Dans cette derni`ere partie du chapitre sur la th´eorie des ensembles, nous supposons cod´ees les formules ainsi que les preuves dans la th´eorie ZF−. Pour cela, on pourra par exemple se servir du codage que nous avons donn´e dans l’arithm´etique et utiliser que siU |= ZF−etω∈U, alorshω; 0,+,·,succ,∈ωi |= P (voir 6.1.10). Nous continuons `a ´ecrire #ϕpour le code de la formuleϕ.
Les r´esultats d’incompl´etude de G¨odel ont alors leurs analogues en th´eorie des ensembles (avec une preuve un peu plus simple). Notons que ZF−, ZF, ZFC− et ZFC sont des th´eories r´ecursives.
Th´eor`eme 6.4.1(Premier th´eor`eme d’incompl´etude de G¨odel). SoitT⊇ZF− uneLens-th´eorie r´ecursive et consistante. AlorsT est incompl`ete.
Remarque. Nous allons voir (sans preuve) que si ZF est consistante, alors ZF 6` (AC) et ZF 6` ¬(AC). De mˆeme, ZFC 6` (CH) et ZFC 6` ¬(CH). Dans les deux cas, il s’agit de propri´et´es avec un sens math´ematique. Contrairement `a cela, dans le cas de l’arithm´etique, il fallait chercher loin pour trouver un ´enonc´e ind´ependant de P.
Th´eor`eme 6.4.2 (Second th´eor`eme d’incompl´etude de G¨odel). Si T ⊇ ZF− est uneLens-th´eorie r´ecursive et consistante, alorsT 6`Coh(T).
On se place dans un mod`ele U de ZF−. On peut alors coder la satisfaction dansU. SoitLun langage fini etA=hA; (ZA)Z∈σLiuneL-structure avecA∈U. On identifie l’ensemble des affectations `a valeur dansA`aAω, un ´el´ement deU.
Le lemme suivant s’obtient par induction sur la hauteur d’une formule, ce qui revient `a une induction surω. Les d´etails sont laiss´es en exercice.
Lemme 6.4.3. Il existe une fonction dans U qui `a (#ϕ, α) associe 1 si A|= ϕ[α], et 0 sinon.
En particulier, # Th(A) = {#ϕ | ϕest unL-´enonc´e tel queA|=ϕ} est donn´e par un ´el´ement de U.
Un th´eor`eme deconsistance relative a la forme suivante : ´etant donn´ees deux th´eoriesT1etT2, alors, siT1est consistante,T2est consistante aussi. Le principe de preuve sera de construire un mod`ele de T2 `a partir d’un mod`ele deT1.
Commen¸cons par un r´esultat qui ´etablit une relation entre la th´eorie des ensembles et l’arithm´etique. On v´erifie sans probl`eme que la preuve de la pro-position 6.1.10 se fait dans ZF−. Vu queω est un ensemble, on peut d´eduire du lemme 6.4.3 le r´esultat suivant.
Proposition 6.4.4. On a ZF− ` Coh(P). En particulier, si ZF− est consis-tante, l’arithm´etique de Peano P est consistante aussi.
Soit U |= ZF−. Si X est une classe non vide contenue dans U, on peut consid´erer laLens-structurehX;∈Xi.
Dans les preuves des r´esultats de consistance relative en th´eorie des ensembles que nous allons donner, nous construisons des classesX telles que si U |=T1, alorshX;∈Xi |=T2, d’o`u le r´esultat de consistance relative voulu.
Notation. On ´ecrira parfois X|=ϕau lieu dehX;∈Xi |=ϕ.
