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(1)

2010-2011

www.zribimaths.jimdo.com Page 1 Exercice1

1) f est dérivable sur IR et pour tout xIR , f '(x)=3x3x²-9x1=9x²-9

2) Si on note g la fonction définie par g(x)=9x²-9, alors grâce à la 1),une primitive de g est f.

Une autre primitive de g serait la fonction h définie sur IR par h(x)=f(x)+k, où k est une constante réelle quelconque.

Ainsi f(x)=3x³-9x+1+50=3x³-9x+51 est une autre primitive de g

3) Puisque g(x)=9x²-9=9(x²-1)=9(x-1)(x+1), on peut établir le signe de g(x), donc le sens de variations de f :

Pour x] ;-1[U]1; [, g(x)>0 et pour x ]-1;1[, g(x)<0, donc f est strictement croissante sur ] ;-1[,strictement décroissante sur ]-1;1[, et strictement croissante sur ]1; [.

Exercice 2

1) La fonction f définie par f(x)=2x+1 est continue sur IR en tant que polynôme , donc il existe une primitive définie surIR par :

2

( ) 2 1. 2

2

F x  x  x x x

2) La fonction f définie par f(x)=10x⁴+6x³-1 est continue surIR en tant que polynôme, donc il existe une primitive définie sur IR par :

5 4 4

5 3

( ) 10 6 1. 2

5 4 2

x x x

F x    x  x  x

3) La fonction f définie par f(x)=(x-1)(x+3)= x²+3x-x-3= x²+2x-3 est continue surIR en tant que polynôme , donc il existe une primitive définie surIR par :

3 2 3

( ) 2. 3. 2 3

3 2 3

x x x

F x    x  x  x

4) La fonction f définie par f(x)= ¹₂

x -x² est continue sur IR /{0} en tant que somme de fonctions qui le sont, donc il existe une primitive définie sur IR /{0} par :

(2)

2010-2011

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1 3

( ) 3

F x x

  x

5) La fonction f définie par ( ) ⁴₅ ⁴ ⁵

3 3

f x x

x

 

   est continue sur IR /{0} en tant que rationnelle , donc il existe une primitive définie sur IR /{0} par :

5 1 4 4

4

4 4 1

( ) 3 5 1 3 4 3 3

x x x

F x x

   

 

   

  

6) La fonction f définie par f(x)=x+ ¹

x est continue sur ]0;[ en tant que somme de fonctions qui le sont, donc il existe une primitive définie sur ]0;[ par :

2

( ) 2

2

F x  x  x

7) La fonction f définie par f(x)=sinx-2cosx est continue surIR en tant que somme de fonctions qui le sont, donc il existe une primitive définie surIR par :

F(x)= -cos x-2sin x

Exercice 3

f est continue sur ]0; [ en tant que somme de fonctions qui le sont, donc admet des primitives sur ]0; [ définies par :

. 3 ² 2

( ) ,

2

F x x x k k

   x 

On cherche k pour que 3 2 3

(1) 0 1 0

2 1 2

F  donc    k donc k  La primitive F de f sur ]0;[ qui s'annule pour x=1 est donc

3 ² 2 3

( ) 2 2

F x x x

   x

Exercice 4

1) f est continue sur en tant que polynôme donc admet des primitives définies sur IR par.

3 4

( ) ² ,

2 3 4

x x x

F x  x   k k 

(3)

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On cherche k pour que F(1)=0 donc 1 ¹ ¹ ¹ 0 ⁷

2 3 4 k donc k 12

      .

La primitive F de f sur IR qui vérifie F(1)=0 est donc

3 4

² 7

( ) 2 3 4 12

x x x

F x  x    2) f est continue sur ]0; [ en tant que somme de fonctions qui le sont, donc admet des primitives définies sur ]0; [ par. ( ) ^² ¹ 2 ,

2

F x x x k k

  x  

On cherche k pour que F(1)=1 ¹ 1 2 1 ⁷

2 2

donc    k donc k  La primitive F de f sur ]0; [ qui vérifie F(1)=1 est donc

² 1 7

( ) 2

2 2

F x x x

  x 

Exercice5

1) f(x)=3(3x+1)⁴.

f est définie et continue sur IR en tant que produit de fonctions qui le sont, et f(x)=u'(x)(u(x))⁴ où u(x)=3x+1 donc u'(x)=3.

