Lycée Louis-Le-Grand,Paris MPSI 4– Mathématiques A. Troesch
Problème n
o14 : Structures algébriques
Correction du problème 1– Théorème de Burnside
Partie I – Quelques résultats préliminaires
1. SoitGun groupe, etH un sous-groupe de G. Montrons que NG(H)est un sous-groupe deG. On a :
• NG(H)⊂Gpar définition ;
• eH =H=He, oùedésigne le neutre deG, donce∈NG(H)
• Six∈NG(H)ety∈NG(H), alors
yHy−1=H donc: H=y−1(yHy−1)y=y−1Hy donc: xy−1Hyx−1=xHx−1=H.
On en déduit quexy−1∈NG(H).
D’après la caractérisation des sous-groupes, NG(H)est un sous-groupe deG. Par ailleurs :
• pour touth∈H, par stabilitéH,hH⊂H
• En particulier, étant donné h∈H,h−1∈H, donch−1H ⊂H, puishh−1H ⊂hH, doncH ⊂hH.
D’après le principe de double inclusion, hH = H. De même, Hh = H. Ainsi, h ∈ NG(H). On a donc H⊂NG(H).
2. SoitGun groupe.
(a) De même, étant donnéx∈G:
• CG(x)⊂Gpar définition
• ex=x=xe donce∈G
• Si y etz sont dansCG(E),
x=zxz−1donc:z−1xz=x puis: (yz−1)x(yz−1)1=yxy−1=x.
Ainsi,yz−1∈CG(E).
Par conséquent,CG(x)est un sous-groupe deG.
(b) De façon évidente, CG(X) = [
x∈X
CG(x), donc CG(X)est un sous-groupe deG, comme intersection de sous-groupes deG.
(c) Six∈CG(H), alors pour touth∈H, xhx−1=h∈H, doncx∈NG(H). Ainsi, CG(H)⊂NG(H).
Partie II – Produit semi-direct de deux sous-groupes de G
1. Soitf :H×K→HK définie parf(h, k) =hk.La fonctionf est toujours surjective, par définition deHK.
• SupposonsH∩K={e}. Montrons quef est injective. Soit(h, k)et(h′, k′)deux éléments deH×K tels quef(h, k) =f(h′, k′), donchk=h′k′. On a alorsh′−1h=k′k−1. Cet élément est donc à la fois un élément deH et deK, donc, puisqueH∩K={e}:
h′−1h=e=k′k−1 puis: h=h′ etk=k′. On en déduit quef est injective, puis la bijectivité def
• Supposons que H ∩K 6={e}, CommeH ∩K contient e, cela signifie qu’il existe un élémentx∈ H ∩K différent de e. On a alors(e, x)∈H×K et (x, e)∈H×K, etf(e, x) =f(x, e). Comme (e, x)6= (x, e),f n’est pas injective, donc pas bijective.
On conclut donc :f est bijective si et seulement siH∩K={e}.
2. (a) • Supposons que HK est un sous-groupe de G.
∗ Soitx∈HK. Puisquex∈HK, x−1 ∈ HK, donc il existe h∈H,k ∈K tels que x−1 =hk, puis x=k−1h−1∈KH. DoncHK⊂KH
∗ Soitx∈KH, alors il existek∈K,h∈H tels quex=kh, doncx−1=h−1k−1. Ainsi, x−1∈HK, etHK étant un groupe, on en déduit quex∈HK. Ainsi,KH⊂HK.
Des deux inclusions, on déduit :HK =KH.
• Réciproquement, supposons que HK=KH.
∗ On aHK ⊂Get e=e×e∈HK.
∗ Soitx∈HK, alors il existeh∈H,k∈K tel quex=hk, doncx−1=k−1h−1∈KH =HK.
∗ Soit(x, y)∈(HK)2. Alors il existe(h1, h2)∈H2,(k1, k2)∈K2 tels que x=h1k1 et y=h2k2.
On a alors xy = h1k1h2k2. Comme k1h2 ∈ KH = HK, il existe h3 ∈ H et k3 ∈ K tels que k1h2=h3k3, d’où
xy= (h1h3)(k3k2)∈HK.
