IV Onde sph´ erique

(1)

TDC Ondes sonores dans les fluides

I Tuyaux sonores

1. v_i “ _µ^p₀⁰_cexppipωt´kxqq car Z “ µ0c dans le cas d’une onde progressive se propageant vers les x croissants.

2.1 vpL, tq “0.

2.2 Le champ des vitesses dans le tuyau vautvpx, tq “vipx, tq `vrpx, tq. D’apr`es la condition enx“L, on avpL, tq “v_ipL, tq `v_rpL, tq “0, soit v_ipL, tq “ ´v_rpL, tqet donc r_v “ ´1. On a doncr_p “ ´r_v“1.

2.3 L’onde réfléchie se propage vers lesx décroissants, donc p_r“p_r0exppipωt`kxqq En x“L, on a, puisque rp “1

p_r0exppipωt`kLqq “p0exppipωt´kLqq ce qui donne

p_r0 “p0expp´2ikLq soit

p_r“p0expp´2ikLqexppipωt`kxqq “p0exppipωt`kpx´2Lqqq Les ondes se propageant dans le sens des x d´ecroissants,Z “ ´µ₀c, et donc

v_r“ ´ p₀

µ₀cexpp´2ikLqexppipωt`kxqq “ ´ p₀

µ₀cexppipωt`kpx´2Lqqq On peut ´evidemment aussi refaire le calcul avecrv.

2.4

ppx, tq “<pp_iq `<pp_rq donc

ppx, tq “p0cospωt´kxq `p0cospωt`kpx´2Lqq “2p0cospkpx´Lqqcospωt´kLq avec cospaq `cospbq “2 cosp^a`b₂ qcosp^a´b₂ q.

De la mˆeme mani`ere, on trouve vpx, tq “ p0

µ₀ccospωt´kxq ´ p0

µ₀ccospωt`kpx´2Lqq “ 2p0

µ₀csinpkpx´Lqqsinpωt´kLq avec cospaq ćospbq “ ´2 sinpâ`b₂ qsinpâ´b₂ q.

(2)

Remarques

– pet v sont des ondes stationnaires,

– pet v sont en quadrature (ou en opposition de phase),

– l’extrémité fermée est un noeud de vitesse et un ventre de surpression.

3.1 p₁pL, tq “ 0. La surpression dans le tuyau vaut ppx, tq “ p_ipx, tq `p_rpx, tq. D’apr`es la condition en x “ L, on a ppL, tq “ p_ipx, tq `p_rpx, tq “ 0, soit p_ipx, tq “ ´p_rpx, tq et donc r_p “ ´1. On a donc rv “ ´rp“1.

3.2 L’onde réfléchie se propage vers lesx décroissants, donc p_r“p_r0exppipωt`kxqq En x“L, on a, puisque rp “ ´1

p_r0exppipωt`kLqq “ ´p₀exppipωt´kLqq ce qui donne

p_r0“ ´p₀expp´2ikLq soit

p_r“ ´p0expp´2ikLqexppipωt`kxqq “ ´p0exppipωt`kpx´2Lqqq Les ondes se propageant dans le sens des x d´ecroissants,Z “ ´µ0c, et donc

v_r“ p0

µ₀cexpp´2ikLqexppipωt`kxqq “ p0

µ₀cexppipωt`kpx´2Lqqq On peut ´evidemment aussi refaire le calcul avecrv.

3.3

ppx, tq “<pp_iq `<pp_rq donc

ppx, tq “p0cospωt´kxq ´p0cospωt`kpx´2Lqq “2p0sinpkpx´Lqqsinpωt´kLq avec cospaq ćospbq “ ´2 sinpâ`b₂ qsinpâ´b₂ q.

De la mˆeme mani`ere, on trouve vpx, tq “ p0

µ0ccospωt´kxq ` p0

µ0ccospωt`kpx´2Lqq “ 2p0

µ0ccospkpx´Lqqcospωt´kLq avec cospaq `cospbq “2 cosp^a`b₂ qcosp^a´b₂ q.

Remarques

– pet v sont des ondes stationnaires,

– pet v sont en quadrature (ou en opposition de phase),

– l’extr´emit´e ouverte est un ventre de vitesse et un noeud de surpression.

