Structures algébriques

Stanislas

T.D. 11

Structures algébriques

Morphismes MPSI 1

2015/2016

Soit E (resp. F) un ensemble muni d'une loi ∗ (resp. +). L'application f : E → F est un morphisme de (E,∗) dans(F,+)si

∀ (x, y)∈E², f(x∗y) =f(x) +f(y).

(i). Un endomorphisme de(E,∗) est un morphisme de (E,∗)dans(E,∗).

(ii). Un isomorphisme de(E,∗) dans(F,+) est un morphisme bijectif.

(iii). Un automorphisme de (E,∗)est un endomorphisme bijectif de (E,∗).

Soient (G,∗) et (H,+) deux groupes d'éléments neutres respectifs e, e⁰. Si f : G → H est un morphisme (resp. endomorphisme, isomorphisme, automorphisme), alorsf est un morphisme (resp. endomorphisme, isomorphisme, automorphisme) de groupes.

Partie I : Morphismes

1. Soit n ∈ N. Parmi les applications suivantes, lesquelles sont des endomorphismes ? isomor- phismes ? automorphismes ?

a)ln : (R^?+,×)→(R,+), x7→lnx. b)exp : (R,+)→(R^?₊,×), x7→e^x.

c)| · | : (C^?,×)→(C^?,×), z7→ |z|. d)fn : (C^?,×)→(C^?,×), z7→zⁿ. e)f : (R²,+)→(R³,+),(x, y)7→(3x+ 2y, x−y, y).

2.SoientGun ensemble muni d'une loi interne⊕etf : E →F,g : F →Gdeux morphismes.

a)Montrer que g◦f est un morphisme.

b)Montrer que, si f est un isomorphisme, alorsf⁻¹ est un isomorphisme.

Partie II : Morphismes de groupes

Soient(G,∗),(H,+)deux groupes et f :G→H un morphisme de groupes.

3. Montrer queϕ : G→H, g7→e⁰ est un morphisme de groupes.

4. Montrer que

a)f(e) =e⁰. b)∀x∈G, f(x⁻¹) =−f(x).

On note

(i). Kerf ={x∈G; f(x) =e⁰} lenoyaude f. (ii). Imf ={f(x), x∈G}l'image def.

5. Déterminer l'image et le noyau des morphismes de la question1..

6 . a)Montrer que, si(G⁰,∗)est un sous-groupe de(G,∗), alors (f(G⁰),+)est un sous-groupe de (H,+).

b)Montrer que, si(H⁰,+)est un sous-groupe de(H,+), alors(f⁻¹(H⁰),∗) est un sous-groupe de (G,∗).

En particulier,(Imf,+) est un sous-groupe de(H,+)et (Kerf,∗)est un sous-groupe de (G,∗). 7. Soitn>2. Montrer (rapidement) que(U,×)et(Un,×) sont des groupes.

8. Caractérisation des morphismes injectifs.

a)Montrer que f est un morphisme injectif si et seulement si Kerf ={e}.

Stanislas A. Camanes

T.D. 11. Structures algébriques MPSI 1

b) Soit ϕ : (R,+) → (U,·), θ 7→ e^iθ. Montrer que ϕ est un morphisme de groupes surjectif mais non injectif.

c)Soit a∈G. Montrer que θ_a : G→G, g7→a∗g∗a⁻¹ est un automorphisme de groupes.

9. Équation.Soitbun élément deHqui possède un antécédent parf notéa. On noteBl'ensemble des antécédents deb et

a∗Kerf ={a∗u, u∈Kerf}, Kerf ∗a={u∗a, u∈Kerf}.

Montrer queB =a+ Kerf = Kerf+a.

Illustrer ce résultat avec les solutions des équations diérentielles linéaires.

Partie III : Questions subsidiaires

10. Deux groupes sont dits isomorphes s'il existe un isomorphisme de l'un dans l'autre. Montrer que les groupes(R^?,×) et(C^?,×) ne sont pas isomorphes.

11.Combien existe-t-il d'endomorphismes du groupeU6? Parmi eux, combien sont des automor- phismes ?

12.Déterminer l'ensemble des endomorphismes du groupe(Z,+), l'ensemble des endomorphismes du groupe(Q,+) et l'ensemble des morphismes de (Q,+) dans(Z,+).

Stanislas A. Camanes