Ainsi,HK est un sous-groupe deG.
On conclut que HK est un sous-groupe deGsi et seulement siHK=KH . (b) Dans ce cas :
• H∪K⊂HK de façon évidente (sih∈H,h=h×e, et de même pourK).
• Si Lest un groupe tel que H∪K ⊂L, par stabilité, pour touth∈H et toutk∈K,(h, k)∈L2, donc hk∈L2. On en déduit que HK⊂L.
Ainsi, HK est le plus petit sous-groupe deGcontenantH∪K.
3. On suppose dans cette question queGest produit semi-direct deK parH.
(a) • Au vu des hypothèses H∩K={e}etHK =G, la fonctionf : (h, k)→hk est une bijection deH×K surG. Soitg∈G. Il existe donch∈H etk∈Kuniques tels queg=xy. La conditionα(xy) =xpour tout x∈H et touty∈K impose alorsα(g) =x. Cela assure l’ unicité deα
• Le raisonnement précédent donne aussi l’ existence . Plus formellement, on obtient la description sui- vante :α=pH◦f−1, oùpH désigne la projection(h, k)7→hdeH×K surH.
• Par ailleurs, étant donné g1 et g2 deux éléments de G, il existe h1, h2, k1, k2 tels que g1 = h1k1 et g2=h2k2. On a alorsα(g1) =h1 et α(g2) =h2. Par ailleurs, K étant distingué, h2K =Kh2, donc il existek3 dansK tel quek1h2=h2k3. Ainsi :
α(g1g2) =α(h1k1h2k2) =α((h1h2)(k3k2)) =h1h2=α(g1)α(g2).
Ainsi, αest un morphisme de groupes.
(b) • Pour touth∈H,α(h) =α(h×e) =h. Ainsi,α|H = idH, donc α(H) =H .
• Soith∈H∩Ker(α). On a alors
e=α(h) =α(h×e) =h.
Ainsi,H∩Ker(α)⊂ {e}, eteétant dans tout sous-groupe, H∩Ker(α) ={e} .
4. SoitGun groupe,H un sous-groupe deG, etαun morphisme deGdansH tel queα(H) =H etH∩Ker(α) = {e}. On poseK= Ker(α).
• On a évidemmentHK ⊂G
• Soitg∈G, eth′=α(g)∈H. Puisqueα(H) =H il existehtel queα(h) =h′. Posons alorsk=h−1g. On a :
α(k) =α(h−1g) =α(h)−1α(g) =h′−1h′=e, donck∈Ker(α). On a doncg∈HK, doncG⊂HK.
• Par hypothèse,H∩K={e}.
• Soitk∈K etg∈G. On a
α(gkg−1) =α(g)α(k)α(g)−1=α(g)eα(g)−1=α(g)α(g)−1= e.
Ainsi,gkg−1∈K. Par conséquent,K est un sous-groupe distingué deG.
On en déduit que Gest produit semi-direct de Ker(α)parH .
Partie III – Théorème de Burnside
1. Soit (x, y) ∈H2. Comme H ⊂ NG(H) = CG(H), xest dans le centralisateur de y, doncx et y commutent.
Ainsi, H est abélien .
2. Soit(x, y)∈G×H, etz=xyx−1. On suppose quez∈H.
(a) • Puisque z ∈H, on a H ⊂NG(H) =CG(H)⊂CG(z). Ainsi,H est un sous-groupe de CG(z). D’après le théorème de Lagrange, l’ordre deHdivise l’ordre deCG(z), qui divise l’ordre deG. On en déduit que la valuationp-adique deCG(z)est égale àr, et par conséquent, H est unp-sous-groupe de Sylow deCG(z).
• Par régularité dexetx−1, l’application définie surH parh7→xhx−1est injective, donc sa corestriction à son imagexHx−1est bijective. Par conséquent,H et xHx−1 ont même cardinalpr.
• xHx−1 est un sous-ensemble non vide deG, et pour tout(a, b)∈(xHx−1)2, il existehet kdansH tels que
a=xhx−1 et b=xkx−1 donc: ab−1=xhk−1x−1∈xHx−1. D’après la caractériation des sous-groupes,xHx−1 est un sous-groupe deG
• Soita∈xHx−1. Montrons quea∈C(z). Il existeh∈H tel quea=xhx−1. On a alors aza−1=xhx−1xyx−1xh−1x−1=xhyh−1x−1.
