ECE2 Informatique - Suites et séries Septembre 2021 - EXERCICE1 -
On considère une suite (un) définie par son premier termeu0=1 et pour tout entiern, un+1=un+ 1 un. 1. Écrire unprogrammeen SciLab qui calcule et affiche la valeur deunlorsque l’utilisateur entre la valeur de
nau clavier.Pour n=100, on trouve u100=14.284064.
2. Écrire unefonctionen SciLab d’entêtefunction u = suite_u(n)prenant comme paramètre un entiernet renvoyant la valeur deun.
3. Écrire unefonctionen SciLab d’entêtefunction VectU = valeurs_u(n)prenant comme paramètre un entier net renvoyant toutes les valeurs deu0àunrangées dans un vecteur.
4. Écrire unprogrammeen SciLab permettant de déterminer et d’afficher le plus petit entier naturelnpour lequelun⩾100.On trouve n=4998.
On considère le programme SciLab et le graphique associé ci-dessous.
u = 1 ; eq = [1] ; for i = 1:200
u = u + 1/u ;
eq = [eq,u/sqrt(2*i)]
endplot2d([0:200],eq);
5. (a) Les termes de quelle suite sont contenus dans la variableeqen fin de boucle ?
(b) A l’aide du graphique, conjecturer alors un équivalent de la suite (un) en+∞ainsi que la limite.
(c) Prouver votre conjecture concernant la limite de la suite.
On montrera que la suite est croissante puis par l’absurde, qu’elle est non majorée.
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6. A l’aide de la fonctioncumsumet de la fonctionvaleurs_u, écrire unprogrammeen SciLab permettant de calculer la somme
100
X
n=0
un.
7. (a) Écrire unefonctionen SciLab d’entêtefunction S = Som(n)prenant comme paramètre un entiernet permettant de calculer la somme
n
X
k=0
1 uk. (b) On considère les instructions Scilab suivantes :
--> Som(10)
ans = 3.9975327 --> Som(100)
ans = 13.354072 --> Som(1000)
ans = 43.801548
--> Som(10000) ans = 140.4508 --> Som(100000)
ans = 446.22419 --> Som(10000000) ans = 4471.1373 (c) Que peut-on conjecturer sur la série de terme général 1
un? (d) Démonter ce résultat.
- EXERCICE2 -
On considère une suite (vn)n∈N∗définie par :v1=1 et pour tout entiernnon nul, vn+1=vn+ 1 n2vn. 1. Écrire unefonctionen SciLab d’entêtefunction v = suite_v(n)prenant comme paramètre un entiernet
renvoyant la valeur devn.
2. On admet que la suite (vn) converge vers une limiteℓvérifiant : pour toutp⩾2, 0⩽ℓ−vp⩽ 1 p−1. Écrire alors un programme SciLab qui renvoie une valeur approchée deℓà 10−4près.
- EXERCICE3 -
On considère la suite à récurrence linéaire d’ordre 2 (un) définie, pour toutn∈N, par : u0=0,u1=2, et un+2=7un+1−3un.
Compléter la fonction SciLab suivante afin qu’elle renvoie le terme généralunen fonction den.
function res = u(n)
Uold = ...
Unew = ...
for i = ...
Uaux = ...
Uold = ...
Unew = ...
endres = ...
endfunction
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