D´efinition (Relativisation). SoitF(v0) uneLens-formule. Pour toute formule ϕon d´efinit, par induction sur ht(ϕ), une formuleϕF, larelativis´ee deϕ`aF :
– ϕF =ϕsiϕest atomique ;
– (ϕ∧ψ)F = (ϕF∧ψF) et (¬ϕ)F =¬(ϕF) ; – (∃xϕ)F =∃x(F(x)∧ϕF)
Proposition 6.4.5. 1. SoitU |= ZF− etX ⊆U une classe. On suppose que X = F[U] =G[U], c’est-`a-dire queF(v0) et G(v0) d´efinissent X. Alors pour toute formuleϕ, les formulesϕF etϕG sont ´equivalentes dansU. On pourra donc ´ecrireϕX au lieu deϕF, si on ne s’int´eresse qu’`a la formule
`
a ´equivalence pr`es.
2. Pour touta1, . . . , an∈X et toute formuleϕ=ϕ(x1, . . . , xn), on a l’´ equi-valence suivante : U |=ϕX[a] ssihX;∈Xi |=ϕ[a]
D´emonstration. (1) Preuve par induction sur ht(ϕ) (exercice).
(2) Preuve par induction sur ht(ϕ). Seul le casϕ=∃x0ψ est non trivial. On a U |=ϕX[a1, . . . , an] ssiU |=∃x0(F(x0)∧ψX)[a1, . . . , an] ssi il existeb ∈U tel queU |=F[b] etU |=ψX[b, a] ssi il existeb∈X tel queU |=ψX[b, a] ssi il existe b∈X tel queX |=ψ[b, a] ssiX|=ϕ[a].
D´efinition. SoitX une classe d´efinie parF(v0). Une formuleϕ(x1, . . . , xn) est diteabsolue pour X siU |=∀x1, . . . , xn Vn
i=1F(xi)→(ϕ↔ϕX) .
D´efinition. L’ensemble des Lens-formules ∆0 est le plus petit ensemble de formules qui contient les formules atomiques et qui est clos par combinaisons bool´eennes etquantification born´ee(siϕest ∆0, alors∃x(x∈y∧ϕ) et∀x(x∈ y→ϕ) sont des formules ∆0 aussi).
Lemme 6.4.6. 1. Si X est une classe transitive (c’est-`a-direz∈y∈X ⇒ z∈X), alors toute formule ∆0 est absolue pour X.
2. Les propri´et´es suivantes s’expriment par des formules ∆0 :x⊆y,x=∅, x=y∪ {y}, ‘xest transitif ’, z={x, y},y=Sx
D´emonstration. (1) Les formules atomiques sont absolues pour toute classe non vide. De plus, pour toute classeX, l’ensemble des formules absolues est clos par combinaisons bool´eennes. Montrons que siX est une classe transitive non vide et siϕ(x, y, v1, . . . , vn) est absolue pour X, alors la formule∃x(x∈y∧ϕ) est absolue pourX aussi. Pourb, c1, . . . , cn∈X, on a les ´equivalences suivantes :
U |= (∃x(x∈y∧ϕ))X[b, c]
(par d´efinition) ⇐⇒ U |= ∃x(F(x)∧x∈y∧ϕX) [b, c]
⇐⇒ il existe a∈X∩btel que U |=ϕX[a, b, c]
(hypoth`ese d’induction) ⇐⇒ il existe a∈X∩btel que U |=ϕ[a, b, c]
(par transitivit´e deX) ⇐⇒ il existe a∈btel que U |=ϕ[a, b, c]
⇐⇒ U |= (∃x(x∈y∧ϕ)) [b, c]
La preuve de (2) est facile. Par exemple, la transitivit´e de xest exprim´ee par la formule ∆0 suivante :∀y(y∈x→ ∀z(z∈y→z∈x)).
Lemme 6.4.7. On se place dansU |= ZF−.
1. SiX est une classe transitive non vide, elle satisfait (Ext).
2. Vα|= (S
)pour tout ordinal α >0. De mˆeme,V |= (S ).
3. Siλest un ordinal limite, alors Vλ|= (P aire). De mˆeme,V |= (P aire).
4. Si∅ 6=X est transitive telle que U |=∀x∈X∃y∈X(P(x)∩X =y), alors X |= (P arties). En particulier,Vλ |= (P arties) pour tout ordinal limite λ, etV |= (P arties). De plus,y=P(x)est absolue dans ces deux cas.
