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2012-2011

L.S.Marsa Elriadh

Epreuve 1 M : Zribi

4 ^èmeSc Révision

Exercice 1 :

Soit (O i j k; , , ) un repère orthonormal de l’espace. On considère les points A(2 ; 4 ; 1), B(0 ; 4 ; −3), C(3 ; 1 ; −3), D(1 ; 0 ; −2), E(3 ; 2 ; −1).

Pour chacune des cinq affirmations suivantes, dire, sans le justifier, si elle est vraie ou si elle est fausse.

1) Une équation du plan (ABC) est : 2x + 2y − z − 11 = 0.

2) Le point E est le projeté orthogonal de D sur le plan (ABC).

3) Les droites (AB) et (CD) sont orthogonales.

4) La droite (CD) est donnée par la représentation paramétrique suivante :

 

1 2 1 1

x t

y t t

z t

  

    

  



.

Exercice 2 :

On considère le plan complexe P muni du repère orthonormal direct (O ;u,v ).

1) Soit le polynôme P tel que, pour tout z de C, P(z) = z³ 4z² + 6z  4.

Déterminer les réels u et v tels que P(z) = (z  2)(z² + uz + v) et résoudre dans l'équation P(z) = 0.

2) On note  la solution de l'équation ci-dessus dont la partie imaginaire est strictement positive et ß le conjugué de .

Soit A, B et C les points d'affixes respectives , ß et 2, I le milieu de [AB].

a) calculer ^

 ; en déduire la nature du triangle OAB.

b) Montrer que OACB est un carré.

3) Soit f l'application de P privé du point C dans P qui au point M d'affixe z (z  2) associe le point M' d'affixe z' définie par : z' =

2 ) 1 (





 z

i

z .

a) Déterminer f(A) et f(B).

Déterminer le point E tel que f(E) = C.

b) Quelles distances représentent les réels | z  (1 + i) | et | z  2 | ?

En déduire que si M appartient à la médiatrice de [AC], M' appartient à un cercle dont on donnera le centre et le rayon.

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Exercice 3 :

On a représenté ci-dessous dans un repère orthogonal (O i j; , ), la courbe

représentative (^) d’une fonction f définie sur ] ; 1[,l’unité graphique étant 1 cm.

1) par une lecture graphique : a) Déterminer

1

lim ( ) lim ( )

x x

f x et f x

 

b) Dresser le tableau de variations de f.

2) la fonction f définie sur ]^ ; 1[ par

1 1 2

( ) 2

( 1)

x

f x ex

x



 

 . a) Soit v la fonction numérique définie sur ]^ ; 1[ par

1

( ) 1 x

v x ex



  . Calculer v’(x).

b) Démontrer que

1 1 4

'( ) 4

( 1)

x

x x

f x e

x



 

  .

c) Démontrer que l’équation ^{( )} ¹

f x 2 a deux solutions dont l’une est −1. On notera  l’autre solution.

3) a) Soit  un réel tel que 0 < < 1. Déterminer

0

( ) ( )

g f x dx

 



 ^.

b) Quelle est la limite de g lorsque  tend vers 1 ?

c) Quelle est l’aire en cm² du domaine limité par la courbe de f, l’axe des abscisses, les droites d’équations x =  et x = − ?

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Exercice 4 :

Le laboratoire de physique d’un lycée dispose d’un parc d’oscilloscopes identiques.

La durée de vie en années d’un oscilloscope est une variable aléatoire notée X qui suit la « loi de durée de vie sans vieillissement » (ou encore loi exponentielle de paramètre  avec  > 0.

Toutes les probabilités seront données à 10⁻³ près.

1) Sachant que p(X > 10) = 0,286, montrer qu’une valeur approchée à 10⁻³ près de  est 0,125.

On prendra 0,125 pour valeur de  dans la suite de l’exercice.

2) Calculer la probabilité qu’un oscilloscope du modèle étudié ait une durée de vie inférieure à 6 mois.

3) Sachant qu’un appareil a déjà fonctionné huit années, quelle est la probabilité qu’il ait une durée de vie supérieure à dix ans ?

4) On considère que la durée de vie d’un oscilloscope est indépendante de celle des autres appareils. Le responsable du laboratoire décide de commander 15 oscilloscopes. Quelle est la probabilité qu’au moins un oscilloscope ait une durée de vie supérieure à 10 ans ?

