i=1
ϕ(zi, si1, . . . , sin)
!
est ´equivalente (moduloT0) `aψ. Siψ=t1=t˙ 2, l’argument est le mˆeme.
Soit maintenant ψ une L0-formule arbitraire. Par le lemme, on peut sup-poser que tous les termes figurant dans ψ sont de hauteurs au plus 1. Pour toute sous-formule atomiqueϕ deψ, on choisit uneL-formule ´equivalenteϕ∗. (On vient de construire une telle formule.) On d´efinitψ∗ comme la L-formule obtenue en rempla¸cant toute sous-formule atomique ϕde ψpar la formule ϕ∗ correspondante.
C’est un fait g´en´eral que si on remplace des formules par des sous-formules ´equivalentes, on obtient une formule ´equivalente. (Exercice.)
Une expansion par des relations, fonctions et constantes d´efinissables est appel´ee uneexpansion par d´efinition.
Exemples 3.3.3. 1. SoitT0= Th(R) la th´eorie du corps ordonn´e des r´eels, et soitT la th´eorie du (pur) corps des r´eels. Comme dansRon ar < ssi et seulement s’il existe t6= 0 tel que t2=s−r,T0 est une expansion par d´efinition deT.
2. Soit T = Th(hℵ1;<i). Alors ω est une constante d´efinissable dans T, c’est-`a-dire il existe une formuleϕ(x0) telle queT |=∃!x0ϕet hℵ1;<i |= ϕ[ω]. En effet, l’ensemble des ordinaux limites est d´efini par la formule Lim(x) =∃yy < x∧ ∀y∃z(y < x→y < z∧z < x), et il suffit de poser ϕ(x0) = Lim(x0)∧ ∀y(Lim(y)→ ¬y < x0)
3.4 Elimination des quanteurs ´
Par induction sur la hauteur, il est facile de montrer que toute formuleϕest logiquement ´equivalente `a une formuleψqui est sousforme pr´enexe, c’est-`a-dire de la formeQ1x1· · ·Qnxnχ, avec χ sans quanteur et Qi ∈ {∃,∀} pour tout i.
En g´en´eral, le nombre d’alternances des quanteurs ∃ et ∀ fournit une bonne indication pour la complexit´e de la formuleϕ(ainsi que de l’ensemble d´efini par ϕdans une structure donn´ee). Souvent, on comprend assez bien les ensembles qui sont d´efinissables `a l’aide d’une formule sans quanteur.
Nous commen¸cons par un r´esultat technique important et dont la preuve est un peu longue.
Th´eor`eme 3.4.1. SoitT une L-th´eorie,n≥1 un entier et ϕ=ϕ(x1, . . . , xn) uneL-formule. Sont ´equivalents :
1. Il existe une L-formule sans quanteurψ(x1, . . . , xn)qui est ´equivalente `a ϕdansT.
2. Soient M et N deux mod`eles de T et A une sous-structure commune de Met deN. Alors pour touta∈An on aM|=ϕ[a] ⇐⇒ N|=ϕ[a].
Remarque 3.4.2. Le th´eor`eme s’applique aussi dans le cas o`uϕest un ´enonc´e.
Il suffit de consid´ererϕcommeϕ(x)pour trouver une formuleψ(x)sans quan-teurs et ´equivalente `aϕdans T. Ainsi, un th´eor`eme de T, par exemple∃yy=y˙ est ´equivalent dansT `a la formulex=x. Si le langage˙ Lne contient pas de sym-bole de constante, il n’y a pas de L-´enonc´e sans quanteur et on ne peut donc pas faire mieux.
Une autre mani`ere de traiter ce probl`eme serait d’introduire une constante propositionnelle>pour un ´enonc´e toujours vrai.
D´emonstration du th´eor`eme 3.4.1. (1)⇒(2). On note d’abord que siA⊆B, la formuleψ(x1, . . . , xn) est sans quanteur eta∈An, alors A|=ψ[a] ⇐⇒ B|= ψ[a].
Si Met N sont des mod`eles de T ayantAcomme sous-structure et si ϕ= ϕ(x1, . . . , xn) est ´equivalente dansT `a la formuleψ(x1, . . . , xn) sans quanteur, alors poura∈An on a donc
M|=ϕ[a] ⇐⇒ M|=ψ[a] ⇐⇒ A|=ψ[a] ⇐⇒ N|=ψ[a] ⇐⇒ N|=ϕ[a].
(2)⇒(1). On consid`ere l’ensemble de formules
Γ(x) :={χ(x1, . . . , xn) sans quanteur | T |=∀x1, . . . , xn(ϕ→χ)}.
On choisit c1, . . . , cn des nouvelles constantes 2 `a 2 distinctes et on consid`ere la th´eorie Γ(c) :={χ(c1, . . . , cn)| χ∈Γ(x)}. Soit L0 =L ∪ {c1, . . . , cn}. Nous allons montrer :
T∪Γ(c)|=ϕ(c) (3.1)
Si (3.1) ´etait faux, on pourrait trouver M0 |= T ∪Γ(c)∪ ¬ϕ(c). Soit A0 :=
hcM1 0, . . . , cMn0iM0 = hA;. . .i la sous-structure engendr´ee par les cMi 0 dans M0. On observe que Γ(c)⊆∆(A0). Montrons que
Σ :=T∪∆(A0)∪ {ϕ(c)}
a un mod`ele.
