Exercice 1 :
on se propose de déterminer une fonction f dérivable sur IR vérifiant : f(0)=log2 et (pour tout x∈IR, f ‘(x)-2f(x)=
1 e 2
x
−2
− + )(E).
1/a/ soit g la fonction définie sur IR par f(x)=e2xg(x) calculer g(0) ; déterminer f ‘(x) en fonction de g(x) et g’(x).
b/ déduire que f vérifie (E) si et seulement si g’(x)=
1 e 2 e
x 2
x 2
−
−
+
− ; x∈IR
2/a/ donner une primitive sur IR de x→
1 e
2 e
x 2
x 2
−
−
+
−
b/ déduire l’expression de g puis celle de f.
Exercice 2 :
soit f la fonction définie sur IR par : f(x)=e2xlog(1+e-2x).
1/ on pose h(x)= log(1+e-2x)- e 1
1
x 2+ . a/ calculer
lim h ( x ) et lim h ( x )
x
x→+∞ →−∞
b/ dresser le tableau de variation de h et en déduire le signe de h pour x∈IR.
2/ a/ vérifier que f’(x)=2e2xh(x).
b/ calculer
lim f ( x )
x→+∞
c/ calculer
lim f ( x )
x→−∞ ( on montrera d’abord que f(x)=-2xe2x+e2xlog(1+e2x).
d/ dresser le tableau de variations de f 3/a/ vérifier que pour tout x ≤ 0 ; f(x)-x >0 b/ montrer que pour tout x ≥0 ; f’(x)=1+2f(x)-
1 e e 1 3
x 2 x 2
++ .
en utilisant le tableau de variations de f montrer que pour tout x ≥0 ; f ‘(x) < 1.
c/ en déduire que l’équation f(x)=x admet dans IR une solution unique α∈]0,92 ;0,93[.
2010‐2011
d/ en déduire la position relative de ζf et de la droite ∆ d’équation : y=x.
4/ tracer la courbe ζf de f , préciser la tangente au point d’abscisse 0.
Exercice 3 :
soit la fonction f définie sur IR par :
e e
e ) e x (
f
x xx x
−
−
+−
= .
1/ étudier les variations de f et tracer sa courbe ζ dans un repère orthonormé.
2/a/ montrer que f réalise une bijection de IR sur un intervalle J que l’on précisera.
b/ soit g=f –1, construire ζg.
c/ montrer que pour tout x∈]-1,1[ ; g(x)=
) x 1
x log( 1 2
1
−+3/ soit h la fonction définie par h(x)=x+
) x 1
x log( 1 2 1
²) x 1 ( 3
x
3+−
− + .
a/ calculer
lim ( 1 x ) g ( x ) et lim ( 1 x ) h ( x )
1 x 1
x
−
− →
→
b/étudier les variations de h, en déduire que pour tout x∈]0,1[ ;
) x 1
x log( 1 2
1
−+ < x+²) x 1 ( 3
x
3− 4/ soit k(x)=g(x)-x-
3 x3
a/ résoudre dans IR l’inéquation 1+x² <
² x 1
−
1
.b/ dresser le tableau de variations de k ; en déduire que pour tout x∈]0,1[ on a : x+ 3
x3 <
)
x 1
x log( 1 2
1
−+Exercice 4 :
on considère la suite U définie sur IN* par : Un=n ! ) n (e n
n 2
−1 .
1/ en posant t=
1 n 2
1
+ , montrer que l’on a :)
t 1
t log( 1 t 2 1 1 U log U
1 n
n =− + −+
+
2/a/ vérifier que 3(2n+1)² < 12(n+1) (n+2).
b/ déduire que pour tout n∈IN* :
) 1 n ( n 12
1 U
log U ) 2 n )(
1 n ( 12
1
1 n
n +
+
+ ≺ + ≺
3/ on pose xn=log(Un)-
n 12
1
et yn=log(Un)-
) 1 n ( 12
1+
a/ établir que pour tout n >0 ; xn <xn+1 < yn+1 < yn. b/ montrer que
lim ( x
ny
n) 0
n − =
+∞
→
c/ déduire que les suite (xn) et (yn) convergent vers la même limite Exercice 5 :
soit n∈IN* ; on considère la fonction fn définie par : fn(x)= xe−nx1 si x>0 et fn(0)=0.
1/a/ montrer que fn est continue et dérivable sur IR+.
b/ calculer f’n(x), en déduire que fn est strictement croissante sur IR+. 2/a/ calculer
f n ( x )
x→+∞
b/ étudier les variations de la fonction g :u
e
−u−1
+u
sur IR+et de la fonction h : t
2
² t t
e
−t−1
+ − , t≥ 0 .c/ en déduire que pour tout x> 0 ; 0≤
x
² n 2 ) 1 n x 1 ( ) x (
f
n − − ≤ .d/ montrer alors que la droite Dn :y=x-
n
1
est asymptote à la courbe ζn de fn.Préciser la position relative de ζn et Dn. 3/a/ donner le tableau de variations de fn.
b/ tracer la courbe ζ1 et son asymptote en précisant la tangente en 0.
c/ montrer que pour tout n∈IN, ζn=h(O,
n 1
)(ζ1)b/ construire ζ2 sur le même graphique que ζ1.
∈ ≤
2010‐2011
5/a/ montrer que pour tout n∈IN*, l’équation xe−nx=1 a une seul solution αn dans ]0,+∞[.
b/ démontrer que αn est solution de l’équation xlogx=
n 1
6/a/ étudier les variation de h :x→ xlogx sur [1,+∞[.
b/ prouver que α1∈]1,76,1,77[
c/ montrer que αn est décroissante en déduire qu’elle converge vers α≥1. démontrer que h(α)=0 en déduire α.
Exercice 6 :
I/ soit g l’application de ]0,+∞[ dans IR définie par : g(x)=x+1‐logx.
1/ étudier les variations de g, en déduire que pour tout x >0 ; g(x) >0.
2/ soit h la fonction définie sur ]0,+∞[ par : h(x)=
) log x x 1 1
(
+ .a/ étudier les variations de h.
b/ tracer la courbe de h dans un repère orthonormé.
II/ soit f la fonction définie sur [0,+∞[ par : f(x)= eh(x) si x ≠ 0 et f(0)=0.
1/ étudier la dérivabilité et la continuité de f sur [0,+∞[.
2/. a/ déterminer
x ) x ( lim f
x→+∞ .
b/ démontrer que pour tout x∈ IR+\ {1} ;
x x log 1 e 1 x log
x ) x (
f
xlogx1 −
− =
.
c/ en déduire
x log
x ) x ( lim f
x
−
+∞
→ .
d/ la fonction : x→ f(x)‐x admet elle une limite en +∞. 3/a/ étudier les variations de f.
b/ montrer que f réalise une bijection de [0,+∞[ sur lui même.
4/ a/ indiquer la tangente en O ; et donner l’équation de la tangente à ζf en A d’abscisse 1.
b/ tracer ζf.
5/ a/ montrer que l’équation f(x)=
n
1
; n>1 admet une unique xn solution et que xn∈]0,1[.b/ étudier la monotonie de la suite (xn).
c/ en déduire que la suite (xn) est convergente et calculer sa limite.