5) Combien l’établissement devrait-il acheter d’oscilloscopes pour que la probabilité qu’au moins l’un d’entre eux fonctionne plus de 10 ans soit supérieure à 0,999 ?

Exercice 5 :

Les résultats seront arrondis à 10⁻² près

Le tableau ci-dessous donne le PIB de la Chine, en milliards de dollars, entre 1982 et 2002.

Année 1982 1986 1990 1994 1998 2002 Rang xi de l’année 0 4 8 12 16 18

PIB yi 280 300 384 546 945 1232

(Source : Le Monde du 26/01/2004)

1. Représenter le nuage de points associé à la série statistique



x yi^; i



dans un repère orthogonal du plan. Les unités graphiques seront de 1 cm pour deux années sur l’axe des abscisses et de 1 cm pour 100 milliards de dollars sur l’axe des ordonnées.

2. a. Déterminer l’équation de la droite d’ajustement affine de y en x obtenue par la méthode des moindres carrés.

b. Tracer cette droite sur le graphique.

c. Avec cet ajustement, estimer graphiquement et par le calcul le PIB de la Chine en 2004. Commenter le résultat obtenu.

3. On envisage dans cette question un ajustement exponentiel.

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4. En posant zlny on obtient une droite d’ajustement de z en x d’équation 0, 08 5, 46

z x .

a. On se propose de déterminer alors y en fonction de x sous la forme ye^^xoù α et β sont deux réels.

Montrer que y235,10e^0,08^x.

b. Tracer sur le graphique la courbe d’équation y235,10e^0,08^x, pour .

c. Avec cet ajustement, estimer graphiquement et par le calcul, le PIB de la Chine en 2004.

4. Le PIB de la Chine pour 2004 était de 1 650 milliards de dollars (Source internet).

Calculer en pourcentage par rapport à la valeur réelle, les erreurs commises en prenant comme PIB les estimations obtenues aux questions 2 et 3.

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L.S.Marsa Elriadh

Exercice 1

Pour chacune des propositions suivantes, indiquer l’unique bonne réponse.

 Première proposition

Une primitive de f définie sur R par : f(x) = xe^x² peut être définie sur R par : a) F(x) = ³

3

2

2 x

x e

b) F(x) = ²

2

ex

x c) F(x) = ²

2 1 x

e d) F(x) = xe^x²

 Deuxième proposition

La solution de l’équation différentielle y’ + 3y = 0 vérifiant y(1) = 2 est la fonction définie sur R par :

a) f(x) = 2e^–3x b) f(x) = 2e^-3e^3x c) f(x) = e^–3x + 2 d) f(x) = 2e^{3(1 – x)}

 Troisième proposition

Les solutions de l’équation différentielle y’ = 2y – x² sont les fonctions définies sur R par :

a) f(x) = Ae^2x +

2 3

2

3 x

x  b) f(x) = Ae^2x +

4 1

2 2

2



 x

x c) f(x) = Ae^2x +

2 x2

d) f(x) = Ae^2x –

3 x3

Exercice 2 :

On considère la fonction f définie sur R par f(x) =



^x ⁽¹ ^x⁾^e²^x



2

1   .

On note C la courbe représentative de f dans un repère orthonormal (O, i , j

).

(Unité graphique 2 cm)

1) a) Déterminer les limites de f en -  et en + . b) Montrer que la droite  d'équation y =

2

x est asymptote à C.

Etudier la position de C par rapport à .

2) Montrer que f est dérivable sur R et calculer f ’(x).

3) Soit u la fonction définie sur R par u(x) = 1 + (1 - 2x)e^2x. a) Etudier le sens de variation de u.

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b) Montrer que l'équation u(x) = 0 possède une solution unique  dans l'intervalle [0, 1].

Déterminer une valeur décimale approchée par excès de  à 10^-2 près.

c) Déterminer le signe de u(x) suivant les valeurs de x.

4) Etudier le sens de variation de f puis dresser son tableau de variation.

5) a) Construire la courbe C.

b) Calculer l'aire A, en cm², du domaine plan délimité par la courbe C, la droite  et les droites d'équation x = 0 et x = 1 (on pourra utiliser une intégration par parties).

