La base de Slepian

La base de Slepian

A.-M. Nicu travail commun avec:

A. Bonami, A. Karoui, J. Leblond

INRIA-Sophia Antipolis et Facult´ e des Sciences de Bizerte

23 mars 2011

1 Probl` emes inverses

2 Repr´ esentation des donn´ ees

La base des harmoniques sph´ eriques La base de Slepian

3 Construction de la base de Slepian Quadrature de Gauss Legendre

4 Simulations num´ eriques

5 EEG

Probl` emes inverses - Contexte g´ en´ eral

Potentiel gravitationnel

La loi universelle de la gravitation (Isaac Newton) : V (y) = G

Z

B

ρ(x)

|x − y| dx

o` u V peut ˆ etre donn´ e ` a la surface de la terre, ∇V , Hess V sur differentes orbites satellitaires, G est la const.

gravitationnelle, ρ ∈ L ² ( B ) la densit´ e de la terre.

∆V =







−4πρ(x)

| {z }

f

si x ∈ B (Poisson equation);

0 si x ∈ R ³ \ B (Laplace equation).

Potentiel ´ electrique

U (X) = h(X) +

m

X

k=1

< p _k , X − C _k >

kX − C _k k ³

o` u h est harmonique, X ∈ S , C _k , p _k les positions des sources, resp. des moments des sources, m le nombre des sources.



 

 

 

 

−∆U =

m

X

k=1

p _k · ∇δ _C

| {z }

f

sur B

∂U

∂n | _S = φ, U | _S = g

φ, g sont les conditions sur le bord, n-la normale ` a S .

Etude du probl` ´ eme Repr´ esentation des donn´ ees

P ot(σ k ) 7→ c nm ? avec P ot(σ) = X

n,m

c nm B nm (σ)

1

si σ _k ∈ S alors B _nm (σ) = Y _nm (σ) avec Y _nm la base des harmoniques sph´ eriques

2

si σ k ∈ Ω ⊂ S , B nm (σ) = S nm (σ) avec S nm la base de

Slepian

Pot. gravitationnel en harmoniques sph´ eriques : V (r, θ, φ) = GM

r

∞

X

n=0 n

X

m=−n

c _nm ( a

r ) ⁿ Y _nm (θ, φ) Pot. ´ electrique en harmoniques sph´ eriques :

U (r, θ, φ) = h +

∞

X

n=0 n

X

m=−n

r ⁻⁽ⁿ⁺¹⁾ c _nm Y _nm (θ, φ)

avec h harmonique

Base de Slepian Propri´ et´ es :

orthogonale sur la r´ egion ´ etudi´ ee Ω ⊂ S orthonormale sur la sph` ere S

la r´ egion etudi´ ee peut ˆ etre un continent, une calote

sph´ erique, etc.

Construction de la base

∀f ∈ L ² ( S ) , f(θ, φ) =

L

X

n=0 n

X

m=−n

f _nm Y _nm (θ, φ) trouver f t.q. µ =

R

Ω f ² dσ R

S f ² dσ soit maximal on r´ esout le probl` eme Df = µf e.q

L

X

n

=0 m

X

n

=−m

D _nm,n

_m

f _n

_m

= µf _nm (1)

o` u D _nm,n

_m

=

L

X

n=0 n

X

m=−n

Y _nm (u)Y _nm (u ⁰ ) et D matrice de

dim. (L + 1) ² × (L + 1) ² .

on multiplie (1) par Y _nm (θ, φ) et on obtient : K(f )(θ, φ) =

Z

Ω

D((θ, φ), (θ ⁰ , φ ⁰ ))f(θ ⁰ , φ ⁰ )dσ = µf (θ ⁰ , φ ⁰ ) avec D((θ, φ), (θ ⁰ , φ ⁰ )) = P L

n=0

P n

m=−n Y _nm (u)Y _nm (u ⁰ ) L’op´ erateur K commute avec l’op´ erateur de

Sturm-Liouville S d´ efinie sur une calotte sph´ erique C : 0 ≤ θ ≤ arccos(b), 0 ≤ φ ≤ 2π : S = d

dx [(1 − x ² )(b − x) d

dx ] − L(L + 2)x − m ² (b − x)

1 − x ² (2)

et donc ils ont les mˆ eme fonctions propres (les fonctions de

Slepian).

Gauss-Legendre m´ ethode Sur [a, b] :

Z b a

f(x)dx '

N

X

i=1

w _i f (x _i )

avec x _i les racines du polynˆ ome de Legendre P _N (x) et w _i les poids donn´ ees par :

w _i = − a N+1

a _N

1

P _{N +1} (x _i )P _N

(x _i ) Sur S :

Z

S

f (x)dw(x) '

D

X

d=1

w _d f (θ _d , φ _d )

(θ _d , φ _d ) ∈ {θ _j , j = 0, . . . , S } × {φ _k , k = 0, . . . , 2S + 1}-

ensemble des noeuds avec φ _k = _S+1 ^kπ , φ _k ∈ [0, 2π], S ∈ N

θ _j et φ _k -co-latitudinal et longitudinal noeuds.