D´emonstration. (1) L’enonc´e ∀y ∈X∀z ∈X([∀x∈X(x∈y↔x∈z]→y=z)˙ exprime (Ext)X. Comme X est transitive, si y, z ∈ X, alors y, z ⊆ X, donc (Ext)X est satisfait dans U.
(2) Commen¸cons par une remarque g´en´erale : SiG(x, y) d´efinit une classe fonc-tionnelle (dansU) de domaineU telle queG(x, y) soit une formule absolue pour X, alors, pour montrer X |=∀x∃!yG(x, y), il suffit de montrer que si a ∈ X, alors l’uniqueb∈U tel queU |=G(a, b) est ´egalement dansX.
Comme y = S
x est une formule ∆0 par le lemme 6.4.6, il suffit donc de montrer que si x ∈ Vα, alors S
x ∈ Vα, ce qui est clair. En effet, on a les implications suivantes :
x∈Vα ⇒ Rg(x) =β < α ⇒ Rg(y)< β pour touty∈x0∈x
⇒ Sx⊆Vβ ⇒ Sx∈Vβ+1⊆Vα Le mˆeme argument donne le r´esultat pourV.
(3) x, y ∈ Vα ⇒ {x, y} ∈ Vα+1, en particulier x, y ∈ Vλ ⇒ {x, y} ∈ Vλ pour λlimite. Comme la formule z ={x, y} est ∆0, par la remarque g´en´erale on a Vλ|= (Paire). De mˆeme pourV au lieu deVλ.
(4) On aU |=∀x∈X∃y∈X(P(x)∩X=y) si et seulement si˙ U |=∀x∈X∃y∈ X∀z∈X(z⊆x↔z∈y). Ce dernier ´enonc´e est juste (Parties)X, compte tenu du fait quez⊆xest absolue pourX par transitivit´e deX.
Soit maintenant x ∈ Vα. On a alors P(x) ⊆ Vα et donc P(x) ∈ Vα+1. On obtient donc le r´esultat pour Vλ et pour V. L’absoluit´e de y = P(x) est claire.
Lemme 6.4.8. Les formulesOrd(x)etCard(x)sont absolues pour V ainsi que pourVλ siλest un ordinal limite.
D´emonstration. Commen¸cons par Ord(x). La transitivit´e dexainsi que le fait que∈x d´efinisse un ordre total s’expriment par des formules ∆0 et sont donc absolues. Quant `a la bonne fondation, on utilise l’absoluit´e de y =P(x) pour montrer que la formule suivante est absolue aussi :
∀z(z∈ P(x)∧z6=∅ → ∃u(u∈z∧ ∀w(w∈z→w6∈u)))
La formule Ord(x)∧ ∀y(y∈x→ ¬∃f ∈ P(x×y)f :x∼=y) est ´equivalente
`
a Card(x). On montre que les formulesf :x∼=y (en les trois variables f, x, y) ainsi quez=x×y sont absolues pourV ainsi que pour Vλ siλest un ordinal limite (exercice). Cela ´etablit l’absoluit´e de Card(x) dans les deux cas.
D´efinition. On se place dans ZF−.
– Un cardinalλest appel´efortement limitesi pour toutµ < λon a 2µ < λ.
– On dit queλest (fortement)inaccessible s’il est fortement limite, r´egulier et>ℵ0.
Exemple. On d´efinit, par r´ecurrence sur α ∈ Ord, une hi´erarche cardinale comme suit :i0:=ℵ0,iα+1:= 2iα, etiλ:= supα<λiαpour λlimite.
Pour tout ordinal α limite, le cardinal iα est alors fortement limite. Par contre, comme cof(iα) = cof(α) dans ce cas,iαest en g´en´eral singulier.
Lemme 6.4.9. SoitU |= ZF−, et soit ,X =V ouX =Vω, ouX =Vκ pourκ inaccessible. Dans le dernier cas, on suppose de plus queU |= (AC).