(3)

4. Pour le tuyau ouvert aux deux extr´emit´es, le champ de surpression est : ppx, tq “2p₀sinpkpx´Lqqsinpωt´kLq avec pour condition initialepp0, tq “0, ce qui implique

pp0, tq “2p0sinpkp´Lqqsinpωt´kLq “0 soit

sinp´kLq “0 ñ kL“nπ ñ k_n“ nπ L On en d´eduit les longueurs d’ondes et les fr´equences des modes propres

λ_n“ 2π kn

“ 2L

n etf_n“ c λn

“n c 2L

n“1 n“2

Pour le tuyau fermé aux deux extrémités, le champ de vitesse est : vpx, tq “ 2p₀

µ0csinpkpx´Lqqsinpωt´kLq avec pour condition initialevp0, tq “0, ce qui implique

vp0, tq “2p0sinpkp´Lqqsinpωt´kLq “0 soit

sinp´kLq “0 ñ kL“nπ ñ k_n“ nπ L On en d´eduit les longueurs d’ondes et les fr´equences des modes propres

λ_n“ 2π kn

“ 2L

n etf_n“ c λn

“n c 2L

n“1 n“2

Pour le tuyau ferm´e en x“Let ouvert en x“0, le champ de surpression est : ppx, tq “2p₀cospkpx´Lqqcospωt´kLq

avec pour condition initialepp0, tq “0, ce qui implique

pp0, tq “2p0cospkp´Lqqcospωt´kLq “0 soit

cospkLq “0 ñ kL“ p2n`1qπ

2 ñ kn“ p2n`1qπ 2L On en d´eduit les longueurs d’ondes et les fr´equences des modes propres

λ_n“ 2π

k_n “ 4L

2n`1 etf_n“ c

λ_n “ p2n`1q c 4L

(4)

n“0 n“1

II Isolation acoustique

1. Voir cours. On appellera dans la suite la surpressionp et ρ₁ l’´ecart `a la valeur au repos de la masse volumique ρ“ρ₀`ρ₁.

2. On a `a notre disposition 3 ´equations : ρ

”B~v

Bt ` p~v¨ÝÝÑ gradq~v

ı

“ ´ÝÝÑ gradP

Bρ

Bt `divpρ~vq “ 0

Bρ1

Bt “ ρ₀χ_S^Bp_Bt¹

On peut lin´eariser ces ´equations en ne gardant que les termes d’ordre 1, ce qui donne ρ₀^B~_Bt^v “ ´ÝÝÑ

gradp

Bρ

Bt `divpρ0~vq “ 0

Bρ1

Bt “ ρ0χSBp1

Bt

On peut alors réduire le nombre d’équations à 2, appelées équations de couplage, en éliminant ρ des

´

equations :

ρ₀^B~_Bt^v “ ´ÝÝÑ gradp χSBp

Bt `div~v “ 0

qui ne font plus intervenir quep et~v.

3. Si l’onde est plane progressive harmonique, alors

p “ p₀exppipωt´kxqq

~

v “ ~v₀exppipωt´kxqq La deuxi`eme ´equation de couplage donne alors

ρ0iω~v“ikp~ex

ce qui se simplifie en

v“ k ρ₀ωp Vitesse et pression sont donc proportionnelles.

On peut coupler les ´equations de couplages pour obtenir l’´equation de propagation

∆p´ 1 c²_s

B²p Bt² “0

dont les ondes harmoniques ne sont solutions que sik“ω{c_s. On a alors v“ 1

ρ0cs

p“ 1 Za

p

(5)

4. Sur la face gauche de la vitre, la pression est due à la somme de l’onde incidente et de l’onde réfléchie.

On peut donc ´ecrire

pp0, tq “p_ip0, tq `p_rp0, tq

Or p_i“Zav_i et p_r“ ´Zav_r (onde se propageant vers lesx négatifs), donc pp0, tq “Z_apAexppiωtq ´Bexppiωtqq Sur la face droite, elle est due à l’onde transmise. On peut donc écrire

ppe, tq “p_tpe, tq Or p_t“Zav_t donc

ppe, tq “Z_aCexppiωtq 5. On applique le principe fondamental de la dynamique `a la vitre

ρVSedv

dt “Sppp0, tq ´ppe, tqq “ZapA´B´CqexppiωtqS ce qui donne

ρVeiωv“ZapA´B´Cqexppiωtq

En x “0 etx “e, la vitesse du fluide sur l’axe Ox dans le référentiel lié à la vitre doit s’annuler, donc dans le référentiel terrestre