Ainsi une primitive sur IR de f est définie par

5 5

( ( )) (3 1)

( ) 5 5

u x x

F x   

2) f(x)=16(4x-1)³.

f est définie sur IR en tant que produit de fonctions qui le sont, et pour tout xIR, f(x)=4x4(4x-1)³, donc de la forme f(x)=4xu'(x)(u(x))³, où u(x)=4x-1donc u'(x)=4.

4

( ( )) 4

( ) 4. (4 1)

4

F x  u x  x 

3) f(x)=(2x+7)⁶ .

f est définie et continue sur IR en tant que puissance d’une fonction qui l’est, et pour tout xIR ,

f(x)=¹

2 ^x2x(2x+7)⁶, donc de la forme f(x)= ¹

2 ^xu'(x)(u(x))⁶, où u(x)=2x+7 donc

(4)

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u'(x)=2.

7 7

1 ( ( )) (2 7)

( ) 2 7 14

u x x

F x 

 

4) f(x)=(6x-2)(3x²-2x+3)⁵.

f est définie et continue sur IR en tant que produit de fonctions qui le sont, et de la forme f(x)=u'(x)(u(x))⁵, où u(x)=3x²-2x+3 donc u'(x)=6x-2.

6 6

( ( )) (3 ² 2 3)

( ) 6 6

u x x x

F x    

5)

1 1 4

( ) 1

f x ²

x x

 

   

f est définie sur ] ;0[U]0; [ et continue sur chacun des intervalles ] ;0[ et ]0; [ en tant que produit et puissance de fonctions qui le sont,

et pour tout x ]0; [,

1 1 4

( ) ( ) 1

f x ²

x x

 

      , donc de la forme

f(x)= -u'(x)(u(x))⁴, donc

5 5

( ( )) 1 1

( ) 1

5 5

F x u x

x

 

      

6) f(x)=sinxcosx.

f est définie et continue sur IR en tant que produit de fonctions qui le sont, et pour tout xIR , f(x)=cosxsinx, donc de la forme f(x)=u'(x)u(x), où u(x)=sin x

donc u'(x)=cos x.

2 2

( ( )) (sin )

( ) 2 2

u x x

F x  

Exercice 6

1) ( ) ⁴ ₂

(1 4 )

f x  x



(5)

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f est définie et continue sur IR / {-¹

4 } en tant que quotient de fonctions qui le sont, et pour tout x IR / {-¹

4 }, f est de la forme ( ) ^{'( )}₂ ( ( )) f x u x

 u x , donc f admet une primitive sur IR / {-¹

4 } définie par :

1 1

( ) ( ) 1 4

F x  u x   x



2) ( ) ⁶ ₂

(2 1) f x  x



f est définie et continue sur IR / {-¹

2 } en tant que quotient de fonctions qui le sont, et pour tout x IR / {-¹

2 }, f est de la forme ( ) ^{3. '( )}₂ ( ( )) f x u x

 u x , donc f admet une primitive sur IR / {-¹

3 3

( ) ( ) 2 1

F x  u x   x



3) ( ) ¹ ₂

(4 3) f x  x



f est définie et continue sur IR / {-³

4 } en tant que quotient de fonctions qui le sont, et pour tout x IR / {-³

4}, f est de la forme ( ) ¹ ^{'( )}₂ 4 ( ( )) f x u x

 u x , donc f admet une primitive sur IR / {-³

1 1 1

( ) 4 ( ) 4(4 3)

F x   u x   x



4) ( ) ¹ ₂

(2 )

f x x

 



(6)

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f est définie et continue sur IR / {2} en tant que quotient de fonctions qui le sont, et pour tout x IR / {2}, f est de la forme ( ) ^{'( )}₂

( ( )) f x u x

 u x , donc f admet une primitive sur IR / {2} définie par :

1 1

( ) ( ) 2

F x  u x   x



5) ( ) ² ₂

(4 3 )

f x  x



f est définie et continue sur IR / {⁴

3 } en tant que quotient de fonctions qui le sont, et pour tout x IR / {⁴

3}, f est de la forme ( ) ² ^{'( )}₂ 3 ( ( )) f x u x

  u x , donc f admet une primitive sur IR / {⁴

2 1 2

( ) 3 ( ) 3(4 3 ) F x  u x  x



6) ( ) ² ¹ ₂

( ² 1) f x x

x x

 

 

f est définie et continue sur IR en tant que quotient de fonctions qui le sont, et pour tout x IR , f est de la forme ( ) ^{'( )}₂

( ( )) f x u x

 u x , donc f admet une primitive sur IR définie par :

1 1

( ) ( ) ² 1

F x  u x  x x

 

