Correction de l’´ epreuve ´ ecrite, session 1 3 juin 2005
1 Plantes - Herbivores
1 point par question.
1.1
Si I = 0, alors dqdt = K1: la qualit´e de la plante augmente lin´eaire avec le temps, en l’absence d’herbivores ; la droite de la pente ´etant ´egale `aK1.
L’´equation dIdt est de type logistique, avec un taux de croissance in- trins`eque ´egal `a K3, et une capacit´e limite ´egale `a Kq
4, c’est-`a-dire une capacit´e limite qui augmente lin´eaire avec la qualit´e de la plante.
Le terme d’interaction dans l’´equation dqdt est de signe variable selon que I > I0 ou que I < I0. Ainsi, I0 est une densit´e seuil d’herbivores telle que si I la d´epasse alors la qualit´e de la plante diminue. Le param`etreK2 traduit l’intensit´e de cette interaction entre plante et herbivores, au seuilI0. 1.2
Si dIdt = 0, alors αI(1−Iq) = 0 impliqueI = 0 ou 1− Iq = 0, i.e., I = 0 ouI =q.
SiI = 0, dqdt = 1, cela ne conduit donc pas un point d’´equilibre.
Si I =q, alors dqdt = 0⇔ 1−KI2(I −1) = 0, i.e., I2(I −1) = K1, soit f(I) = K1.
Les points d’´equilibre sont donc `a l’intercation de la courbe repr´esentative de la fonctionf(I) et de la droite horizontale y= K1.
On montre facilement quef(I) est strictement positive et monotone sur ]1; +∞[, le th´eor`eme des valeurs interm´ediaires assure l’existence et l’unicit´e du point d’intersection, et donc deI?>1.
1.3
A=
Ã−KI(I −1) −Kq(2I−1) αIq22 α(1−2Iq)
!
Au point d’´equilibre on utilise le fait queI? =q?: A? =
µ−KI?(I?−1) −KI?(2I?−1)
α −α
¶
1.4
D’apr`es le calcul pr´ec´edent,detA?=αKI?(3I?−2)>0 carI?>1.
EttrA?=−KI?(I?−1)−α <0 car I? >1.
Le point d’´equilibre (I?,q?) est donc asymptotiquement stable, le calcul du discriminant ne permettant pas de distinguer un noeud d’un foyer.
1.5
On se place dans le plan (I,q), c’est-`a-dire avec I en abscisse et q en ordonn´ee. Le dessin complet est donn´e plus loin dans le document.
courbes repr´esentatives sont respectivement, l’axe verticale et la premi`ere bissectrice.
1.6
Isocline horizontale : dqdt = 0⇔q = KI(I−1)1 .
Soit la fonction g(I) = KI(I−1)1 , non d´efinie en 0 et 1. On s’int´eresse ici au cas o`u I ≥ 0. Une rapide ´etude de cette fonction conduit aux r´esultats suivants :
I→+∞lim g(I) = 0+
I→0lim+g(I) =−∞
I→1lim+g(I) =±∞
Par ailleurs, g0(I) = −K1 I22I−1(I−1)2. Ainsi, g0(I) > 0 si 0 < I < 12, et g0(I)>0 siI > 12; enfin, g(I) admet un minimum enI = 12, avecg(12) =−K1. 1.7
Le domaine est positivement invariant car toute trajectoir issue d’une condition initiale dansD reste dansD lorsquet→+∞.
1.8
Le sens des vecteurs vitesse s’obtient ais´ement en se pla¸cant sur les axes : – SiI = 0, alors dqdt = 1 : les vecteurs vitesse sont orient´es vers le haut le
long de l’axe vertical.
– Si q → 0, alors dIdt → −∞: la composante horizontale des vecteurs vitesse est orient´ee vers la gauche le long de l’axe des abscisses.
1.9
Voir graphe ci-dessous.
1.10
Le deuxi`eme graphe ci-dessous correspond `a la condition initiale C1.
2 points par question.
2.1
dx1
dt =D−ux1−k12x1+k21x2
dx2
dt =−k21x2−k23x2−sx2+k12x1+k32x3
dx3
dt =−k32x3+k23x2 2.2
Le point d’´equilibre est solution de :
D−ux1−k12x1+k21x2 = 0
−k21x2−k23x2−sx2+k12x1+k32x3 = 0
−k32x3+k23x2 = 0 Il n’en existe qu’un :
x?1 = u(s+kD(s+k21)
21)+sk12
x?2 = s+kk12
21x?1 = u(s+kDk12
21)+sk12
x?3 = kk23
32x2 = k Dk12k23
32(u(s+k21)+sk12)
Il n’y aucune condition restricte d’existe opur ce point d’´equilibre, ni d’un point de vue math´ematique, ni d’un point de vue biologique.
2.3
A=A?=
−u−k12 k21 0 k12 −s−k21−k23 k32
0 k23 −k32
2.4
Le calcul de det(A?−λI) et la r´esolution de l’´equation caract´eristique aboutit `a l’expression demand´ee, apr`es quelques simplifications.
2.5
a1=u+s+k12+k21+k23+k32
a2=us+k12k32+k12k23+k21k32+uk21+uk23+uk32+sk12+sk32 a3=k12k32s+uk21k32+usk32
Les crit`eres de Routh-Hurwitz sont : H1 = a1 > 0, h2 =a1a2−a3 > 0 etH3 =a3H2 >0, ce qui se v´erifie ais´ement, et permet de conclure que le point d’´equilibre est asymptotioquement stable.