"

v_ip0, tq `v_rp0, tq “ pA`Bqexppiωtq “ v v_tpe, tq “Cexppiωtq “ v On en déduit C“A`B, doncB “CÁ ce qui permet d’écrire

ρ_Veiωv “ Z_apAĆÀĆqexppiωtq ρVeiωCexppiωtq “ 2ZapAĆqexppiωtq

ρVeiωC “ 2ZapA´Cq Cpρ_Veiω`2Z_aq “ 2Z_aA On obtient finalement

C

A “ 2ρ₀c_s ρVeiω`2ρ0cs

“ 1

1`i^ρ_2ρ^V^eω

0cs

“t

6. le coefficient de transmission en puissance est le rapport entre l’intensit´e transmise I_t “ p_tv_t “ 1{2<pp

tv_tq et l’intensit´e incidente Ii “ 1{2<pp

iv_iq. Or, compte tenu de p “ Zav, on a It “ Za|v|²_t et I_i “Z_a|v|²

i. On a donc

T “ It

Ii “ Za|v|²

t

Za|v|²

i

“

|v|²

t

|v|²

i

“ |t|²

donc

T “ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ

1 1`i^ρ_2ρ^V^eω

0cs

ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ

2

“ 1

1`

´ρVeω 2ρ0cs

¯2

(6)

7. QuandωÑ0, le coefficient de transmission tend vers 1. Quandω Ñ 8,T tend vers 0. On a donc un comportement de filtre passe bas. Ce comportement explique pourquoi les sons graves sont plus facilement audibles `a travers les murs.

Num´eriquement,T “

III Pavillon de section variable

1. Entre x etx`dx, la masse de fluide estρSdx “ pρ₀`ρ₁px, tqqSpxqdx. La variation de cette masse au cours du temps est alors

B

Btpρ0`ρ1px, tqqSpxqdx“ Bρ1

Bt px, tqSpxqdx

Cette variation est due `a la diff´erence de masse rentrant et sortant de Sdxqui s’exprime en fonction de la vitesse :

´δm “ ρpx`dx, tqvpx`dx, tqSpx`dxq ´ρpx, tqvpx, tqSpxq

“ pρ₀`ρ₁px`dx, tqqv₁px`dx, tqSpx`dxq ´ pρ₀`ρ₁px, tqqv₁px, tqSpxq

“ ρ₀v₁px`dx, tqSpx`dxq ´ρ₀v₁px, tqSpxq

“ ρ₀

ˆBpv₁px, tqSpxqq

Bx dx

˙

On a donc

Bρ₁

Bt px, tqSpxq `ρ₀

ˆBpv₁px, tqSpxqq Bx

˙

“0 2. L’´equation d’Euler

ρ

„B~v

Bt ` p~v¨ÝÝÑ gradq~v



“ ´ÝÝÑ gradP ce qui se lin´earise en

ρ0

Bv~1

Bt `ÝÝÑ gradp1“0 3.

χ_S “ 1 ρ

Bρ Bp ˇ ˇ ˇ ˇS

Pour une transformation isentropique, on a donc dρ “ ρχSdp. Dans le cas de la description eulerienne d’une particule fluide, on a alors

Dρ

Dt “ρχ_SDp Dt

Comme pour l’équation d’Euler, les dérivées convectives sont négligeables, donc en faisant disparaitre les termes d’ordre supérieur à 1

Bρ₁

Bt “ρ₀χ_SBp₁ Bt

(7)