AlorsX satisfait au sch´ema d’axiomes de remplacement ainsi qu’`a l’axiome de fondation.
D´emonstration. On choisit une formuleF(x) qui d´efinit X. Soit G(v0, v1) une formule qui d´efinit une classe fonctionnelle dans hX,∈Xi. Alors la formule H(v0, v1) = F(v0)∧F(v1)∧GF d´efinit une classe fonctionnelle dans U. Soit b:=H[a] ={H(c)|c∈a}, o`u aest un ´el´ement deX.
– SiX =V, alorsb∈V carb⊆V etb est un ensemble.
– Si X = Vω, alors, comme a est fini, b est fini et une partie de Vω, d’o`u b⊆Vn pour unn∈ω et enfinb∈Vω.
– SiX=Vκpourκinaccessible, essentiellement le mˆeme argument marche.
On montre par induction sur α que card(Vα) < κ pour tout α < κ.
(Comme on supposeU |= (AC), on peut se servir de la notion de cardinal.) Pourαsuccesseur, on utilise queκest fortement limite ; pourαlimite, on utilise la r´egularit´e deκ.
Maintenant, si a ∈ Vκ, on a a ∈ Vα pour un α < κ et alors a ⊆ Vα+1. Il s’en suit que card(b) ≤ card(a) < κ. Par ailleurs, on a b ⊆ Vκ. Par r´egularit´e deκ, on obtient sup{Rg(c)|c∈b}< κet enfinb∈Vκ.
Cela montre le sch´ema d’axiomes de remplacement dans les trois cas.
Quant `a (AF), on se donne∅ 6=a∈X. On a a⊆X dans les trois cas, car X est transitive. Pour toutb∈ade rang minimal on aa∩b=∅, et un telbest dansX.
Lemme 6.4.10. On aV |= (AI),Vκ|= (AI)pourκinaccessible etVω|=¬(AI).
D´emonstration. On a ω ∈ V, ω ∈ Vκ et ω 6∈ Vω. Les d´etails sont laiss´es en exercice.
Lemme 6.4.11. Si U |= ZFC−, alorsV |= (AC) et Vκ |= (AC), pour κ inac-cessible.
D´emonstration. Soit (Xi)i∈I un ´el´ement de Vκ. Alors I ∈ Vκ et tout ´el´ement g∈Q
i∈IXi est dansVκ. Pour V, on conclut par le mˆeme argument.
Th´eor`eme 6.4.12(Consistance relative de (AF)).
1. SiU |= ZF−, alorsV |= ZF. En particulier, on a Coh(ZF−)⇒Coh(ZF).
2. Si U |= ZFC−, alors V |= ZFC. En particulier, on a Coh(ZFC−) ⇒ Coh(ZFC).
D´emonstration. Il suffit de combiner les lemmes pr´ec´edents. (Rappelons que le sch´ema (Rem) implique le sch´ema (Com), voir 6.1.5.)
Th´eor`eme 6.4.13. SiU |= ZF−, alorsVω|= ZF−(AI) +¬(AI). En particulier, ZF−`Coh(ZFC−(AI) +¬(AI)).
D´emonstration. Nous avons tout d´emontr´e dans les lemmes saufVω|= (AC). Il suffit de remarquer que tout ´el´ement de Vω est un ensemble fini et admet donc un bon ordre, c’est-`a-dire qu’il existe une bijection avec un ´el´ement de ω. Une telle bijection est dansVω.
Axiome des cardinaux inaccessibles (CI): Il existe un cardinal inaccessible.
Th´eor`eme 6.4.14. Soit U |= ZFC− et κ ∈U un cardinal inaccessible. Alors Vκ|= ZFC. En particulier,ZFC−+ (CI)|= Coh(ZFC).
D´emonstration. Nous avons montr´e tous les axiomes dans les lemmes pr´ec´ e-dents.
Par le second th´eor`eme d’incompl´etude, le th´eor`eme 6.4.14 a comme corol-laire que ZFC6`(CI). Voici le r´esultat de consistance relative correspondant que nous montrons plus directement, sans faire appel au second th´eor`eme d’incom-pl´etude.