7) ( ) ⁴ ¹⁰ ₂

( ² 5 6) f x x

x x

 

 

(7)

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f est définie et continue sur IR / {2,3} en tant que quotient de fonctions qui le sont, et pour tout x IR / {2,3}, f est de la forme ( ) ^{2. '( )}₂

( ( )) f x u x

 u x , donc f admet une primitive sur IR / {2,3} définie par :

2 2

( ) ( ) ² 5 6

F x  u x  x x

 

8) ( ) ^cos ₂ (sin ) f x x

 x

f est définie et continue sur IR / {k, kZ} en tant que quotient de fonctions qui le sont,

et pour tout x IR / { k, kZ }, f est de la forme ( ) ^{'( )}₂ ( ( )) f x u x

 u x , donc f admet une primitive sur IR / { k, kZ } définie par :

1 1

( ) ( ) sin

F x  u x   x

9) ( ) ^sin ₂ (cos ) f x x

 x

f est définie et continue sur IR / { , 2 k k

 } en tant que quotient de fonctions qui le sont,

et pour tout x IR / { , 2 k k

 }, f est de la forme ( ) ^{'( )}₂ ( ( )) f x u x

 u x , donc f admet une primitive sur IR / { ,

2 k k _

} définie par :

1 1

( ) ( ) cos

F x  u x   x

(8)

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www.zribimaths.jimdo.com Page 8 Exercice 7

1) Pour tout. 1, ₂ ₃ ⁽ ¹⁾₃ ₃

( 1) ( 1) ( 1) ( 1)

a b a x b ax a b

x x x x x

   

   

   

Ainsi ₂ ₃ ( )

( 1) ( 1)

a b

x  x f x

  si et seulement si pour tout

3 3

1, 3 4

4 1

a a

x ax a b x donc donc

a b b

 

 

         

Ainsi, pour tout 1, ( ) ³ ₂ ¹ ₃

( 1) ( 1)

x f x

x x

  

 

2) f est continue sur l’intervalle ]-1; [ en tant que somme de deux fonctions qui le sont, donc elle admet des primitives F sur ]-1; [.

Puisque la fonction ³ ₂ ( 1) x  x

 est de la forme ^{3. '( )}₂ ( ( )) x u x

 u x , où u(x)=x+1 donc u'(x)= 1, une de ses primitives sur ]-1; [ est la fonction:

3 3

( ) 1

x  u x  x



Puisque la function ¹ ₃ ( 1) ³ (1 )

x x

x

   

 est de la forme x->u'(x)(u(x))^-3, où u(x)=x+1donc u'(x)= 1,

une de ses primitives sur ]-1; [ est la fonction

3 1

2

2 2

( ( )) 1 1 1

( ( ))

3 1 2 2( ( )) 2( 1)

x u x u x

u x x

     

   

  

On déduit donc qu’une primitive de f sur ]-1; [ est la fonction F définie sur

]-1; [ par ( ) ³ ¹ ₂

1 2( 1) F x  x  x

 

(9)

2010-2011

www.zribimaths.jimdo.com Page 9 Exercice 8

1) ( ) ³

3 2

f x  x



f est définie et continue sur ]-²

3; [ en tant que quotient de fonctions qui le sont, le f étant de la forme ( ) ^{'( )}

( ) f x u x

 u x , où u(x)=3x+2 donc u'(x)=3, elle admet une primitive sur ]- ²

3; [ définie par : ( ) 2 ( ) 2 3 2

F x  u x  x 

2) ( ) ¹

f x 2 5

 x



f est définie et continue sur ] ,²

 5 [ en tant que quotient de fonctions qui le sont, le f étant de la forme ( ) ¹ ^{'( )}

5 ( ) f x u x

  u x , où u(x)=2-5x donc u'(x)=-5, elle admet une primitive sur ] ,²

 5 [ définie par :

1 2

( ) .2. ( ) 2 5

5 5

F x   u x   x

3) ( ) ¹

2 3

f x

 x



f est définie et continue sur ]³

2; [ en tant que quotient de fonctions qui le sont,

(10)

2010-2011

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f étant de la forme ( ) ¹ ^{'( )} 2 ( ) f x u x

 u x , où u(x)=2x-3 donc u'(x)=2, elle admet une primitive sur ] ³

2; [ définie par : ( ) 1.2. ( ) 2 3

F x  2 u x  x 

4) ( ) ² ¹

² 1

f x x

x x

 

 

f est définie et continue sur IR en tant que quotient de fonctions qui le sont, le f étant de la forme ( ) ^{'( )}

