Exercice 1:
1)
a) f(1)=1 , f(e)=e, f’(1)=1.
b)
x x x 0
f (x)
lim f (x) ; lim , lim f (x)
x
+→+∞ →+∞ →
= +∞ = +∞ = −∞
.c) f continue, strictement croissante sur ]0,+∞[ donc f est une bijection de ]0,+∞[
sur J=IR.
2)
3)
a) b)
1
1
( )
[ ] [ ]
e
I x ln x dx 1
u ln x u ' 1 x
v x v ' 1x²
2
e e
1 e e² 1 e² e² 1 e² 1
I xdx
2 1 2 2 2 4 4 4
1 1
e 2
J ln x dx 1
2 1
u (ln x) u ' 2 ln x x
v 1 v ' x
e e e
J 1 21(ln x)dx e 2 1 e 2
x² x²
2 ln x 2
x(ln x)² x ln x x
=
= =
= =
= − = − = − + = +
=
= =
= =
= − = − = +
∫
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
⎢ ⎥ ∫ ⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
∫
∫ −
c)
e e e e e
A 1(x f (x))dx 1(x 1 x ln x (ln x)²) dx 1(x 1)dx 1x ln x dx 1(ln x)²dx
e e² 1 e² 1 e² 1 5 e² 9
I J e e 2
2 2 4 4 2 4
1
x² x 2
= − = − − + = − − +
+ − +
= − + = − + − + + = + =
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
⎡ − ⎤
⎢ ⎥
⎣ ⎦
Exercice 2:
1)
a) f(2)=1 ln 2
2+ , f(1)=1, f’(1)=0, f’(2)=
1 ln 2 ln 2 2 1
2 0 4
+ −
− = ; x
f (x) lim x
→+∞ =0 (la branche parabolique de direction
( ) O, i
Gb) .
x 0 +∞
f’ ‐ 0 +
f
+∞ +∞
2)
a A( )α =∫1αf (x)dx=∫1α⎛⎜⎝1x+ln x dx⎞⎟⎠ =
[
ln x x ln x x+ −]
1α= α + α α − α +ln ln 1.b) A( )=2 signifie ln ln ‐ 1 2 signifie 1 ln 1 signifie ln 1 signifie e
3) a)
x x x x
1 1 ln x
lim g(x) lim f (x) x lim ln x x lim x 1
x x² x
→+∞ →+∞ →+∞ →+∞
⎛ ⎞
= − = + − = ⎜⎝ + − = −∞⎟⎠
b) g’(x)=f’(x)‐1= 1 1 1 1 x x² x² x 1 0 sur]0, [
x² x x x
− + − = − + − = − + − < +∞
g continue , strictement décroissante sur ]0,+∞ donc g est une bijection de 0, ∞ sur g 0, ∞ IR
1 1
lim g(x) lim f (x) x lim ln x lim (1 x ln x)
x x
x 0 x 0 x 0 x 0
= − = +∞ + = + = +∞
+ + + +
→ → → →
c) g(1)= f(1)‐1=0 ;
x 1 et g décroissante alors g(x) g(1) donc g(x) 0 d’où f(x)‐x 0 donc f(x) x.
d) g dérivable en 1 et g’ 1 f’ 1 ‐1 ‐1 0 ; g‐1 est dérivable en 0 et calculer
( )
1 ' 11 1
g (0) 1
g '(1) g '(g (0))
−
=
−= = −
.Exercice 3:
1) par une lecture graphique : a) déterminer f(1)=1, f’(1)0.
b)
x 0 1 +∞
f(x)‐x + 0 ‐
2)
f (x) f (0) x x² ln x
lim lim lim 1 x ln x 1
x 0 x
x 0 x 0 x 0
− −
= = − =
+ − + +
→ → →
donc f est dérivable à droite en 1 ; Td : y=f’d(0)(x‐0)+f(0)=x donc D est la tangente à (C) au point d’abscisse 1.
3)
a)
1 1 1 1
1
3
1
3 3 3 3
1
3 3
1 ²
A( ) f (x)dx (x x² ln x)dx xdx x² ln xdx J
2 2
J x² ln xdx u ln x u ' 1
x v ' x² v x
3
3 1 1 1 1
J x²dx ln ( ) ln
3 3 3 3 3 3 9 9
² 11
A( ) ln
3 9 2 18
x ln x 3
α α α α
α
α α
α = = − = − = −α −
=
= =
= =
α α α α
= − = − α − − = − α + −
α α α
α = α − − +
∫ ∫ ∫ ∫
∫
⎡ ⎤
⎢ ⎥ ∫
⎢ ⎥
⎣ ⎦
b) 0
lim A( ) 11
+ 18
α→
α = . 4)
a) on a 0<U0<1
supposons que 0<Un<1 et montrons que 0<Un+1<1
on a 0<Un<1 et f croissante alors f(0)<f(Un)<f(1) donc 0<Un+1 <1 alors 0 <Un <1 pour tout n de IN.
b) 0< Un<1 ; d’après le signe de f(x)‐x : f(Un)‐Un 0 donc f(Un) Un d’où Un+1 Un alors U est une suite croissante.
c) en déduire que U est croissante, majorée par 1 alors elle est convergente
• Un+1=f(Un)
• U converge vers L
• f continue en L alors f(L)=L donc L=1 Exercice 4:
1) a)
x e x x
x 1
lim f (x) lim f (x)
lim f (x) x 0
f (x) 2 2 0
lim f '(1) 2
x 1 1 0
→ −
→+∞
→+∞
→
= +∞
= +∞
− =
− −
= = =
− −
.
b) (oA) :y=2x
x 0 1 e +∞
f(x)‐2x + 0 + ‐
2) a)
1
I x ln x dx 1
2
u ln x u ' 1 x
v x v ' 1x²
2
1 ln1 1
1 1 2 1 ln 2 1 1 1
I xdx ( )
1 2 1 8 2 1 8 2 2 8
2 2 2
ln 2 3
I 8 16
x² x²
2 ln x 2
=
= =
= =
= − = − − = − −
= −
∫
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
⎢ ⎥ ∫ ⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
b)
1
1 1 1
1 1 1 1
2 2 2 2
J (x 1 x ln x) dx (x 1)dx x ln xdx I
3 5 ln 2 3 17 ln 2
J 2 8 8 16 16 8
x² x
= + − = + − =
2
−= − − + = −
⎡ + ⎤
∫ ∫ ∫ ⎢ ⎣ ⎥ ⎦
.3)
x 0 x 0 x 0 x 0
1 1
lim f (x) lim x 0 f (0) en effet lim 1 ln x donc lim 0
1 ln x 1 ln x
→ → → →
= + = = − = +∞ =
− −
+ + + +
donc f est continue en 0 4) a)
x 1,1
2
⎡ ⎤
∈ ⎢ ⎥⎣ ⎦ , f(x)‐2x 0 d’après la question 1)b) donc 2x f(x) 1 x 1 x ln x
f (x) x
1 ln x 1 ln x
on a x 1 donc ln x 0 donc 0 ln x donc 1 1 ln x donc 1 1 1 ln x on a f (x) 0 et 1 ln x 0 sur [ ,1]1 alors x 1 x ln x 0
2 x 1 x ln x
donc x 1 x ln x
1 ln x
= + = + −
− −
≤ ≤ ≤ − ≤ − ≤
−
> − > + − >
+ − ≤ + −
−
c)
1 1 2
1 1 2
A f (x)dx
ona 2x f (x) x 1 x ln x donc 2xdx A J
3 17 ln 2
donc A
4 16 8
=
≤ ≤ + −
≤ ≤
≤ ≤ −