4. Spxq “S₀exp

´x a

¯ donc

Bρ1

Bt S0exp

´x a

¯

`ρ0S0

ˆBpv1exp`_x

a

˘q Bx

˙

“0 ce qui donne

Bρ1

BtSpxq `ρ₀`

Spxq^Bv_Bx¹ `v₁^x_aSpxq˘

“ 0

Bρ1

Bt `ρ0

`_Bv

1

Bx `v11 a

˘ “ 0

ρ0χSBp1

Bt `ρ0

`_Bv

1

Bx `v11 a

˘ “ 0

On dérive cette dernière équation par rapport à t ρ₀χ_SB²p₁

Bt² `ρ₀ ˆB

Bt Bv₁

Bx `1 a

Bv₁ Bt

˙

“0 Or d’après l’équation d’Euler à une dimension

Bv₁

Bt “ ´ 1 ρ0

Bp₁ Bx donc

ρ0χS

B²p1

Bt² `ρ0

ˆ

´1 ρ0

B²p1

Bx² ´1 a

1 ρ0

Bp1

Bx

˙

“0 soit en simplifiant

ρ0χSB²p1

Bt² ´B²p1

Bx² ´ 1 a

Bp1

Bx “0 5. Si l’onde est plane harmoniquep₁ “p₀₁exppipωt´kxqq, donc

B²p₁

Bt² “ ´ω²p₁ , B²p₁

Bx² “ ´k²p₁ et Bp₁

Bx “ ´ikp₁ On a donc

´ρ0χSω²p₁`k²p₁`¹_aikp₁ “ 0

´ρ₀χ_Sω²`k²`ik

a “ 0

ce qui donne

k²`ik

a “ρ0χSω² kest alors `a priori complexe, donc k“k¹´ik”, ce qui donne

pk¹ík”q²` îpk¹^ík”q_a “ ρ₀χ_Sω² k¹²´k”²´2ik¹k”`îk_a¹ `^k”_a “ ρ₀χ_Sω² En identifiant les parties réelles et imaginaires de chaque membre, on a

"

´2k¹k”`^k_a¹ “ 0 k¹²´k”²`^k”_a “ ρ0χ_Sω²

Si k¹ ‰0, alors k” “1{2aet k¹² “ ρ0χSω² ´_4a¹2 ce qui n’est possible que si ω ą c{2a avec c² “ ρ0χS. Si ¸ca n’est pas le cas, alors k¹ est en fait complexe, et kest alors imaginaire pur, ce qui donne une onde

´

evanescente (d´ecroissance exponentielle).

Sik¹“0, alors´k”²`^k”_a “ρ0χSω² poss`ede deux solutions r´eelles et positives pourk”, ce qui donne lieu

`

a nouveau `a une onde ´evanescente.

(8)

IV Onde sph´ erique

1. Voir cours d´emonstration ´equation de d’Alembert

∆p₁´ρ₀χ_SB²p₁ Bt² “0 2. On donne l’expression du Laplacien en coordonn´ees sph´eriques :

∆f “ 1 r

B²f Br² ce qui donne pour l’´equation de d’Alembert :

1 r

B²rp1

Br² ´ρ0χSB²p1

Bt² “0 soit

B²rp₁

Br² ´ρ₀χ_SrB²p₁ Bt² soit en faisant rentrer r dans la d´eriv´ee partielle

B²rp1

Br² ´ρ0χ_SB²rp1

Bt²

La fonction upr, tq “ rp₁pr, tq est alors solution de l’´equation de d’Alembert unidimensionnelle et on a donc comme solution, en notation complexe

p₁pr, tq “ A

r exppipωt´kr`ϕqq

Cette expression est solution de l’´equation si et seulement si ω“kc avec c“ b 1

ρ0χS. 3. L’équation d’Euler linéarisée à la forme

ρ₀B~v

Bt “ ´ÝÝÑ

gradp₁“ ´Bp₁ Br ~e_r d’o`u en notation complexe

ρ0iωv“ ´Aexppipωt´kr`ϕqq

„

´ik r ´ 1

r²



“Aexppipωt´kr`ϕqq

„ik r ` 1

r²



donc

vpr, tq “ 1

ρ₀iωr²Aexppipωt´kr`ϕqq rikr`1s Au niveau de la sph`ere

vpR, tq “ dR

dt “iωR_mexppiωtq “ 1

ρ0iωR²Aexppipωt´kR`ϕqq rikR`1s CommekR!1 et R«R₀ alors

iωR_mexppiωtq “ 1

ρ0iωR²₀Aexppipωt`ϕqq donc

´ω²RmR²₀ρ0exppiωtq “ω²RmR²₀ρ0exppipωt`πqq “Aexppipωt`ϕqq ce qui donne par identification A“ω²RmR₀²ρ0 etϕ“π.

(9)

4. Loin de la sph`ere, on akr "1, on a donc vpr, tq “ 1

ρ0iωr²Aexppipωt´kr`πqqikr “ kA

ρ0ωrexppipωt´kr`πqq “ A

ρ0crexppipωt´kr`πqq donc

vpr, tq “ 1

ρ0cp₁pr, tq

On retrouve une relation identique à celle de l’onde plane qui nous avait permis de définir l’impédance acoustique. Quand on est suffisamment loin, l’onde sphérique se comporte comme une onde plane.