( ) f x u x

 u x , où u(x)=x²+x+1 donc u'(x)=2x+1, elle admet une primitive sur IR définie par :

( ) 2 ( ) 2 ² 1

F x  u x  x  x

5) ( )

² 1 f x x

x

 

f est définie et continue sur ]-,-1[ U ]1; [ en tant que quotient de fonctions qui le sont, f étant de la forme ( ) ¹ ^{'( )}

2 ( ) f x u x

 u x , où u(x)=x²-1 donc u'(x)=2x, elle admet une primitive sur ]-,-1[ U ]1; [ définie par :

( ) 1.2. ( ) 2 ² 1 F x  2 u x  x 

6) ( ) ^cos

2 sin f x x

x

 

f est définie et continue sur IR en tant que quotient de fonctions qui le sont, le f étant de la forme ( ) ^{'( )}

( ) f x u x

 u x , où u(x)=2+sinx donc u'(x)=cosx, elle admet une primitive sur IR définie par :

( ) 2 ( ) 2 2 sin

F x  u x   x

(11)

2010-2011

www.zribimaths.jimdo.com Page 11 Exercice 9

1) g est dérivable sur ]0; [ en tant que produit de fonctions qui le sont, et pour tout x ]0; [,

1 1 3

'( ) 1. .

2 2

g x x x 2 x x x

  x   

2) Puisque g'(x)=³

2 f(x) , on déduit que f(x)=²

3 g'(x).

Une primitive sur ]0; [ de f est donc la fonction définie par F(x)= 2

3 g(x)= 2 3 x x

Exercice 10

1) a) FAUX. f(0,5)=0, mais cela n’influe par sur le signe de ses primitives.

b) VRAI. Puisque f est négative sur [0 ;0,5] et positive sur [0,5; [, toute primitive de f est décroissante sur [0 ;0,5] et croissante sur [0,5; [

2) C’est la C 2 qui correspond à la représentation graphique de toute primitive de f .

Exercice 11:

(12)

2010-2011

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4 3

5

4 3

6 3 2 1 v'

) ( ) ( 3) , ( 3)

( ² 2)² ( ² 1)² v²

1 3

( ) 3

² 2 ² 2

3 2 '

) ( ) 3 , 3

2 1 2 2 1 2

( ) 3 2 1

) ( ) 2 5 ( ) ² 5

4

) ( ) 10 6 1 ( ) 10

5

x x

a f x

x x x x

donc F x

x x x x

b f x de la forme u

x x u

donc F x x

c f x x x donc F x x x x

d f x x x donc F x x

     

         

   

   

 

   

   

 

     

   

 

4

5 4

3

4

6 2 3

4 2

) ( ) (2 )( ² 1) , '

( ² 1)

( ) 4

n

x x x x x

e f x x x de la forme u u donc F x x

    

 

3 3 2 3 '

) ( )

(2 5)² 2 (2 5)² 2 ²

3 1 3

( ) 2 2 5 2(2 5)

) ( ) 1 4 ( ) 4

2

1 1

) ( ) sin( ² 4) ( 2 ) sin( ² 4) ( 'sin )

2 2

( ) 1cos( ² 4) 2

4 1

) ( ) 8

5 2

f f x de la forme v

x x v

donc F x

x x

g f x donc F x x x

x

h f x x x x x de la forme u u

donc F x x

i f x

x x

    

      

 

 

   

  

       

 

  

 



 

2

8 '

5 2

( ) 8 5

) ( ) (4 6)( 3 1) 2(2 3)( ² 3 1) 2 '

( ² 3 1)

( ) 2 ( ² 3 1)²

2

n

de la forme u

u

donc F x x

j f x x x x x x x de la forme u u

x x

donc F x x x

  

 

  

 

       

 

   

(13)

2010-2011

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 

3

3 3

3

4 4

5

1 1

) ( ) sin ( ) cos

²

) ( ) (3 ² 5)( 5 2)² '

( 5 2)

( ) 3

) ( ) sin cos ² '

( ) cos

3

) ( ) (3 1) 1 3 (3 1) '

3

1 (3 1) 1

( ) (3 1

3 5 15

n

k f x x F x x

x x

l f x x x x de la forme u u

x x

donc F x

m f x x x de la forme u u donc F x x

n f x x x de la forme u u

donc F x x x

    

   

 



 

     

     )⁵

3 3

) ( ) 4 ( ) 2 ²

o f x x ² donc F x x

x x

   