ∆(N).
D´efinition. – L’ensemble desformules Σ1 est le plus petit sous-ensemble desLar-formules contenant les formules sans quanteurs et qui est clos par
∧, ∨, quantification existentielle ∃x et quantification universelle born´ee
∀x < t, o`utest un terme. [On d´efinit (∀x < t)ϕ:=∀x(x < t→ϕ).]
– L’ensemble des formules Σ1 strictes est le plus petit sous-ensemble des Lar-formules contenant les formules 0 ˙=x, sx=y,˙ x+y=z,˙ x·y=z,˙ x=y,˙
¬x=y,˙ x < y, ¬x < yet qui est clos par∧, ∨,∃xet ∀x < y.
Lemme 5.3.3. 1. Toute formuleΣ1est ´equivalente `a une formuleΣ1stricte.
2. Siϕest une formuleΣ1, alors toute formuleϕs/xobtenue par substitution estΣ1 aussi.
D´emonstration. On peut ´eliminer des termes complexes `a l’aide de quanteurs existentiels, voir la preuve du lemme 3.3.1. Par exemple, la formulex·Sy=z˙ est
´equivalente `a ∃u∃v(Sy=u˙ ∧x·u=v˙ ∧Sz=v). La seconde partie est claire.˙ Proposition 5.3.4. Tout ´enonc´eΣ1 vrai dansN est cons´equence deP0. D´emonstration. On montrera que pour toute formule Σ1 stricte ϕ(x1, . . . , xn) et toutm1, . . . , mn∈Non a
N |=ϕ[m1, . . . , mn]⇒ P0|=ϕ(m1, . . . , mn).
Cela suffira par le lemme 5.3.3.
Siϕest une formule de base, c’est une cons´equence du lemme 5.3.2.
Supposons que le r´esultat a ´et´e d´emontr´e pourϕ(x0, . . . , xn) etψ(x0, . . . , xn).
Les cas (ϕ∧ψ) et (ϕ∨ψ) sont alors clairs. Quant au quanteur existentiel, si
N |= ∃x0ϕ[m1, . . . , mn], alors il existe m0 ∈ N tel que N |= ϕ[m0, . . . , mn], ce qui implique P0 |= ϕ(m0, . . . , mn) par hypoth`ese d’induction, d’o`u P0 |=
∃x0ϕ(m1, . . . , mn).
Finalement, siN |= (∀x0< x1)ϕ[m1, . . . , mn], alorsN |=ϕ[m0, m1, . . . , mn] pour toutm0< m1par d´efinition de∀x0< x1. Par hypoth`ese d’induction, on a doncP0|=ϕ(m0, . . . , mn) pour toutm0< m1. Par (iv) de la preuve du lemme 5.3.2, on obtient alorsP0|= (∀x0< x1)ϕ(m1, . . . , mn).
D´efinition. Soitf ∈ Fp. On dit que la formuleϕ=ϕ(x1, . . . , xp+1)repr´esente f si pour toutn1, . . . , np∈Non a
P0|=∀y
ϕ(n1, . . . , np, y)↔y=f˙ (n1, . . . , np) .
On dit queϕ(x1, . . . , xp)repr´esente A⊆Npsi pour toutn1, . . . , np∈Non a n∈A⇒ P0|=ϕ(n1, . . . , np) et n6∈A⇒ P0|=¬ϕ(n1, . . . , np).
Remarque. Siϕ(x1, . . . , xp)repr´esenteA, alors1Aest repr´esent´ee par la for-mule(ϕ(x)∧xp+1=1)˙ ∨(¬ϕ(x)∧xp+1=0).˙
R´eciproquement, siψ(x, xp+1)repr´esente1A, alorsψ(x,1)repr´esenteA.
Th´eor`eme 5.3.5(Th´eor`eme de repr´esentabilit´e).
Toute fonction r´ecursive totale est repr´esent´ee par une formule Σ1.
D´emonstration. – Les fonctions de base S, Pin, C00,+,· ainsi que 1< sont repr´esentables par des formules sans quanteurs (qui sont Σ1par d´efinition).
– Sif1, . . . , fp∈ Fmsont repr´esent´ees parϕ1, . . . , ϕp et sig∈ Fp est repr´ e-sent´ee parψ, alorsh=g(f1, . . . , fp)∈ Fmest repr´esent´ee par
∃y1, . . . ,∃yp p
^
i=1
ϕi(x, yi)∧ψ(y1, . . . , yp, xm+1).
En particulier, l’ensemble des fonctions qui sont repr´esentables par une formule Σ1est clos par composition.
