Les structures algébriques.

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le 29 Novembre 2008 UTBM MT11

Arthur LANNUZEL http ://mathutbmal.free.fr

Structures alg` ebriques

1 Lois Internes.

Définition 1.1 SoitE un ensemble. On appelle loi interne∗surE une application qui à tout couple (x, y)∈E² associe un élément z ∈E. z est notéx∗y.

Exemples 1.2 i) +,× sont des lois internes sur N,Z,Q,C,R.

ii) − n’est pas une loi interne sur N.

iii) La division n’est pas une loi interne sur R, mais en est une sur R^∗. iv) Soit ∧ sur R^∗₊ d´efinie par a∧b:=a^b. Alors ∧ est-elle une loi interne ?

D´efinition 1.3 Soit E un ensemble, ∗ une loi interne.

i) On dit que ∗ est associative ssi

∀x, y, z∈E,(x∗y)∗z =x∗(y∗z).

Dans ce cas on note x∗y∗z := (x∗y)∗z =x∗(y∗z).

ii) On dit que ∗ admet un ´el´ement neutre e∈E ssi

∃e∈E/(∀x∈E, x∗e=e∗x=x).

iii) Soit E admettant un ´el´ement neutre e. On dit que x∈E admet un symetrique ssi

∃x⁰ ∈E/x∗x⁰ =x⁰∗x=e.

iv) On dit que ∗ est commutative ssi

∀x, y ∈E, x∗y =y∗x.

Exemples 1.4 i) Soit E = {n = 2k, k ∈ Z}. +,× sont-elles des lois internes sur E, as- sociatives, commutatives. + et × admettent-elles un élément neutre et les éléments sont-ils symétrisables ?

Qu’en est-il pour E ={n= 2k+ 1, k∈Z}?

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ii) Que ce passe-t-il avec (R^∗₊,∧) défini précédemment ?

Propri´et´es 1.4.1 Soit E muni d’une loi interne ∗.

i) Si ∗ admet un ´el´ement neutre il est unique.

ii) Six∈E admet un symetriquex⁰ pour∗alors celui-ci est unique (en supposant∗associative).

iii) Si x⁰ est le symetrique de x alors x est le symetrique de x⁰. Preuve.

i) supposons e, e⁰ deux ´el´ements neutres. Alors e∗e⁰ =e=e⁰.

ii) Supposonsx⁰ etx⁰⁰ deux symetriques dexalorsx∗x⁰⁰=ed’o`ux⁰∗x∗x⁰⁰=x⁰. Maisx⁰∗x=e donc x⁰∗x∗x⁰⁰ =x⁰⁰ d’o`u x⁰ =x⁰⁰.

iii) ´evident CQFD

Exercice 1.5 i) (R,+) admet-il un élément neutre ? Ses éléments sont-ils symetrisables ? ii) Mêmes questions avec (R,×) et (R^∗,×).

Exemples 1.6 On d´efinit sur R²− {(0,0)} la loi interne ∗ telle que (a, b)∗(a⁰, b⁰) = (a.a⁰−b.b⁰, a.b⁰+b.a⁰).

Quelles sont les propri´et´es de ∗?

D´efinition 1.7 Soit E un ensemble et ∗ une loi interne sur E. F ⊂E est dit stable par ∗ si

∀x, y ∈F, x∗y∈F.

Exemples 1.8 Q est une partie stable de R pour +.

2 Groupes.

2.1 D´ efinitions-propri´ et´ es.

D´efinition 2.1 (groupe)

Soit G un ensemble et ∗ une loi interne sur G.

On dit que (G,∗) est un groupe ssi i) G est non-vide.

ii) ∗ est associative.

iii) ∗ admet un ´el´ement neutre.

iv) Tout élément de G admet un symétrique pour ∗ dans G.

Si, de plus, la loi est commutative (x∗y =y∗x), on dit que (G,∗) est un groupe ab´elien ou commutatif. Dans ce cas la loi interne est souvent not´ee +.

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Notation 2.2 Dans un groupe, le symétrique d’un élément est notéx⁻¹ pour une loi quelconque et −x pour la loi +.

Exemples 2.3 i)(Z,+),(R,+),(Q,+),(C,+),(R^∗,×),(Q^∗,×),(C^∗,×)sont des groupes ab´eliens.

ii) L’exemple 1.6 nous donne un groupe ab´elien (en correspondance avec C^∗; on parle d’iso- morphisme).

iii) (Z,×)?

Exercice 2.4 Soit G=Z/nZ, l’ensemble des classes de Z modulo la relation aRb ⇔a−b=n.k, k∈Z.

i) Montrer que + d´efinie par a+b =a+b est une loi interne bien d´efinie.

ii) Montrer que (Z/nZ,+) est un groupe.

Propri´et´es 2.4.1 Soit (G,∗) un groupe.

pour a, b∈G, on a

(a∗b)⁻¹ =b⁻¹∗a⁻¹ (=a⁻¹∗b⁻¹ si le groupe est ab´elien).

Preuve.

(a∗b)∗(b⁻¹∗a⁻¹) =a∗a⁻¹ =e.

CQFD

2.2 Sous-groupes.

D´efinition 2.5 Soit (G,∗) un groupe. Soit H un sous-ensemble non-vide de G.