Exercice 3 :

1. Résoudre l’équation différentielle : 2 'y y 0 (E), dont l’inconnue est une fonction définie et dérivable sur .

2. On considère l’équation différentielle : ^{2 '}^y^{ }^y ^e^²^x^x^¹ (E’)

a. Déterminer deux réels m et p tels que la fonction f définie sur  par :

  ²^x



²



f x e^ mx px soit solution de (E’).

b. Soit g une fonction définie et dérivable sur .

Montrer que g est solution de l’équation (E’) si et seulement si g – f est solution de l’équation (E).

Résoudre l’équation (E’).

3. Étudier les variations de la fonction h définie sur  par : ^{h x} ^ ¹₄^e^²^x



^x² ^²^x



^.

4. Déterminer les limites en ^ et en  de la fonction h.

5. Dans le plan rapporté à un repère orthonormal ⁽^{O i j}^{; , )}, on note C la courbe représentative de h et ^ celle de la fonction : ²

x

xe^ . a. Étudier les positions relatives de C et ^.

b. Tracer ces deux courbes sur un même graphique.

Exercice 4

Un nouveau bachelier souhaitant souscrire un prêt automobile pour l’achat de sa première voiture, a le choix entre les trois agences bancaires de sa ville : agence A, agence B et agence C. On s’intéresse au nombre de prêts automobiles effectués dans cette ville.

Les parties A et B sont indépendantes.

A)

Dans le tableau suivant figure le nombre de prêts effectués dans l’agence B lors des premiers mois de 2009.

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Mois Janvier Février Mars Avril Mai Juin

Rang du mois xi 1 2 3 4 5 6

Nombre de prêts yi 56 44 42 52 50 56

1. En utilisant la calculatrice, donner une équation de la droite d’ajustement affine de y en x obtenue par la méthode des moindres carrés.

2. Combien de prêts automobiles peut-on prévoir pour le mois de décembre 2009 avec cet ajustement ? On arrondira le résultat à l’entier le plus proche.

B)

Après vérification, on a constaté que :

20 % des prêts sont souscrits dans l’agence A ; 45 % des prêts sont souscrits dans l’agence B ; les autres prêts étant souscrits dans l’agence C.

On suppose que tous les clients souscrivent à une assurance dans l’agence où le prêt est souscrit.

Deux types de contrats sont proposés : le contrat tout risque, dit Zen et le deuxième contrat appelé Speed.

80 % des clients de l’agence A ayant souscrit un prêt automobile, souscrivent une assurance Zen.

30 % des clients de l’agence B ayant souscrit un prêt automobile, souscrivent une assurance Zen.

2

7 des clients de l’agence C ayant souscrit un prêt automobile, souscrivent une assurance Speed.

On interroge au hasard un client d’une de ces trois banques ayant souscrit un contrat d’assurance automobile.

On considère les évènements suivants : A : « le prêt a été souscrit dans l’agence A », B : « le prêt a été souscrit dans l’agence B », C : « le prêt a été souscrit dans l’agence C », Z : « le contrat d’assurance Zen a été souscrit », S : « le contrat d’assurance Speed a été souscrit ».

Dans tout l’exercice, on donnera les valeurs exactes.

1. Représenter la situation à l’aide d’un arbre pondéré.

2. Déterminer la probabilité que le client interrogé ait souscrit un prêt automobile avec une assurance Zen dans l’agence A.

3. Vérifier que la probabilité de l’évènement Z est égale à 0,545.

4. Le client a souscrit une assurance Zen.

Déterminer la probabilité que le prêt soit souscrit dans l’agence C.

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2012-2011

Exercice 5:

L’espace est muni d’un repère orthonormé



^{O,i , j ,k}



^.