W _S = {w _d = w _j,k , j = 0, . . . , S, k = 0, . . . , 2S + 1}

avec w _j,k = _2S+1 ^2π w _j

Z

0

Z

0

f (θ, φ) sin θdθdφ = Z

0

Z

−1

f (arccos x, φ)dxdφ

'

2S+1

X

k=0 S

X

j=0

2πw

2S + 2 f (arccos x

, φ

)

o` u x _j sont les zeros de P _S+1 (x).

-on applique la m´ ethode de quadrature de Gauss-Legendre : KF _n (u) =

Z

C L

X

n=0 n

X

m=−n

Y _nm (u)Y _nm (u ⁰ )

F _n (u ⁰ )du ⁰ (3) avec le noyau :

K(m, x, x ⁰ ) =

L

X

n=|m|

2n + 1 2π

(n − |m|)!

(n + |m|)! P _n ^m (x)P _n ^m (x ⁰ ) (4)

Les fonctions de Slepian sont les fonctions propres de K qui

ont une d´ ependance angulaire de la forme e ^imφ . On note

avec H _m l’espace de ces fonctions.

Sur H _m

, si on prend g(u) = f (cosθ)e ^im

^φ = f(x)e ^im

^φ et on applique l’op´ erateur K on obtient :

(Kf)(u) = Z

C

X ^L

n=0 n

X

m=−n

Y _nm (u)Y _nm (u ⁰ )

f (x ⁰ )e ^im

^φ

dx ⁰ dφ ⁰

= Z 2π

0

Z 1

b

X ^L

n=0 n

X

m=−n

Y nm (x, φ)Y nm (x ⁰ , φ ⁰ )

f(x ⁰ )e ^im

^φ

dx ⁰ dφ ⁰

Z

0

Z

b

X

n=0 n

X

m=−n

2n + 1 4π

(n − m)!

(n + m)! P

(x)e

P

(x

)e

f (x

)e

dx

dφ

= Z

b L

X

n=0 n

X

m=−n

2n + 1 4π

(n − m)!

(n + m)! P

(x)P

(x

)f (x

) e

Z

0

e

dφ

dx

= e

Z

b L

X

l=|m⁰|

2n + 1 2π

(n − |m|)!

(n + |m|)! P

(x)P

(x

)f (x

)dx

Z 1

b L

X

l=|m|

2n + 1 2π

(n − |m|)!

(n + |m|)! P _n ^m (x)P _n ^m (x ⁰ )f (x ⁰ )dx ⁰ = µ n (m)f n (x), x ∈ [b, 1].

Le rang de K is L − |m| + 1 et donc il admet L − |m| + 1 valeurs

et fonctions propres (concentr´ ees dans C, les autres sont zeros).

Theorem

Soit n ≥ 0, 0 < < 1 ∃ N (, |µ _n (m)|) ∈ N t.q

∀N ≥ N (, |µ _n (m)|) on a : sup

b≤x≤1

|f _n (x) − 1 µ _n (m)

N

X

j=1

w _j K(m, x, y _j )f _n (y _j )| ≤ (5)

y _j et w _j sont les noeuds resp. les poids.

Etapes de la preuve :

Lemma

|P _n ^m (cosθ)| ≤ C _n · (2n) ^m

Lemma

Pour k > 0 et pour 0 ≤ m ≤ n il existe une constante constante c _k t.q :

sup

x∈[b,1]

d ^k P _n ^m (cos x) dx ^k

≤ c _k n ^m+2k

Lemma

sup

x∈[b,1]

∂ ^k K(m, x, x ⁰ )

∂x ^k ≤ C _L

L

X

n=m

2n + 1

2π n ^2k

Simulations num´ eriques

Figure: Fonctions propres pour L=3

Figure : Fonctions propres pour L=3

Figure : L=10

Figure : Slepian function

Formule de quadrature Gauss-Legendre pour EEG r´ esolution du pb. inverse de l’EEG calcule des coeff. des harm. sph.

1` ere m´ ethode : pseudo-inverse Moore-Penrose f _nm = U · pinv(A)

o` u A est la matrice associ´ ee aux harm. sph., U le potentiel

´ electrique nb. de conditionnement tr` es ´ el` eve probl` eme mal condionn´ e

2` eme m´ ethode : Gauss-Legendre pb. bien conditionn´ e

Perspectives

K commute avec l’op´ erateur Sturm-Liouville (2) et donc ils ont les mˆ eme fonctions propres.

On r´ esout SF _n = µ _n F _n pour m = 0

m > 0

En utilisant les polynˆ omes de Legendre shift´ es : S _n (x) = P _n x − b ₁

b ₂

avec b ₁ = (1 + b)/2, b ₂ = (1 − b)/2 on se ram` ene ` a un

probl` eme aux valeurs propres g´ en´ eralis´ e de matrices de la

forme Ax = µBx.

Merci !