– Soitf ∈ Fp+1 et g∈ Fp d´efinie `a partir def par sch´emaµtotal, c.-`a-d.
g(x) =µy(f(x, y) = 0). SoitA={(x, y) | f(x, y) = 0} ⊆Np+1. On sup-pose quef est repr´esent´ee par une formule Σ1. Alors1A=1=(f(x, y),0) est ´egalement repr´esent´ee par une formule Σ1 (c’est une composition de fonction qui le sont), disons par ϕ(x, y, z). La fonctiong est donc repr´ e-sent´ee par la formule Σ1 ψ(x, y) =ϕ(x, y,1)∧(∀y0< y)ϕ(x, y0,0).
En particulier, l’ensemble des fonctions qui sont repr´esentables par une formule Σ1est clos par sch´emaµtotal.
On conclut par le th´eor`eme 4.7.1.
Corollaire 5.3.6. Un ensemble A ⊆ Nn est r´ecursivement ´enum´erable si et seulement s’il existe une fomuleΣ1 qui d´efinit A(dans la structureN).
D´emonstration. Tout ensemble d´efinissable sans quanteur est (primitif) r´ecursif, donc un ensemble d´efini par une formule Σ1 est r´ecursivement ´enum´erable par clˆoture des ensembles r´ecursivement ´enum´erables par projection.
R´eciproquement, comme un ensemble r´ecursivement ´enum´erable est la pro-jection d’un ensemble r´ecursif, il suffit de montrer que tout ensemble r´ecursif est d´efinit par une formule Σ1, ce qui est une cons´equence du th´eor`eme de re-pr´esentabilit´e.
Proposition 5.3.7. Soit M un mod`ele de P. Alors, les propri´et´es suivantes sont satisfaites dansM:
1. +et· sont commutatives et associatives.
2. ·est distributive par rapport `a+.
3. <d´efinit un ordre total, compatible avec+(sia < b, alorsa+c < b+c) et avec la multiplication avec un ´el´ement non nul (si a < betc6= 0, alors a·c < b·c) ; 0 est l’´el´ement minimal, et pour touta,Sa est le successeur imm´ediat de a.
4. Tout ´el´ement est r´egulier pour l’addition (a+c=b+c⇒a=b), et tout
´
el´ement non nul est r´egulier pour la multiplication (sia·c=b·cetc6= 0, alors a=b).
D´emonstration. Toutes ces propri´et´es s’obtiennent facilement par les axiomes d’induction deP. `A titre d’exemple, nous donnons les arguments pour l’asso-ciativit´e et la commutativit´e de l’addition. Le reste est similaire.
Associativit´e de l’addition. Soitϕ(x, y, z) :=x+ (y+z) ˙=(x+y) +z.
DansM, on aa+ (b+ 0) =a+b= (a+b) + 0 par (A4), ce qui montre que M|=∀x, y ϕ(x, y,0).
Si a, b, c ∈ M avec (a+b) +c = a+ (b+c), alors on a a+ (b+Sc) = a+S(b+c) =S(a+ (b+c)) =S((a+b) +c) = (a+b) +Sc par (A5), d’o`u M|=∀x, y(ϕ(x, y, z)→ϕ(x, y, Sz)).
L’axiome d’induction associ´e `aϕdonneM|=∀x, y, z ϕ(x, y, z).
Commutativit´e de l’addition. On montre les propri´et´es suivantes : (i) M|=∀x0 +x=x˙ (par induction, en utilisant (A4) et (A5)) (ii) M|=∀x1 +x=Sx˙ (par induction, en utilisant (i) et (A5))
(iii) M|=∀x, y x+y=y˙ +x(par induction, en utilisant (i), (ii) et l’associa-tivit´e de +)
Remarque. Cela montre queP suffit pour faire la th´eorie des nombres ´el´ emen-taire. P est une th´eorie incompl`ete (voir plus loin), mais il n’est pas facile de trouver un ´enonc´e math´ematique ind´ependant de P. Le th´eor`eme de Goodstein (TD no2, exercice 6) en est un exemple.
Lemme 5.3.8 (Overspill). Soit M |= P non standard et ϕ = ϕ(x) une Lar -formule. SiM|=ϕ(n)pour tout n∈N, alors il existe c∈M non standard tel queM|=ϕ[c].
D´emonstration. Sinon, on auraitM|=ϕ(0) et M|=∀x(ϕ(x)→ϕ(Sx)), carϕ n’est satisfaite que par les ´el´ements standards. Mais alorsM|=∀x ϕ(x), ce qui est absurde carMcontient des ´el´ements non standards par hypoth`ese.