1) On considère le plan P passant par le point B( 1, -2, 1 ) et de vecteur normale

P

2 n 1

5

 

 

 

ainsi que le plan R : x 2y 7 0  

a) Démontrer que P et R sont perpendiculaires.

b) Les deux plans Pet R se coupent suivant la droite . Déterminer une équation paramétrique de la droite  . Vérifier que passe par le point C ( - 1, 4 , -1) et que le vecteur

2 u 1

1

 

 

 

 

est un vecteur directeur

2) Soit le point A ( 5, -2 ,-1 ) . Calculer d A, 

3) Soit S l’ensemble des points M( x , y ,z ) tel que : x²y²z²4x 2z 0 

a) Démontrer que S est une sphère et en préciser les coordonnées de son centre I et de son rayon R .

b) Démontrer que S est tangente au plan R

c) La sphère S coupe le plan P suivant un cercle ( C ) . Déterminer les coordonnées de son centre et son rayon .

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L.S.Marsa Elriadh

Exercice N°1 :

la courbe ci-dessous est celle d’une fonction f définie et dérivable sur



^{ }^1,



.La droite D est asymptote à la courbe au voisinage de ^.

1. Chaque question comporte trois affirmations ; une seule est correcte. Désigner la bonne réponse.

a. Une asymptote à (C ) est la droite d’équation :

y = 1 x = 1 x= - 1 .

b. La droite D est d’équation :

5 10

y 2x 5

2 9

y x ^y³^x⁵

c. L’équation f( x ) = 1 admet dans



^{ }^1,



exactement :

une solution Deux solutions Trois solutions d. f ‘(4 ) = 0 f ‘(4 ) >0 f ‘(4 ) < 0 e. f ‘ ( 0 ) = 0 f ‘( 0 ) = - 3 f ‘ ( 0 ) = 3 f. ²

0

( ) f x dx



^{est :}

4 = 4 < 4

2. On considère la fonction g définie sur



^{ }^1,



^{par :}^{g x}^{( )}^^e^{f x}^{( )}^.

a. Calculer ^lim ^{( )}

x g x

 et

 1

lim ( )

x

g x

 

b. Calculer g'(0) , g'(1)et g'(3)

c. Dresser le tableau de variation de g

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d. Résoudre l’inéquation : ^{g x}^{( )}^e². « Utiliser le graphique » Exercice N°2 :

L’espace est rapporté à un repère orthonormé



^{O i j k}^{, , ,}



. On donne le point A(1 , -1 , 0 ) et le plan P dont une équation cartésienne est : ^x^{   }^y ^z ¹ ⁰.

1.

a. Vérifier que A n’est pas un point de P et donner un vecteur normal n_P de P b. Déterminer une équation cartésienne du plan Q passant par A et parallèle à

P 2.

a. Démontrer que le point H( 0,0,-1 ) est le projeté orthogonale du point A sur P

b. Donner une équation cartésienne de la sphère S de centre H et de rayon ⁶. c. Soit (C) l’ensemble ^S ^Q. Déterminer la nature de C et déterminer ces

caractéristiques.

3. Déterminer ( C’) ;l’ensemble des points M du plan P tel que le triangle AHM est isocèle et rectangle en H

Que représente (C’) par rapport à ( C ) ? Exercice N°3 :

Pour passer le temps, Aymen et Nizar inventent un jeu avec leur paquet de 32 cartes à jouer et un paquet de bonbons.

Aymen propose la règle suivante :

 On tire successivement et sans remise deux cartes .

 Si , sur les deux cartes tirées on a tiré exactement un roi , on gagne 10 bonbons ; si on a tiré deux rois , on gagne 20 bonbons ; sinon , on a perdu .

On rappel que : dans un jeu de 32 carte on trouve quatre couleurs ( pique ♠ , trèfle ♣, cœur ♥ et carreau ♦) et dans chaque couleur on a une 8 cartes ( 7 , 8 , 9 , 10 valet , dame , roi et as )

On note :

R1 : « Tirer un roi au premier tirage » R2 : « Tirer un roi au deuxième tirage »

1. Inscrire sur les branches de l’arbre suivant les probabilité adéquates sous forme de fraction

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Dans tous ce qui suit les probabilités seront données sous forme décimale a 10^-3 prés .

