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L.S.Marsa Elriadh

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4 Sc  Solutions

   

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Exercice 1 : 

1

1 1

0 0

0 5 5

1 1

1

1 3

1

1 1

1 3

0

0 4

4

6 3 (2 1) 1 1 3

1) 3 3 3

( ² 2)² ( ² 2)² 4 2 4

2) 3 ...

2 1

3) ( 2 5) ...

4) 2 ( ² 1) ...

5) 3

1

² 2

3 2 1

4 ² 5 ( ² 1)

4

x x

dx dx

x x x x

x dx

x x dx

x x dx

x x x

x x x

x

−

−

+ = + = = ⎛⎜− −− ⎞⎟=

+ + + + ⎝ ⎠

= =

−

+ − = =

+ = =

−

⎡ − ⎤

∫ ∫ ⎢ ⎣ + + ⎥ ⎦

⎡ − ⎤

∫ ⎣ ⎦

⎡ ⎤

∫ ⎢ + − ⎥

⎣ ⎦

⎡ + ⎤

∫ ⎢ ⎥

⎣ ⎦

1 1

2

2 4 4

1 1

1

1 3

0

0

2 2

0

0

4 4

0 0

3 3

3

...

(2 5)²

6) 1 4 ...

2

7) (3 ² 5)( 5 2)² ...

8) sin cos ² 1

3

9) tan ² 1 (1 tan ² )

3 1

2 2 5 4

( 5 2)

3 cos

3

x dx

dx x

x x x dx

x xdx

xdx x dx

x

x x

x x

x

π π

π π

−

−

= =

+

⎛ ⎞

+ = =

⎜ ⎟

⎝ ⎠

+ + − = =

= =

= − + +

⎡ ⎤

∫ ⎢ ⎣ + ⎥ ⎦

⎡ + ⎤

∫ ⎣ ⎦

⎡ + − ⎤

∫ ⎢ ⎥

⎣ ⎦

⎡ ⎤

∫ ⎢ − ⎥

⎣ ⎦

∫ ∫ [ ]

₀⁴

1 1

0

0

4 1

10) ² 1 1 ...

2

tan 2 ( ² 1) ² 1

x x dx

3

x x

x x

π π

= = − +

+ = =

− +

⎡ + + ⎤

∫ ⎢ ⎣ ⎥ ⎦

 

Exercice 2 :  1) C_f =C₁ . 

2) a)   

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b)A=

∫

¹₋1f x dx( ) = −

∫

¹₋1f x dx( ) = −

[

F x

( ) ]

¹₋1=F( 1)− −F(1)= − − =2 ( 2) 4   

Exercice 3 : 

1) f continue, strictement croissante sur IR donc f est une bijection de IR sur f(IR)=IR. 

2) a) 

 

b)l’aire A est égal à l’air du rectangle de cotés : 2 et 1 moins l’aire de la partie du plan limitée par  C_g ; l’axe des abscisses et les droites x=0 et x=2 donc A=2‐

∫

₀²g x dx( )  

c)  Cf et Cg sont symétrique par rapport à la droite x=y donc A est égal à l’aire de la partie du plan  limitée par C_f ; l’axe des abscisses et les droite x=0 et x=1  

d’où  

1

1 1 1

0 0 0

0

1 1 1

( ) ² 1 2 ² 1 (2 2 1)

2 2 3

2 ( ² 1) ² 1

A =

∫

f x dx =

∫

x x + dx =

∫

x x + dx =

⎡ ⎢ ⎣ 3

x

+

x

+ ⎤ ⎥ ⎦

= −   d)A=2‐ 

∫

₀²g x dx( )   donc A’=2‐A=2‐¹(2 2 1)

3 −  

Exercice 4 :  

soit (I_n) la suite définie sur IN par  ₀¹

1 ²

n n

I x dx

= x

∫ + ^. 

1)  

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a)    ^{'( ) 2 0 ;}

[ ]

^0,1

(1 ²)²

f x x pour x

x

= − ≤ ∈

+      

x  0  1

f’  0  ‐ 

  f 

1 

  ¹

2   

b) on a     [0,1] ; ¹ ( ) 1 ¹₀¹ _{0 0}^{1 1} ₀ 1

2 2 2

x∈ ≤f x ≤ donc

∫

dx ≤I ≤

∫

dx alors ≤I ≤ ^. 

2) a)   

[ ]

^{0,1 0 0 1 0 ' 0}

1 ² 1 ²

n n

n

x donc x et donc x d ou I

x x

∈ ≤ ≤ ≤ ≤

+ + . 

b)   

[ ]

1 1 1 1

1 0 0 0

1

( 1)

1 ² 1 ² 1 ²

0,1 ; 1 0 ( 1) 0

1 ²

0

n n n

n n

n

n n

x x x

I I dx dx x dx

x x x

x donc x alors x x

x donc I I

+ +

+

− = − = −

+ + +

∈ − ≤ − ≤

+

− ≤

∫ ∫ ∫

  

donc la suite (In) est décroissante. 

a) la suite (I_n) décroissante et minorée par 0 alors elle est convergente. 

3) a)     

[ ]

^{0,1 ; 1 1 1 ' 1 1}_{0 0}¹

2 1 ² 2 1 ² 2

1 1

2( 1) 1

n n

n n n

n

n

x x

x donc x d ou x dx I x dx

x x

donc I

n n

∈ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤

+ +

≤ ≤

+ +

∫ ∫

 

b) lim ¹ 0 lim 0

1 ⁿ

n donc n I

→+∞n = →+∞ =

+ .