On dit que (H,∗) est un sous-groupe de (G,∗) si H est un groupe muni de la restriction de

∗ `a H.

Exemples 2.6 i) ({1},×) est-il un sous-groupe de (R^∗,×)? ii) (Z,+) est-il un sous-groupe de (R,+)?

iii) (nZ,+) est-il un sous-groupe de (Z,+)?

iv) ({(cosα,sinα), α∈[0,2π[},∗) est-il un sous-groupe du groupe de l’exemple 1.6 ? v) (R^∗,×) est-il un sous-groupe de (R,+)?

vi) ({(a, b)/a²+b² = 2},∗) est-il un sous-groupe du groupe de l’exemple 1.6.

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Th´eor`eme 2.7 Soient (G,∗) un groupe et H ⊂G, H 6=∅.

(H,∗) est un sous groupe de (G,∗) ssi : i) ∀x, y ∈H, x∗y∈H (H est stable par *).

ii) ∀x∈H, x⁻¹ ∈H.

(De plus, si ∗ est commutative, elle le reste dans H).

Preuve.

1) Si (H,∗) est un sous groupe, il est clair que i) et ii) sont v´erifi´es.

2) Supposons i) et ii) v´erifi´es.

- Soit x, y, z ∈ H. Dans (G,∗) on sait que (x∗y)∗z =x∗(y∗z) donc cette égalité est vraie dans H. * est donc associative dans H. (Idem pour la commutativité si tel est le cas).

- Soit x∈H alors x⁻¹ ∈H d’apr`es ii). Donc, d’apr`es i), x∗x⁻¹ =e∈H.

Donc (H,∗) est un groupe.

CQFD

Exercice 2.8 Montrer que l’ensemble des élément de la forme ^1+2p_1+2q où p, q ∈ Z est un sous- groupe de (Q^∗,×).

Propri´et´es 2.8.1 Une intersection de sous-groupes est un sous-groupe.

Preuve.

(dans le cas fini)

Soit (G,∗) un groupe. Soient H₁, H₂ deux sous-groupes de G.

- e∈H1 et e∈H2 donc e∈H1∩H2.

- Soient x, y ∈ H₁∩H₂ alors x, y ∈H₁ et x, y ∈H₂. Comme H₁, H₂ sont des sous groupes, on a x∗y∈H₁ et x∗y∈H₂. Donc x∗y∈H₁∩H₂.

- Soient x ∈ H₁ ∩H₂ alors x ∈ H₁ et x ∈ H₂. Comme H₁, H₂ sont des sous groupes, on a x⁻¹ ∈H₁ et x⁻¹ ∈H₂. Donc x⁻¹ ∈H₁∩H₂.

Donc H₁∩H₂ est un sous-groupe en vertue du th´eor`eme.

CQFD

3 Anneaux et corps.

3.1 anneaux.

D´efinition 3.1 Soit A un ensemble muni de 2 lois de composition interne ⊕ et ∗. On dit que

∗ est distributivesur ⊕ si

∀x, y, z∈A, x∗(y⊕z) = (x∗y)⊕(x∗z) et (y⊕z)∗x= (y∗x)⊕(z∗x).

Exemples 3.2 Dans (R,+,×), × est distributive sur+.

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D´efinition 3.3 Soit A un ensemble muni de 2 lois de composition interne ⊕ et ∗. On dit que (A,⊕,∗) est un anneau (unitaire) si :

i) (A,⊕) est un groupe abélien (élément neutre noté0).

ii) ∗ est associative.

iii) ∗ admet un élément neutre (unité) noté 1.

iv) ∗ est distributive sur ⊕.

Si de plus ∗ est commutative on parle d’anneau commutatif.

Exemples 3.4 (Z,+,×),(Q,+,×),(R,+,×),(C,+,×) sont des anneaux.

Exercice 3.5 i) Montrer que Z/4Z, l’ensemble des classes de Z modulo la relation aRb ⇔a−b= 4.k, k∈Z

muni des deux lois

a+b =a+b a×b =a×b est un anneau (on v´erifiera que les lois sont bien d´efinies).

3.2 Corps.

Définition 3.6 (K,+,×) est appelé corps si c’est un anneau commutatif (unitaire) tel que tout élément x de K non-nul (différent du neutre pour+) possède un symétrique pour la loi ×.

Ce symétrique est appelé inverse et noté x⁻¹.

Remarque 3.7 Si (K,+,×) est un anneau (unitaire) non-commutatif tel que tout élément x de K non-nul (différent du neutre pour +) possède un symétrique pour la loi ×, on parle de corps gauche.

Exemples 3.8 i) (R,+,×),(Q,+,×),(C,+,×) sont des corps.

ii) (Z,+,×) est-il un corps ?

Exercice 3.9 i) (Z/3Z,+,×) avec les lois définies précédemment est-il un corps ? ii) Qu’en est-il pour (Z/4Z,+,×)?

Proposition 3.10 Soit (K,+,×) un corps. Si L⊂K alors (L,+,×) est un corps ssi : i) (L,+) est un sous-groupe de (K,+).

ii) ∀a, b∈L, a×b ∈L.

iii) 1∈L.

iv) ∀a∈L− {0}, a⁻¹ ∈L.