5. ~π“p~v donc `a grande distance

~

π“ A²

ρ0cr² cos²pωt´krq~er

6. En moyenne temporelle xcos²y “1{2, et le vecteur ~π ne d´epend que der donc xPy “

ĳ

σ

~π¨d ~S“ A² ρ₀cr²

1

24πr² “2πA² ρ₀c qui ne d´epend pas der.

V Influence de la viscosit´ e

1. La viscosité est une diffusion de quantité de mouvement, c’est donc un phénomène irréversible, l’évolution ne peut donc en théorie être isentropique.

2. L’´equation de Navier-Stokes ρD~v

Dt “ ´ÝÝÑ gradp`η

ˆ

∆~~v`1 3

ÝÝÑgradpdiv~vq

˙

se linéarise en négligeant le terme convectif et les termes d’ordre supérieur à 1 ρ0

B~v

Bt “ ´ÝÝÑ gradp1`η

ˆ

∆~~v`1 3

ÝÝÑgradpdiv~vq

˙

Les 2 autres ´equations sont inchang´ees :

Conservation de la masse Bρ₁

Bt `ρ₀div~v“0 Adiabaticit´e Bρ1

Bt “ρ0χS

Bp1

Bt

(10)

3. D’après les deux dernières équations et div~v“ _Bx^Bv : ρ0χS

Bp1

Bt `ρ0

Bv

Bx “0 ñ Bp1

Bt “ ´ 1 χ_S

Bv Bx En projetant l’équation de Navier-Stokes linéarisée surOx

ρ₀Bv

Bt “ ´Bp₁ Bx `η

ˆB²v Bx² `1

3 B²v Bx²

˙

En dérivant et en inversant dérivée par rapport à tet par rapport à xla deuxième équation ρ₀B²v

B²t “ ´ B Bx

Bp₁ Bt `η B

Bt ˆ4

3 B²v Bx²

˙

“ ´ B Bx

ˆ

´ 1 χS

Bv Bx

˙

`ηB Bt

ˆ4 3

B²v Bx²

˙

“ 1

χS

B²v Bx² `η B

Bt ˆ4

3 B²v Bx²

˙

ce qui donne l’´equation de propagation suivante : B²v

B²t ´ 1 ρ₀χ_S

B²v Bx² ´ 4η

3ρ₀ B Bt

ˆB²v Bx²

˙

“0 4. v“v_mexppipωt´kxqq donc

B²v

Bt² “ ´ω²v , B²v

Bx² “k²v , B Bt

B²v

Bx² “iωk²v donc

´ω²v´ 1

ρ₀χ_Sk²v´ 4η

3ρ₀iωk²v“0 soit

´ω²´ 1 ρ0χS

k²´ 4η 3ρ0

iωk² “0 ce qui donne

k²c² ˆ

1` 4η 3ρ₀c²iω

˙

“ω² donc

k²c² “ ω² 1`i 4ηω

3ρ₀c²

kest alors `a priori complexe et on pose k“k¹´ik”, soit k²“k¹²´k”²´2ik¹k”. On a alors

k¹²´k”²´2ik¹k”“ ω² c²

1 1`i 4ηω

3ρ₀c²

“ ω² c²

1´i 4ηω 3ρ₀c² 1`

ˆ 4ηω 3ρ₀c²

˙2

(11)

Par identification des parties r´eelle et complexe :

$

’’

’&

’’

’%

k¹²´k”² “ ω² c²

1 1`

ˆ 4ηω 3ρ0c²

˙₂

2k¹k” “ ω² c²

4ηω 3ρ₀c² 1`

ˆ 4ηω 3ρ₀c²

˙2

5. Dans l’hypoth`ese o`uη est faible,

k²c² “ ω² 1`i 4ηω

3ρ₀c²

«ω²

soitk¹ «ω{c. On en d´eduit alors

k”“ 2ηω² 3ρ₀c³

L’atténuation est exponentielle avec une distance caractéristique 1{k”, soit numériquement de l’ordre de la centaine de kilomètre.

IV Onde sph´ erique

TDC Ondes sonores dans les fluides

I Tuyaux sonores

II Isolation acoustique

III Pavillon de section variable

IV Onde sph´ erique

V Influence de la viscosit´ e

VI Pavillon conique