Structures algébriques

(1)

Stanislas

T.D. 10

Sous-groupes deR

MPSI 1 2015/2016

Partie I : Sous-groupes additifs deR Soit(G,+)un sous-groupe de (R,+), i.e.

(i). G⊂R, (ii). G6=∅,

(iii). ∀x, y ∈G, x−y ∈G.

On suppose queG est non trivial, i.e.Gest diérent de{0}etR.

1. Montrer queG∩R^?+ possède une borne inférieure. On notem= inf{x∈G, x >0}. 2. On suppose dans cette question quem >0.

a)Sim6∈G, montrer qu'il existe g₁, g₂ ∈G tels quem < g₂ < g₁<2m. b)En déduire que m∈G.

c)Montrer que si x∈G, il existe n0 ∈Z tel que mn06x < mn0+m. d)En déduire que G=mZ.

3. On suppose dans cette question quem= 0. Soientx, y deux réels tels quex < y. a)Montrer qu'il existe g∈Gtel que 0< g < y−x.

b)En déduire que Gest dense dans R.

4. Conclure.

Partie II : Application Soitω ∈R. On note

Gω=

a+bω, (a, b)∈Z² .

5. Montrer que(G_ω,+)est un sous-groupe de (R,+).

6. Montrer que s'il existe(p, q)∈Z² tels quep∧q = 1 etω= ^p_q, alors Gω = ¹_qZ.

7. Montrer que siω 6∈Q, alors Gω est dense dans R.

8. En déduire que l'ensemble

e^inωπ, n∈Z est périodique si ω est rationnel puis qu'elle est dense dans le cercle unité si ω est irrationnel.

On pourra utiliser la caractérisation séquentielle de la densité. . .

Stanislas A. Camanes