2. Calculer la probabilité de chacun des événement suivants : A : « Tirer un roi au premier tirage et au deuxième tirage » B : « Tirer un roi a un seul des deux tirages »

3. On note X le nombre de bonbons gagnés après deux tirages .

3 2 2

2 3 4 1 3 8 2 2 3 4

z  i z  i z i z i z  z

2. Résoudre dans l’équation ( E ) . Ecrire les solutions qu’on notera z1 , z2 et z3

sous forme algébrique et exponentielle

3. On muni le plan d’un repère orthonormé directe



^{O u v}^{, ,}



.

a. Placer ; voir annexe ; les points M1 , M2 et M3 d’affixes respectives 2i ,



³^ⁱ



^et



³^ⁱ



b. Montrer que les points M1 , M2 et M3 sont sur un même cercle de centre O que l’on déterminera le rayon r

c. Quelle est la nature du quadrilatère OM1M2M3 ? Justifier.

Exercice 5:

1) on donne ci-dessous , le tableau de variations de la fonction g définie sur ]0,+∞[

par g(x)= x²-x+lnx.

x 0 +∞

g ’ +

g

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a) calculer

x 0 x

lim g(x) et lim g(x)

   .

b) calculer g(1) et en déduire le signe de g(x) pour x>0.

c) ∝ un réel tel que 0<∝<1 ; montrer que ¹g(x)dx ¹ ³ ² ⁷ ln

3 2 6



         

 .

2) Soit f la fonction définie sur ]0,+∞[, par f(x)=(x-1)²+ln²x . a) calculer

x 0 x

lim f (x) et lim f (x)

   .

b) montrer que pour tout x>0 ; f’(x)=2^g(x)

x . c) dresser le tableau de variations de f.

3) on donne (C) la courbe représentative de f dans un repère orthonrmé.

On pose ; A( ) ¹_f (x)dx. Donner une interprétation géométrique de A(∝).

4) Soit I_¹(xf '(x))dx.

a) Montrer à l’aide d’une intégration par partie que I  ² A. b) Montrer que I2_¹g(x)dx.

c) En déduire A.

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Exercice N°1 :

Pour chacune des questions suivantes ; une ou plusieurs réponses sont exactes.

Cocher la ou les réponses correctes.

Questions Propositions

A et B deux événements indépendants tels que : P( A )

= 0,3 et P( B ) = 0,5 ^{P A}

^0,3

P A B  On considère l’arbre de probabilité ci-dessous :

^{0, 6} C 0, 2 A D

^0,3 C B

D



^/



^0,08

P D A 

 

^0,56

P B D 



^/



^0,875

P B D 

La durée de vie T d’une machine « en années » suit une loi exponentielle de paramètre 0, 3.

La probabilité qu’une machine soit encore en état de marche après cinq années est :

5 0,3 0

0,3e ^tdt



5

0,3 0

1



0.3e^ ^tdt

0,15t

e^ Exercice N°2:

Soit le réel ^;

2 2

 ^  ^et ( E ) l’équation

 

^E ^:^z²^{ }



^{i e}ⁱ^



^{z ie}^ ⁱ^ ^⁰

1. Résoudre dans l’équation ( E )

2. Soit dans le plan muni d’un repère orthonormé directe



^{O i j}^{, ,}



les points A et M d’affixes respectives i et ^eⁱ^

a. Déterminer l’affixe zN du point N pour que le quadrilatère OANM soit un parallélogramme

b. Construire l’ensemble E des points N lorsque ^ varie dans l’intervalle

2 2;

 

 

 .

3. Soit P le point de E d’ordonnée ¹

2

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a. Déterminer les coordonnées de P

b. Vérifier que P appartient à la médiatrice de [O A] puis le construire c. Placer ; en expliquant ; le point B d’affixe 3.

d. Démontrer que les points A , P et B sont alignées . Exercice N°3 :

Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé



^{O i j k}^{, , ,}



. On considère les points A(

4,0,0), B(0,-2,0) et C(0,0,2).

1. Déterminer les composantes du vecteur ÂB^ÂCqu’on notera û. 2. a. Montrer qu’une équation du plan ( ABC) est x2y2z 4 0

b. Calculer le volume v du tétraèdre OABC

3. Soit S l’ensemble des points M(x,y,z) de l’espace tels que

2 2 2

4 2 2 0

x y z  x y z . Montrer que S est un sphère dont on précisera le centre I et le rayon R.

4. Montrer que le tétraèdre OABC est inscrit dans la sphère S .

5. Déterminer le rayon r et le centre ^du cercle ( C ) circonscrit au triangle ABC . Exercice N°4 :

I. La courbe Cf ci-dessous est celle d’une fonction f définie sur dans un repère orthonormé



^{O i j}^{, ,}



^{. On}

donne le point de la courbe

1,2

A e

 

 

 .