Th´eor`eme 6.4.15. On aCoh(ZFC)⇒Coh(ZFC +¬(CI)).
D´emonstration. SoitU |= ZFC. On peut supposer queU |= (CI). Soitκle plus petit cardinal inaccessible dansU. AlorsVκ|= ZFC par le th´eor`eme pr´ec´edent.
Il suffit de noter queVκ|=¬(CI), ce qui suit des observations suivaintes : – y=P(x), Ord(x) et Card(x) sont des formules absolues pourVκ(Lemmes
6.4.7 et 6.4.8) ;
– “λest un cardinal r´egulier” est absolu pourVκ (cette propri´et´e s’exprime par la formule¬∃α < λ(∃f :α→λcofinale), exercice) ;
– “λest un cardinal fortement limite” est absolu pour Vκ (cette propri´et´e s’exprime par la formule∀α < λ(¬∃f :P(α)→λsurjective), exercice).
A la fin de ce cours, nous mentionnons quelques r´` esultats importants que nous citons sans preuve. Le livre de Kunen [4] est une r´ef´erence excellente.
Le th´eor`eme suivant peut s’obtenir de mani`ere assez ´el´ementaire par lam´ e-thode de Fraenkel-Mostowski (voir la feuille de TD 14).
Th´eor`eme 6.4.16. 1. SiZFest consistante, alors ZFC−+¬(AF)aussi.
2. SiZF est consistante, alorsZF−+¬(AC) aussi.
Il est possible de remplacer ZF−+¬(AC) par ZF +¬(AC) dans la seconde partie du th´eor`eme pr´ec´edent, mais la preuve est alors beaucoup plus difficile.
Rappelons que l’hypoth`ese g´en´eralis´ee du continue GCH est donn´ee par l’´enonc´e∀α(2ℵα =ℵα+1).
Th´eor`eme 6.4.17(G¨odel). SiZF est consistante, alorsZFC + (GCH) aussi.
G¨odel obtient ce r´esultat par lam´ethode des constructibles. Voici l’id´ee de la construction qui est similaire `a la celle deV.
– On suppose formalis´ees dansU |= ZF la syntaxe ainsi que la satisfaction pour des structuresha;∈ai, o`u a∈U.
– On montre alors qu’il existe une classe fonctionnelle D qui donne l’en-semble des parties d´efinissables, c’est-`a-dire qu’on a b ∈ D(a) ⇔ b ⊆ a et il existe n ∈ ω, une formule ϕ[v0, . . . , vn] et c1, . . . , cn ∈ a tels que b={c0∈a| ha;∈ai |=ϕ[c0, c1, . . . , cn]}.
– On d´efinit L0 := ∅, Lα+1 := D(Lα), et Lλ := S
α<λLα pour λ limite.
Puis, on d´efinit ”L=S
αLα” (une classe propre).
– Comme pour la hi´erarchie de von Neumann, on ´etablit certaines propri´et´es de base, par exempleα≤β⇒Lα⊆Lβet la transitivit´e desLα. On a donc une hi´erarchie croissante et continue d’ensembles transitifs (Lα)α∈Ord. – On d´efinit un rang RgL comme pour V, et on montre que RgL(α) =α,
autrement ditLα∩Ord =α.
– On montre que LL=L (dans ZF), c’est-`a-dire que Lsatisfait `a l’axiome de constructibilit´e∀x L(x). Pour cela, on utilise que la classe fonctionnelle Dest absolue pour une classeX qui est mod`ele de ZF−(Parties), et donc la classe fonctionnelleα7→Lαaussi.
– La preuve queL|= ZF est similaire `a celle pourV.
– Afin d’´etablir L|= (AC) + (GCH), on construit, par r´ecurrence surα, un bon ordre sur Lα tel que si α ≤ β, alors Lα est un segment initial de Lβ. Dans l’´etape successeur, `a l’aide du bon ordre sur Lα, on construit un bon ordre surL<ωα (l’ensemble des suites finies d’´el´ements deLα), puis surLα+1, en ´enum´erant les (codes des) formules ´egalement.
