V2 – Les vecteurs Chasles-Démonstration (exercices)
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LES VECTEURS 1
Exercice 1 :
Dire si l’on peut réduire ou non chacune des sommes suivantes grâce à la relation de Chasles.
) + ) +
) +
) + ) +
) + +
Exercice 2 :
, , , sont des points du plan. Démontrer que :
) − + =
) + − =
) − + − = 0
Exercice 3 :
1. Placer 4 points , , , .
2. Construire le point M tel que = − + 3. Que constate-t-on ? Le démontrer.
Exercice 4 :
1. Placer les points 2; 3), −3; 2), 4; −2) On cherche un point tel que + =
2. Déterminer les coordonnées du vecteur 3. Soit ; ! ) les coordonnées de M
a) Exprimer les coordonnées de + en fonction de ! b) En déduire les coordonnées de M
4. Vérifier que M est le milieu de [CB]
Exercice 5 :
Soit −2; −1), 2; 0), −1; 3) 3; 4) 1. Démontrer que + =
2. Démontrer que ABDC est un parallélogramme Exercice 6 :
Soit −5; −2), 4; 1), −1; −2) 1; 4) 1. Calculer les coordonnées de M tel que :
= +2
3
2. Vérifier que M est le milieu de [CD]
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2
CORRECTION
Exercice 1 :
) $%&, + = ) '$'
) '$'
) $%&, ) $%&, 0
)$%&,
Exercice 2 :
) − + = + + = + =
) + − = + + = + + = + =
) − + − = + + + = + + + = + = = 0
Exercice 3 :
On constate que les points D et M sont confondus.
= − + ⇔ = + + ⇔ = + +
⇔ = + ⇔ =
Exercice 4 : 1.
2.
)2 − 4
3 + 2* ⇔ )−2 5 * 3.
)2 −
3 − ! * )−3 −
2 − ! * $' + )−1 − 2 5 − 2! *
+ =
+−1 − 2 = −2
5 − 2! = 5 ⇔ , =1
! = 02 $' )1 2 ; 0*
4.
= -+ .
2 =4 − 3 2 =1
2 = ! =!- + !.
2 =−2 + 2
2 = 0 = ! Donc M est bien le milieu de [CB].
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www.famillefutee.com Exercice 5 :
3
1.
)2 + 2
0 + 1* ⇔ )4 1*
)−1 + 2
3 + 1 * ⇔ )1 4*
)3 + 2
4 + 1* ⇔ )5 5*
+ )4 + 1
4 + 1* ⇔ + )5 5*
$' + =
2.
)3 + 1
4 − 3* ⇔ )4 1*
= donc ABDC est un parallélogramme.
Exercice 6 : 1.
)−1
3 * ; )−6
0 * ; ) − 5
! + 2*
0 − 5 = −1 +2
3 × −6)
! + 2 = 3 +2 3 × 0
⇔ + = 0
! = 1 $' 0 ; 1)
2.
= -+ 2
2 =−1 + 1
2 = 0 = ! =!-+ !2
2 =−2 + 4
2 = 1 = ! Donc M est bien le milieu de [CD].