En utilisant le graphique : 1. Déterminer les limites de f

en ^ et en ^. 2. Préciser le sens de

variations de f

3. Déterminer f( 1 ) et f ‘ ( 1 ) 4. Que représente le point A

pour la courbe Cf

5. Décrire le comportement de la courbe Cf aux voisinages de l’infinie

6.

a. Justifier que f réalise une bijection de sur un intervalle J que l’on précisera b. Etudier la dérivabilité de la fonction réciproque f^-1 de f

c. Construire sur le même repère la courbe de f ^-1 en précisant ces caractéristiques .

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II. La courbe C est en fait celle de la fonction f définie sur par ^{f x}^{( )}^



^x²^¹



^e^^x^.

Pour tout entier naturel n , on désigne par An l’aire de la partie du plan limitée par la courbe Cf , l’axe des ordonnées et la droite x = n .

a. Soit

0 n

x

In 



xe dx^ . Montrer que I_n  1 (n1)e^ⁿ

b. Vérifier que pour tout réel x ,on a : ^f ^{'( )}^x ^ ^{f x}^{( )}^²^xe^^x c. En déduire An en fonction de n .

d. Calculer ^lim n

n A

 . Exercice 5 :

On définit les suites u et v par

0 1

u   et v₀ 2 et pour tout entier n : ₁ ¹( )

n 2 n n

u _  u v et ₁ ¹( 4 )

n 5 n n

v _  u  v

1. Démontrer par récurrence que pour tout n , vn un ⁰. 2. On appelle w la suite définie pour tout n par w_n v_n u_n

a) Montrer que w est une suite géométrique, dont on précisera la raison et le 1^er terme.

b) Déterminer la limite de la suite w.

3. a) Montrer que la suite u est croissante.

b) Montrer que la suite v est décroissante.

c) Justifier que les suites u et v sont convergentes.

Que peut-on dire de leurs limites ?

4. On appelle t la suite définie pour tout n par ⁵

n n 2 n

t u  v

a) Montrer que la suite t est constante. Déterminer cette constante.

b) En déduire les valeurs des limites des suites u et v.

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Exercice 1 :

Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé



^{O i j k}^{, , ,}



. On considère les points A( -1,1,2), B(1,0,-1), C(2,-1,1) et D(-1,0,2).

1.

a. Vérifier que B,C et D ne sont pas alignés

b. Déterminer une équation cartésienne du plan Q passant par les points B, C et D

Dans tous ce qui suit On considérera Q : 3x + 7y + 2z – 1 = 0 2. Soit H le projeté orthogonal du point A sur le plan Q

a. vérifier que ABCD est un tétraèdre.

b. Calculer le volume v du tétraèdre ABCD c. en déduire AH.

3. Soit S la sphère de diamètre [AH]. Déterminer ^Q ^S Exercice 2 :

1. Soit f la fonction définie sur ³^,

2

 

 

 par ^{f x}^{( )} ² ^x

x

  .Montrer que pour tout réel non nul x on a : ^{'( )} ⁸

f x 9

2. Soit la suite réelle U définie par :

0

1

1 2 ⁿ

n

U

U U n

 U

 

 

  



a. Montrer par récurrence que pour tout n de ^* on a ³ ³

2Uⁿ 

b. Montrer, en utilisant le théorème des accroissements finis , que pour tout n de ^*on a 1

2 8 2

n 9 n

U _   U 

c. Montrer que pour tout n de on a ² ⁸

9

n

Un  

    

d. Déduire n^limUn

 . Exercice 3 :

1. Construire sur un repère orthonormé



^{O i j}^{, ,}



du plan la courbe C^{de la} fonction f définie par f(x) = ln ( x ).

2. Soit A le point de coordonnées ( 2 , 0 ). Montrer que pour tout point M de C d’abscisse x > 0 on a ^AM² ^^x²^⁴^x^



^{ln( )}^x



²^⁴. On note ^{g x}^{( )}^^AM²

3. Soit h la fonction définie sur



^0,^



^par^{h x}^{( )}^^x²^²^x^^{ln( )}^x ^.

