Stanislas
T.D. 11
Structures algébriques
Morphismes MPSI 1
2015/2016
Soit E (resp. F) un ensemble muni d'une loi ∗ (resp. +). L'application f : E → F est un morphisme de (E,∗) dans(F,+)si
∀ (x, y)∈E2, f(x∗y) =f(x) +f(y).
(i). Un endomorphisme de(E,∗) est un morphisme de (E,∗)dans(E,∗).
(ii). Un isomorphisme de(E,∗) dans(F,+) est un morphisme bijectif.
(iii). Un automorphisme de (E,∗)est un endomorphisme bijectif de (E,∗).
Soient (G,∗) et (H,+) deux groupes d'éléments neutres respectifs e, e0. Si f : G → H est un morphisme (resp. endomorphisme, isomorphisme, automorphisme), alorsf est un morphisme (resp. endomorphisme, isomorphisme, automorphisme) de groupes.
Partie I : Morphismes
1. Soit n ∈ N. Parmi les applications suivantes, lesquelles sont des endomorphismes ? isomor- phismes ? automorphismes ?
a)ln : (R?+,×)→(R,+), x7→lnx. b)exp : (R,+)→(R?+,×), x7→ex.
c)| · | : (C?,×)→(C?,×), z7→ |z|. d)fn : (C?,×)→(C?,×), z7→zn. e)f : (R2,+)→(R3,+),(x, y)7→(3x+ 2y, x−y, y).
2.SoientGun ensemble muni d'une loi interne⊕etf : E →F,g : F →Gdeux morphismes.
a)Montrer que g◦f est un morphisme.
b)Montrer que, si f est un isomorphisme, alorsf−1 est un isomorphisme.
Partie II : Morphismes de groupes
Soient(G,∗),(H,+)deux groupes et f :G→H un morphisme de groupes.
3. Montrer queϕ : G→H, g7→e0 est un morphisme de groupes.
4. Montrer que
a)f(e) =e0. b)∀x∈G, f(x−1) =−f(x).
On note
(i). Kerf ={x∈G; f(x) =e0} lenoyaude f. (ii). Imf ={f(x), x∈G}l'image def.
5. Déterminer l'image et le noyau des morphismes de la question1..
6 . a)Montrer que, si(G0,∗)est un sous-groupe de(G,∗), alors (f(G0),+)est un sous-groupe de (H,+).
b)Montrer que, si(H0,+)est un sous-groupe de(H,+), alors(f−1(H0),∗) est un sous-groupe de (G,∗).
En particulier,(Imf,+) est un sous-groupe de(H,+)et (Kerf,∗)est un sous-groupe de (G,∗). 7. Soitn>2. Montrer (rapidement) que(U,×)et(Un,×) sont des groupes.
8. Caractérisation des morphismes injectifs.
a)Montrer que f est un morphisme injectif si et seulement si Kerf ={e}.
Stanislas A. Camanes
T.D. 11. Structures algébriques MPSI 1
b) Soit ϕ : (R,+) → (U,·), θ 7→ eiθ. Montrer que ϕ est un morphisme de groupes surjectif mais non injectif.
c)Soit a∈G. Montrer que θa : G→G, g7→a∗g∗a−1 est un automorphisme de groupes.
9. Équation.Soitbun élément deHqui possède un antécédent parf notéa. On noteBl'ensemble des antécédents deb et
a∗Kerf ={a∗u, u∈Kerf}, Kerf ∗a={u∗a, u∈Kerf}.
Montrer queB =a+ Kerf = Kerf+a.
Illustrer ce résultat avec les solutions des équations diérentielles linéaires.
Partie III : Questions subsidiaires
10. Deux groupes sont dits isomorphes s'il existe un isomorphisme de l'un dans l'autre. Montrer que les groupes(R?,×) et(C?,×) ne sont pas isomorphes.
11.Combien existe-t-il d'endomorphismes du groupeU6? Parmi eux, combien sont des automor- phismes ?
12.Déterminer l'ensemble des endomorphismes du groupe(Z,+), l'ensemble des endomorphismes du groupe(Q,+) et l'ensemble des morphismes de (Q,+) dans(Z,+).
Stanislas A. Camanes
