LES VECTEURS 1

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V8 – Les vecteurs (exercices)

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LES VECTEURS 1

Exercice

Dans un repère orthonormé, on donne les points (1 ; −2), (2 ; 3) et (−2 ; 8) 1. Placer ces trois points dans un repère

2. Tracer la droite d’équation −4 + + 2 = 0

3. Représenter le vecteur (−2; 3)dans le repère. Déterminer une équation cartésienne de la droite . passant par A et de vecteur directeur puis la tracer dans le repère.

4. Déterminer une équation de la droite parallèle à d passant par C puis tracer la dans le repère.

5. Justifier que et .sont sécantes puis déterminer les coordonnées du point d’intersection I de et .

6. Calculer AB

7. Quelle est la nature du triangle ABI ?

(2)

CORRECTION 2

3. La droite passant par A et de vecteur directeur est l’ensemble des points ( ; ) du plan tel que et soient colinéaires.

− 1

+ 2 −2 3

∶ 3 ( − 1) − (−2)( + 2) = 0 ⇔ ∶ 3 + 2 + 1 = 0 On peut aussi dire :

Si " + # + $ = 0 est une équation cartésienne de la droite , alors le vecteur de coordonnées (−# ; ") est un vecteur directeur de la droite .

Soit (⁾_*+ alors ∶ 3 + 2 + $ = 0.

Pour déterminer c, on remplace les coordonnées de A dans l’équation : 3 × 1 + 2 × (−2) + $ = 0

⇔ $ = 1

D’où ∶ 3 + 2 + 1 = 0

(3)

3

4. Deux droites du plan parallèles ont leurs vecteurs directeurs colinéaires.

La droite d³équation − 4 + + 2 = 0 a pour vecteur directeur −1 La droite aura donc une équation d ela forme − 4 + + $ = 0 −4

Pour déterminer c, on remplace les coordonnées de C dans l’équation car C appartient à la droite

−4 × (−2) + 8 + $ = 0 ⇔ $ = −16. D’où ∶ −4 + − 16 = 0

5. On cherche à voir si les vecteurs directeurs de et .sont colinéaires La droite d³équation 3 + 2 + 1 = 0 a pour vecteur directeur −2

3 La droite d³équation − 4 + − 16 = 0 a pour vecteur directeur −1

−4

−2 × (−4) − 3 × (−1) = 11 ≠ 0

Les vecteurs directeurs de et .ne sont pas colinéaires.

Les droites ?@ et ?A sont donc sécantes.

Pour déterminer le point d’intersection de et , on résout le système suivant : B 3 + 2 + 1 = 0−4 + − 16 = 0 ⇔ B 3 + 2 + 1 = 0

−8 + 2 − 32 = 0 (× 2) ⇔ B 3 + 2 + 1 = 0

3 + 2 + 1 − (−8 + 2 − 32) = 0 − 0 C3 + 2 + 1 = 011 + 33 = 0 ⇔ C3 × (−3) + 2 + 1 = 0

= −3 ⇔ C y = 4= −3 Donc E (−3 ; 4)

6. FG = H(2 − 1) + (3 + 2)² = √26 7. GK = H(−3 − 2) + (4 − 3)² = √26

FK = L(−3 − 1) + (4 + 2)² = √52

On a d’une part, = E, le triangle ABI est donc isocèle en B.

D’autre part,

On a ² + E² = (√26)² + (√26+ = 52 Et E² == (√52+ = 52

Donc d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABI est rectangle en B Le triangle ABI est un triangle rectangle isocèle en B.