Sinon, on aurait T ∪∆(A0) |= ¬ϕ(c), d’o`u T ∪∆(A0) ` ¬ϕ(c). Comme tout ´el´ement de A s’´ecrit comme un L0-terme, si on note ∆c(A0) l’ensemble desL0-´enonc´es sans quanteurs dans ∆(A0), alors T ∪∆(A0) est une expansion conservatrice deT∪∆c(A0) par la proposition 3.3.2. En particulier, on a
T ∪∆c(A0)` ¬ϕ(c).
Il existe alors desL-formules sans quanteurξ1(x), . . . , ξk(x) telles que
T `
k
^
i=1
ξi(c)→ ¬ϕ(c) et ∆(A0)`
k
^
i=1
ξi(c) =:ξ(c).
Comme les ci n’apparaissent ni dans T ni dans ϕ(x), ξ(x), on en d´eduit (par exemple par 2.6.3) queT ` ∀x(ξ(x)→ ¬ϕ(x)) et alorsT ` ∀x(ϕ(x)→ ¬ξ(x)).
Mais alors ¬ξ(x) ∈ Γ(x) par d´efinition, et ¬ξ(c)∈ Γ(c), d’o`u ¬ξ(c) ∈ ∆(A0).
Contradiction.
Donc Σ a un mod`eleN∗, et leL-r´eduitNdeN∗contient une copie isomorphe B0 de A0 comme sous-structure par la proposition 3.2.2. Quitte `a identifierB0 etA0, on a donc construit deux mod`eles M=M0L et Nde T contenant une sous-structure communeA=A0Ltels que si l’on poseai=cMi 0 alorsN|=ϕ[a]
etM|=¬ϕ[a], ce qui contredit la condition (2). On a donc d´emontr´e (3.1).
Par compacit´e il existe ζ1(c), . . . , ζm(c) ∈ Γ(c) tels que T |= Vm
i=1ζi(c) → ϕ(c), ce qui entraˆıne comme avant T |= ∀x(Vm
i=1ζi(x)→ϕ(x)). Mais alors, commeT |=∀x(ϕ→ζi) pour tout i, on obtient T |=∀x(Vm
i=1ζi(x)↔ϕ(x)), avecVm
i=1ζi(x) sans quanteur.
D´efinition. SoitT uneL-th´eorie. On dit queT admetl’´elimination des quan-teurs (dans le langage L) si toute L-formule ϕ est ´equivalente dans T `a une L-formule sans quanteur.
Lemme 3.4.3. Si pour toute formule sans quanteur ϕ et toute variable x il existe une formule sans quanteurψtelle que∃xϕetψ soient ´equivalentes dans T, alors T admet l’´elimination des quanteurs.
D´emonstration. Soient ψ et ψ0 deux formules qui sont ´equivalentes dans T, not´eψ∼T ψ0. Alors¬ψ∼T ¬ψ0,∃xψ∼T ∃xψ0 et χ∧ψ∼T χ∧ψ0 pour toute formuleχ. On peut donc raisonner par induction sur la hauteur de la formule, et la preuve est claire.
Th´eor`eme 3.4.4. Soit T une L-th´eorie. On suppose que pour toute paire de mod`eles MetN deT, pour toute sous-structure communeAdeM et deN et toute formule sans quanteurϕ(x0, . . . , xn), s’il existea∈An etb0∈M tels que M|=ϕ[b0, a], alors il existec0∈N tel queN|=ϕ[c0, a].
AlorsT admet l’´elimination des quanteurs.
Remarque. La r´eciproque de ce r´esultat est claire : toute th´eorie avec l’´ elimi-nation des quanteurs satisfait `a l’hypoth`ese du th´eor`eme.
D´emonstration. SoientA⊆M,Ndonn´ees, avecM,N|=T. Quitte `a sym´etriser l’hypoth`ese du th´eor`eme, elle exprime que siϕest sans quanteur etχ=∃x0ϕ, alorsM|=χ[a] ⇐⇒ N|=χ[a] pour tout a∈An. Par le th´eor`eme 3.4.1,χ est
´equivalente dansT `a une formule sans quanteur. Par le lemme, cela suffit.
Proposition 3.4.5. SoitT une th´eorie qui admet l’´elimination des quanteurs.
1. Soient M et N deux mod`eles de T ayant une sous-structure commune.
AlorsM≡N.
2. SiM⊆N, o`uMetN sont deux mod`eles de T, alorsM4N.
D´emonstration. (1) Il s’agit d’un cas particulier de la direction facile du th´ eo-r`eme 3.4.1. En effet, tout ´enonc´eϕ est ´equivalent dans T `a une formule ψ(x) sans quanteur. Poura∈Aarbitraire, o`u Aest une sous-structure commune de Met de N, on a donc
M|=ϕ ⇐⇒ M|=ψ[a] ⇐⇒ A|=ψ[a] ⇐⇒ N|=ψ[a] ⇐⇒ N|=ϕ.
(2) Clair.
Exercice 3.4.6. Toute th´eorieTadmet une expansion par d´efinition qui admet l’´elimination des quanteurs.