Première S Devoir commun du 24/11/2015
Exercice 1 : 14 points
Dans le plan muni d'un repère on donne les points A(-4;1), B(1;-1), C(-2;2) et D (-3;3).
On note I le milieu du segment [AB] et G le point défini par ⃗CG=1 3⃗AC .
Le but de cet exercice est de démontrer que les droites (AD), (CI) et (BG) sont concourantes.
1/ Faire une figure.
2/ Prouver que les points B, C et D sont alignés.
3/ Calculer les coordonnées des points I et G.
4/ a/ Justifier que la droite (CI) a pour équation cartésienne 4x+y+6=0.
b/ Déterminer une équation cartésienne de la droite (AD).
c/ Justifier que les droites (AD) et (CI) sont sécantes.
d/ On note K le point d'intersection des droites (AD) et (CI). Déterminer les coordonnées de K.
5/ Démontrer que les droites (AD), (CI) et (BG) sont concourantes.
Exercice 2 : 6 points
On considère le fonction f définie par f (x)=3+ 1 2−2x . 1/ a/ Déterminer l'ensemble de définition de f .
b/ La fonction f est-elle homographique ? Rappel : une fonction est dite homographique si on peut l'écrire sous la forme ax+ b
cx+ d avec a, b, c , d des réels, et c ≠0.
2/ a/ Par quelles opérations élémentaires passe-t-on de x à f (x) ? b/ Démontrer que f est strictement croissante sur ]−∞;1[. BONUS : 3 points
3/ a/ On considère a et b deux réels tels que 1<a<b. Prouver que f (b)−f(a)= b−a
2(1−a)(1−b) . b/ En déduire que f est strictement croissante sur ]1;+∞[.
c/ Prouver que pour tout réel x tel que x⩾2 on a 2,5⩽f (x)<3 .