(17)

comme suit :

La probabilité que le composant ne soit plus en état de marche au bout de t semaines est

   

0

0,

t

p t 



e^^xdx^.

Une étude ; montrant qu’environs 50% d’un lot de ces composants sont encore en état de marche au bout de 200 semaines ce qui permet donc de poser ^p

 

^{0, 200}

 

^^0,5

1. Montrer que ^ln(2)

 200

2. Quelle est la probabilité qu’un de ces composants pris au hasard ait une durée de vie supérieure à 300 semaine ? on donnera la valeur exacte et une valeur approchée décimale au cm prés

3. On admet que la durée de vie moyenne dm est la limite quand A tend vers ^

de

0 A

xe ^xdx

 ^



( A > 0 ).

a. Montrer que

0

A A A 1

x Ae e

xe dx

 

 

    



b. En déduire dm .On donnera la valeur exacte et la valeur approchée décimale à une semaine prés.

Exercice N°5 :

On considère les équations différentielles E0 et E1 suivantes :

 

0 1

: '' 4 0 : '' 4 3cos( )

E y y

E y y x

 

1. Quelles sont sur les solutions g de l’équation E0 .

(18)

2012-2011

2. Vérifier que la fonction cosinus est solution sur de E1.

3. Montrer que toute fonction f définie sur par : f( x ) = g( x ) + cos( x ) est une solution de E1 .où g est une solution de E0.

4. Déterminer la solution f de E1 dont la courbe passe par le point ^{, 0}

A2 

 

 et dont la tangente en A est parallèle à la droite d’équation y = x.

(19)

2012-2011

L.S.Marsa Elriadh

Exercice 1 :

Pour chaque question une seule réponse est exacte. Dans l’espace rapporté à un repère orthonormal (O i j k; , , ), on donne le point S(1 ; −2 ; 0) et le plan P d’équation

3 4 0

x y z  .

1. Une représentation paramétrique de la droite (D) passant par le point S et perpendiculaire au plan P est :

A :

1 1 2

3

x t

y t

z

  

  

  



B :

2 1 1 3

x t

y t

z t

  

   

  



C :

1 2 2 3

x t

y t

z t

  

   

 



D :

2 1 3 3

x t

y t

z t

  

   

   



(t réel).

2. Les coordonnées du point d’intersection H de la droite( D) avec le plan P sont : A : (−4 ; 0 ; 0) B : ⁶; ⁹; ³

5 5 5

 

 

 

  C : ⁷; ^{2 1};

9 3 3

  

 

  D : ⁸ ; ²⁵; ⁹ 11 11 11

  

 

 

3. La distance du point S au plan P est égale à : A : ¹¹

3 B : ³

11 C : ⁹

11 D : ⁹

11

4. On considère la sphère de centre S et de rayon 3. L’intersection de la sphère S et du plan P est égale :

A : au point I(1 ; −5 ; 0) B : au cercle de centre H et de rayon

3 10 r 11

C : au cercle de centre S et de rayon 2 D : au cercle de centre H et de rayon ^{3 10}

r 11

Exercice 2:

On considère le polynôme P défini par : P(z) = z⁴ – 6z³ + 24 z² – 18z + 63.

1°) Calculer P(i ³) et P(–i ³), puis montrer qu’il existe un polynôme Q du second degré à coefficients réels, que l’on déterminera, tel que, pour tout zC, on ait :

P(z) = (z² + 3) Q(z).

2°) Résoudre dans C l’équation P(z) = 0.

3°) Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal (O ; u v

, ), on considère les points A et  d’affixes respectives zA = i 3 et z = –3.

On construit les points :

 B symétrique de A par rapport à l’axe des réels,

 C image de A par l’homothétie de centre  et de rapport 2,

(20)

2012-2011

 D image de C par la translation de vecteur 2AB.

a) Faire une figure que l’on complétera au fur et à mesure.

b) Déterminer les affixes zB, zC et zD des points B, C et D.

c) Démontrer que le triangle ACD est rectangle en A.

d) Démontrer que les points A, B, C et D appartiennent à un même cercle.

4°) On note E le symétrique de D par rapport à O. Montrer que :

3 B E

B C

i

z e z

z

z ^

 

 puis déterminer la nature du triangle BEC.

