Stanislas
T.D. 10
Structures algébriques
Sous-groupes deR
MPSI 1 2015/2016
Partie I : Sous-groupes additifs deR Soit(G,+)un sous-groupe de (R,+), i.e.
(i). G⊂R, (ii). G6=∅,
(iii). ∀x, y ∈G, x−y ∈G.
On suppose queG est non trivial, i.e.Gest diérent de{0}etR.
1. Montrer queG∩R?+ possède une borne inférieure. On notem= inf{x∈G, x >0}. 2. On suppose dans cette question quem >0.
a)Sim6∈G, montrer qu'il existe g1, g2 ∈G tels quem < g2 < g1<2m. b)En déduire que m∈G.
c)Montrer que si x∈G, il existe n0 ∈Z tel que mn06x < mn0+m. d)En déduire que G=mZ.
3. On suppose dans cette question quem= 0. Soientx, y deux réels tels quex < y. a)Montrer qu'il existe g∈Gtel que 0< g < y−x.
b)En déduire que Gest dense dans R.
4. Conclure.
Partie II : Application Soitω ∈R. On note
Gω=
a+bω, (a, b)∈Z2 .
5. Montrer que(Gω,+)est un sous-groupe de (R,+).
6. Montrer que s'il existe(p, q)∈Z2 tels quep∧q = 1 etω= pq, alors Gω = 1qZ.
7. Montrer que siω 6∈Q, alors Gω est dense dans R.
8. En déduire que l'ensemble
einωπ, n∈Z est périodique si ω est rationnel puis qu'elle est dense dans le cercle unité si ω est irrationnel.
On pourra utiliser la caractérisation séquentielle de la densité. . .
Stanislas A. Camanes
