L.S.Marsa Elriadh
Série 4
M : Zribi
4 èmeSc Exercices
2010‐2011
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Exercice 1:
Le plan est rapporté au repère orthonormé (O,u, ⎯→ ⎯→v) (unité graphique : 2 cm).
On considère les points A, B et C d’affixes respectives zA = – 1 + i 3, zB = – 1 – i 3 et zC = 2.
1) Donner la forme trigonométrique de zA et zB puis placer ces points sur un dessin.
2) a) Vérifier que : zB – zC
zA – zC=
cos sin
3 i 3
π + π .
b) En déduire une mesure de l’angle (CA CBJJJG JJJG, )
et la nature du triangle ABC.
c) Déterminer le centre et le rayon du cercle Γ1 circonscrit au triangle ABC. Tracer le cercle Γ1.
3) a) Etablir que l'ensemble Γ2 des points M d’affixe z qui vérifient : 2 (z + −z) + z −z = 0 est un cercle de centre Ω d’affixe – 2. Préciser son rayon. Construire Γ2.
b) Vérifier que les points A et B sont éléments de Γ2.
Exercice 2:
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé (O u v; , )G G , unité graphique 5 cm.
1) On considère les points A et B d’affixes respectives a= +2 i et b= − +1 2i. Placer A et B dans le repère et compléter la figure au fur et à mesure.
Montrer que b=ia, en déduire que le triangle OAB est un triangle isocèle rectangle.
2) On considère le point C d’affixe 1 1
c= − +2i. Déterminer l’affixe du point D tel que le triangle OCD soit un triangle isocèle rectangle tel que
(
OC ODJJJG JJJG,)
=π2.3) Soit M le milieu du segment [BC]. On appelle zOMJJJJG et zJJJGDA les affixes respectives des vecteurs
OMJJJJG
et DAJJJG
. Prouver que 1
2
OM DA
z i
zJJJJG =
JJJG .
4) Donner une mesure en radians de
(
JJJG JJJJGDA OM,)
.5) Prouver que 1
OM =2DA.
6) On appelle J, K et L les milieux respectifs des segments [CD], [DA] et [AB].
Démontrer que JKLM est un carré.
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Exercice 3:
Le plan est rapporté à un repère orthonormé . On considère les points A, B et C d'affixes
respectives a=1, b= .
1) a) écrire sous forme trigonométrique chacun des nombres a, b et c.
b) représenter les points A, B et C dans le repère .
2) on pose d=b+c et on désigne par D le point d'affixe d.
a) montrer que OBCD est un carré.
b) déduire la forme trigonométrique de d.
3) soit l'application f de P dans P qui à tout point M(z) associe le point M'(z') tel que z'=2zz².
a) déterminer les points invariants par f.
dans la suite on suppose que M est un point du cercle ζ de centre O et de rayon1.
b) montrer que AM=MM'.
c) montrer que est réel.
Exercice juin 2009 :
Dans la figure,
(
O u v, ,G G)
un repèreorthonormé direct du plan, (C) le cercle de centre O et de rayon 2 et B le point d’affixe zB.
1) déterminer par une lecture graphique le module et un argument de zB.
En déduire que zB = − +1 i 3.
2) a) placer sur la figure le point C d’affixe
1 3
zC = +i .
b) montrer que le quadrilataire OACB est un losange.
3) on se propose de déterminer l’ensemble E des points M d’affixe z tel que z3 soit un réel positif ou nul.
a) vérifier que O, A et B appartiennent à E.
b) prouver que tout M de la demie droite [OB) appartient à E.
c) soit z un nombre complexe non nul, de module r et d’argument . montrer que z3est un réel positif si et seulement si 2 ;
3 kπ k θ = ∈].
d) en déduire que E est la réunion de trois demidroites que l’on déterminera. Représenter E sur la figure.
( , , )O i j G JG
3 i 1 i 3
2 et c 2
+ = − +
( , , )O i j G JG
z' 1 z
−
