• Aucun résultat trouvé

www.zribimaths.jimdo.com Page 1 Exponentielles Mr Zribi

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

Partager "www.zribimaths.jimdo.com Page 1 Exponentielles Mr Zribi"

Copied!
5
0
0

Texte intégral

(1)

 

Exercice 1 :

on se propose de déterminer une fonction f dérivable sur IR vérifiant : f(0)=log2 et (pour tout xIR, f ‘(x)-2f(x)=

1 e 2

x

2

− + )(E).

1/a/ soit g la fonction définie sur IR par f(x)=e2xg(x) calculer g(0) ; déterminer f ‘(x) en fonction de g(x) et g’(x).

b/ déduire que f vérifie (E) si et seulement si g’(x)=

1 e 2 e

x 2

x 2

+

; xIR

2/a/ donner une primitive sur IR de x

1 e

2 e

x 2

x 2

+

b/ déduire l’expression de g puis celle de f.

Exercice 2 :

soit f la fonction définie sur IR par : f(x)=e2xlog(1+e-2x).

1/ on pose h(x)= log(1+e-2x)- e 1

1

x 2+ . a/ calculer

lim h ( x ) et lim h ( x )

x

x+∞ −∞

b/ dresser le tableau de variation de h et en déduire le signe de h pour xIR.

2/ a/ vérifier que f’(x)=2e2xh(x).

b/ calculer

lim f ( x )

x+∞

c/ calculer

lim f ( x )

x ( on montrera d’abord que f(x)=-2xe2x+e2xlog(1+e2x).

d/ dresser le tableau de variations de f 3/a/ vérifier que pour tout x 0 ; f(x)-x >0 b/ montrer que pour tout x 0 ; f’(x)=1+2f(x)-

1 e e 1 3

x 2 x 2

++ .

en utilisant le tableau de variations de f montrer que pour tout x 0 ; f ‘(x) < 1.

c/ en déduire que l’équation f(x)=x admet dans IR une solution unique α∈]0,92 ;0,93[.

(2)

2010‐2011 

d/ en déduire la position relative de ζf et de la droite d’équation : y=x.

4/ tracer la courbe ζf de f , préciser la tangente au point d’abscisse 0.

Exercice 3 :

soit la fonction f définie sur IR par :

e e

e ) e x (

f

x x

x x

+−

= .

1/ étudier les variations de f et tracer sa courbe ζ dans un repère orthonormé.

2/a/ montrer que f réalise une bijection de IR sur un intervalle J que l’on précisera.

b/ soit g=f –1, construire ζg.

c/ montrer que pour tout x]-1,1[ ; g(x)=

) x 1

x log( 1 2

1

−+

3/ soit h la fonction définie par h(x)=x+

) x 1

x log( 1 2 1

²) x 1 ( 3

x

3

+−

− + .

a/ calculer

lim ( 1 x ) g ( x ) et lim ( 1 x ) h ( x )

1 x 1

x

b/étudier les variations de h, en déduire que pour tout x]0,1[ ;

) x 1

x log( 1 2

1

−+ < x+

²) x 1 ( 3

x

3

4/ soit k(x)=g(x)-x-

3 x3

a/ résoudre dans IR l’inéquation 1+x² <

² x 1

1

.

b/ dresser le tableau de variations de k ; en déduire que pour tout x]0,1[ on a : x+ 3

x3 <

)

x 1

x log( 1 2

1

−+

Exercice 4 :

on considère la suite U définie sur IN* par : Un=n ! ) n (e n

n 2

1 .

1/ en posant t=

1 n 2

1

+ , montrer que l’on a :

)

t 1

t log( 1 t 2 1 1 U log U

1 n

n =− + −+

+

2/a/ vérifier que 3(2n+1)² < 12(n+1) (n+2).

(3)

 

b/ déduire que pour tout nIN* :

) 1 n ( n 12

1 U

log U ) 2 n )(

1 n ( 12

1

1 n

n +

+

+ ≺ +

3/ on pose xn=log(Un)-

n 12

1

et y

n=log(Un)-

) 1 n ( 12

1+

a/ établir que pour tout n >0 ; xn <xn+1 < yn+1 < yn. b/ montrer que

lim ( x

n

y

n

) 0

n − =

+∞

c/ déduire que les suite (xn) et (yn) convergent vers la même limite Exercice 5 :

soit nIN* ; on considère la fonction fn définie par : fn(x)= xenx1 si x>0 et fn(0)=0.

1/a/ montrer que fn est continue et dérivable sur IR+.

b/ calculer f’n(x), en déduire que fn est strictement croissante sur IR+. 2/a/ calculer

f n ( x )

x+∞

b/ étudier les variations de la fonction g :u

e

u

1

+

u

sur IR+

et de la fonction h : t

2

² t t

e

t

1

+ − , t 0 .

c/ en déduire que pour tout x> 0 ; 0

x

² n 2 ) 1 n x 1 ( ) x (

f

n − − ≤ .

d/ montrer alors que la droite Dn :y=x-

n

1

est asymptote à la courbe ζn de fn.

Préciser la position relative de ζn et Dn. 3/a/ donner le tableau de variations de fn.

b/ tracer la courbe ζ1 et son asymptote en précisant la tangente en 0.

c/ montrer que pour tout nIN, ζn=h(O,

n 1

)(ζ1)

b/ construire ζ2 sur le même graphique que ζ1.

∈ ≤

(4)

2010‐2011 

5/a/ montrer que pour tout nIN*, l’équation xenx=1 a une seul solution αn dans ]0,+[.

b/ démontrer que αn est solution de l’équation xlogx=

n 1

6/a/ étudier les variation de h :x xlogx sur [1,+[.

b/ prouver que α1]1,76,1,77[

c/ montrer que αn est décroissante en déduire qu’elle converge vers α≥1. démontrer que h(α)=0 en déduire α.

Exercice 6 :

I/ soit g l’application de ]0,+[ dans IR définie par : g(x)=x+1‐logx. 

1/ étudier les variations de g, en déduire que pour tout x >0 ; g(x) >0. 

2/ soit h la fonction définie sur ]0,+[ par : h(x)=

) log x x 1 1

(

+

  a/ étudier les variations de h. 

  b/ tracer la courbe de h dans un repère orthonormé. 

II/ soit f la fonction définie sur [0,+[ par : f(x)= eh(x) si x  0  et f(0)=0. 

1/ étudier la dérivabilité et la continuité de f sur [0,+[. 

2/.  a/ déterminer 

x ) x ( lim f

x+∞

    b/ démontrer que pour tout x IR+\ {1} ; 

x x log 1 e 1 x log

x ) x (

f

xlogx

1

− =

    c/ en déduire 

x log

x ) x ( lim f

x

+∞

    d/ la fonction : x f(x)‐x  admet elle une limite en + 3/a/ étudier les variations de f. 

   b/ montrer que f réalise une bijection de [0,+[ sur lui même. 

4/ a/ indiquer la tangente en O ; et donner l’équation de la tangente à ζf en A d’abscisse 1. 

(5)

 

   b/ tracer ζf

5/ a/ montrer que l’équation f(x)=

n

1

 ; n>1 admet une unique xn solution et que xn]0,1[. 

    b/ étudier la monotonie de la suite (xn). 

    c/ en déduire que la suite (xn) est convergente et calculer sa limite. 

   

Références