Exercice 3 :

On considère les deux suites (un) et (vn) définies, pour tout entier naturel n, par : u0 = 3 et un+1 =

2

n

n v

u 

; v0 = 4 et vn+1 =

2

1 n

n v

u_ 

. 1°) Calculer u1, v1, u2 et v2.

2°) Soit la suite (wn) définie, pour tout entier naturel n, par : wn = vn – un.

a) Montrer que la suite (wn) est une suite géométrique de raison

4 1. b) Exprimer wn en fonction de n et préciser la limite de la suite (wn).

3°) Après avoir étudié le sens de variation des suites (un) et (vn), démontrer que ces suites sont adjacentes. Que peut-on en déduire ?

4°) On considère à présent la suite (tn) définie, pour tout entier naturel n, par : tn =

3 2 _n

n v

u 

.

a) Démontrer que la suite (tn) est constante.

b) En déduire la limite des suites (un) et (vn).

Exercice 4 :

Soit f la fonction numérique de la variable réelle x définie sur R* par :

1 ) 2

(   _x^x e x e x

f .

On désigne par (C) sa courbe représentative dans le repère orthonormal (O,i j , ), l’unité est le centimètre.

1) Démontrer que le point I(0 ; -1) est centre de symétrie de (C).

Que peut-on en déduire pour l’étude de la fonction ? 2) Calculer les limites de f en 0 et +.

3) Montrer que la droite  d’équation y = x – 2 est asymptote à (C) en +. Préciser la position de (C) par rapport à .

(21)

2012-2011

En déduire une équation de l’asymptote à (C) en –. 4) Etudier les variations de f.

5) Montrer que l’équation f(x) = 0 admet une unique solution réelle  sur ]0 ; +[ .

6) Tracer (C) ainsi que ses asymptotes.

7) Calculer l’aire du domaine limité par (C), l’axe des ordonnées et les droites x=1 et x=2.

Exercice 5 :

On considère les équations différentielles (E) : y' 2 y4x²2 et (F) : y' 2 y0. 1) Déterminer les réels a, b, et c pour que le polynôme P défini sur par P(x) = ax²bx c soit une solution de (E).

2) Démontrer que :

Une fonction f est une solution de (E) si et seulement si ( f - P) est une solution de (F).

3) a) Déterminer les solutions de (F).

b) En déduire les solutions de (E).

a) Déterminer la solution de (E) qui prend la valeur 1 pour x = 0.

4) Soit h la fonction définie sur par h x( )e²^x2x²2x

a) Calculer h x'( ) et étudier les variations de cette dérivée h'. b) En déduire le signe de h x'( )sur et le sens de variation de h.

c) Déterminer les limites de ^{h x}^{( )}en  et en ^.

(22)

2012-2011

L.S.Marsa Elriadh

Exercice 1 :

Pour chaque question, une seule des trois propositions est exacte. Aucune justification n’est demandée.

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct d’origine O.

1) Une solution de l’équation 2z  z 9 i est :

a. 3 b. i c. 3 + i

2) Soit z un nombre complexe ; zi est égal à :

a. z 1 b. z1 c. iz1

3) Soit z un nombre complexe non nul d’argument . Un argument de ¹ ⁱ ³

z

  est :

a.   3 b. ²

3  c. ²

3 

4) Soit n un entier naturel. Le complexe



³^ⁱ



ⁿ est un imaginaire pur si et seulement si :

a. n = 3 b. n = 6k + 3, avec k

relatif

c. n = 6k avec k relatif 5) Soient A et B deux points d’affixe respective i et −1. l’ensemble des points M d’affixe z vérifiant z i z1 est :

a. la droite (AB) b. le cercle de diamètre [AB]

c. la droite

perpendiculaire à (AB) passant par O

6) Soit le point d’affixe 1i.

L’ensemble des points M d’affixe z x iy vérifiant ^z^{  }¹ ⁱ ³^⁴ⁱ a pour équation : a. y  x 1 b. ^x^¹²^^y²^ ⁵ c. z  1 i 5ieⁱ^ avec  réel Exercice 2 :

On considère un cube ABCDEFGH d’arête de longueur 1.

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







































 













       

















 













 









 

















































 



 

 

 



    ^ ^  