Th´eor`eme 6.4.18(Cohen). 1. SiZF− est consistante, alorsZFC +¬(HC) aussi.
2. SiZF− est consistante, alorsZF +¬(AC) aussi.
Contrairement aux constructions de mod`eles de ZF− que nous avons vues ou esquiss´ees jusqu’ici, les constructions utilis´ees pour montrer ce r´esultatne se font pas `a l’int´erieur du mod`ele de d´epartU. En revanche, la m´ethode du forcing (introduite par Cohen en 1964 pour montrer son th´eor`eme et utilis´ee en th´eorie des ensembles jusqu’`a nos jours) permet de construire des mod`eles de ZF qui sont desextensions du mod`ele de d´epart.
Affaiblissements de l’axiome du choix
L’axiome du choix d´ependant(ACD)
∀r∀a∀x0
x0∈a∧r⊆a2∧ ∀x∈a∃y∈a(x, y)∈r
→ ∃f(f :ω→a∧f(0) =x0∧ ∀n∈ω((f(n), f(n+ 1))∈r) L’axiome du choix d´enombrable(ACC)
∀f[(Fn(f)∧dom(f) ˙=ω∧ ∅ 6∈im(f))
→ ∃g(Fn(g)∧dom(g) ˙=ω∧ ∀x(x∈dom(g)→g(x)∈f(x)))]
L’axiome (ACC) exprime que le produit d’une famille d´enombrable d’en-sembles non vides est non vide.
Lemme 6.4.19. On a (AC)⇒(ACD)⇒(ACC).
D´emonstration. (AC)⇒(ACD) : Soit h: P0(a) →a une fonction de choix sur a. Par induction surω, on d´efinit une fonction f, via f(0) := x0, f(n+ 1) :=
h({y∈a|(f(n), y)∈r}). Il est clair quef convient.
(ACD)⇒(ACC) : Soit (Xn)n∈ωune famille d´enombrable d’ensembles non vides.
On poseYn:={n} ×Xn,a:=S
n∈ωYn et
r:={(x, y)∈a2| il existen∈ωtel que x∈Yn et y∈Yn+1}.
Par (ACD) il existe une fonctionf :ω→atelle quef(n)∈Ynpour toutn∈ω.
Alorsg ∈Q
n∈ωXn, o`u g(n) :=π((f(n)), avecπla projection sur la deuxi`eme coordonn´ee.
La construction d’un ensemble non mesurable de r´eels qu’on voit au cours d’int´egration se fait dans ZFC. Cela donne le r´esultat suivant.
Proposition 6.4.20. ZFC|=”il existe une partie deR non mesurable”
Le th´eor`eme que nous mentionnons maintenant sans preuve est plus difficile.
Pour le montrer, on utilise la technique du forcing.
Th´eor`eme 6.4.21 (Solovay, 1970). Si ZFC + (CI) est consistante, alors la th´eorie ZF + (ACD) +”toute partie deRest mesurable” est consistante aussi.
Bibliographie
[1] Ren´e Cori et Daniel Lascar,Logique math´ematique, Tome 1, Dunod, 2003.
[2] Ren´e Cori et Daniel Lascar,Logique math´ematique, Tome 2, Dunod, 2003.
[3] Heinz-Dieter Ebbinghaus, J¨org Flum et Wolfgang Thomas, Mathematical Logic, Second Edition, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer, 1994.
[4] Kenneth Kunen,Set Theory. An Introduction to Independence Proofs, Stu-dies in Logic and the Foundations of Mathematics vol.102, Elsevier, 1980.
[5] Fran¸cois Loeser,Un premier cours de logique, Notes de cours, 2010 (dispo-nible sur la pagehttp://www.math.jussieu.fr/∼loeser/notes.php).
[6] Martin Ziegler, Mathematische Logik, Mathematik Kompakt, Birkh¨auser, 2010.