V9 – Les vecteurs (exercices)
www.famillefutee.com
LES VECTEURS 1
Exercice
Soit ABC un triangle quelconque.
On considère les points I, J et K définis par : =3
2 ; =3
4 "; et J le milieu de [BC].
Montrer que les points I, J et K sont alignés.
CORRECTION
Montrer que les points I, J et K sont alignés revient à montrer que les vecteurs *+ et +, sont colinéaires, c’est-à-dire qu’il existe un réel - tel que *+=-+,
On va partir du vecteur ., le décomposer à l’aide de la relation de Chasles afin d’arriver à . .
. = + + . 01 =3
4 " 2345 = −3
4 " 78 = 32
⇔ . = −3
4 " +3
2 + . 34 17:;<=57 78
⇔ . = 3
4 " +6
4 + . 34 5ℎ=4@7 " 74 " 78 34 :78 =A :ê:7 2é43:C4=87A1
⇔ . = 3
4 " +3
4 +3
4 + . 34 D= ;3AD3C1 A8C<CE71 "ℎ=E<7E =D75 <7E 3 4
V9 – Les vecteurs (exercices)
www.famillefutee.com
⇔ . = 3
2
4 F" + G +3
4 + .
⇔ . = 3
4 " +3
4 + .
01 . 7E8 <7 :C<C7A 27 [ "]2345 " = 2.
⇔ . = 3
4 × F2. G +3
4 + . 34 17:;<=57 "
⇔ . = 3 2 . +3
4 + . 34 17:;<=57 "
⇔ . = 3 2 . +3
4 + . 01 =3
2 donc =2 3
⇔ . = 3 2 . +3
4 × I23 J + .
⇔ . = 3 2 . +1
2 + .
⇔ . = 3
2 F. + G +1
2 + . 34 2é53:;3E7 . 74 =L3A8=48
⇔ . = 3 2 . +3
2 +1
2 − . 34 5ℎ=4@7 . en . ;3A1 EC:;<CMC71 <7E 5=<5A<E
⇔ . = 1 2 . +3
2 +1 2 01 = −1
3 → 34 17813AD7 57887 é@=<C8é à ;=18C1 27 =3
2 74 =L3A8=48 2=4E
⇔ . = 1 2 . +3
2 × I−1
3 J +1 2
⇔ . = 1 2 . −1
2 +1 2
⇔ *+ = P Q +,
Il existe un réel - =PQ tel que *+=PQ+,. Les vecteurs *+ et +, sont colinéaires, donc les points I, J et K sont alignés.