Or,h,h−1et y sont dansH qui est abélien, donchyh−1=hh−1y=y. Ainsi aza−1=aya−1=z.
On en déduit que xHx−1 est un sous-groupe deC(z).
• Pour les mêmes raisons que plus haut, xHx−1 est donc unp-sous-groupe de Sylow deC(z).
(b) Lesp-sous-groupes de Sylow étant deux à deux conjugués, il existex′∈CG(z)tel queH=x′(xHx−1)x′−1. Il en découle quex′x∈NG(H) =CG(H). Commex′∈CG(H), on obtientx∈CG(H), doncx∈GC(y). La définition dez amène alors z=y .
3. Soity∈G, et(x1, . . . , xm)un système de représentants des classes à gauche moduloH dansG.
(a) Soit i∈[[1, m]]. Les ensemblesx1H, . . . , xmH formant une partition deG, l’élémentyxi est dans l’un et un seul d’entre eux. Ainsi, il exite un unique indiceσ(i)∈[[1, m]]tel queyxi∈xσ(i)H. Il existe alorsh∈H tel que
yx1=xσ(i)h
Mais alorshest tout déterminé par la nécessité d’avoirh=yx1x−1σ(i).
D’où l’existence et l’unicité deσ(i)∈[[1, m]]ethi∈H tels queyxi =xσ(i)hi. (b) • L’applicationσest bien définie de[[1, n]]dans[[1, n]].
• Soit(i, j)dans[[1, m]]2 tels queσ(i) =σ(j). On a alors
yxih−1i =xσ(i)=xσ(j)=yxjh−1j .
Par régularité des éléments d’un groupe, xih−1i =xjh−1j , donc xiH∩xjH 6=∅, d’où xiH =xjH, ces ensembles formant une partition. Comme lesxi sont des représentants de classes deux à deux distinctes, on peut en conclure quei=j, donc queσest injective.
• Pour des raisons de cardinalité, σest alors bijective. Donc σ∈Sm.
(c) T définit une application deGdansH. De plus, étant donnég etg′ dansG, en définissant les hi (pourgi) et lesh′i (pourgi′), etσet σ′ les éléments deSmassociés, on a, pour touti∈[[1, m]]:
gg′=xσ◦σ′(i)hσ′(i)x−1σ′(i)xσ′(i)h′ix−1i =xσ◦σ′(i)hσ′(i)h′ixi.
Ainsi, la permutation associée àgg′ estσ◦σ′, et la famille(h′′i)est définie par :
∀i∈[[1, m]], h′′i =hσ′(i)h′i. PuisqueH est abélien et queσ′ est une permutation, on en déduit que
T(gg′) = Ym
i=1
hσ′(i)h′i= Ym
i=1
hi
Ym
i=1
h′i=T(g)T(g′).
Ainsi, T est un morphisme de groupes deGdansH.
(d) • Soity∈G, etσla permutation de[[1, m]]associée. On définit sur[[1, m]]la relation suivante : i∼j ⇐⇒ ∃k∈N, i=σk(j),
Il s’agit d’une relation d’équivalence :
∗ Soiti∈[[1, m]],i=σ0(i), donci∼i, d’où la reflexivité.
∗ Soiti, j tels quei∼j. Alors il existektel quej=σk(i). CommeSm est un groupe fini, l’élémentσ est aussi d’ordre fini (son ordre divise l’ordre de Sm), il existe donc ℓ∈Ntel que(σℓ) = id. Soit q etrle quotient et le reste de la division euclidienne dekparℓ. Il vient alors :
σℓ−r(j) =σℓ−r+k(i) =σ(q+1)ℓ(i) = idq+1(i) =i, etℓ−r∈N. Ainsi,j∼i. D’où la symétrie.
∗ Soit i1∼i2 et i2∼i3. Il existe (k, ℓ) ∈N2 tels que i2 =σk(i1) et i3 = σℓ(i2), donc i3 = σk+ℓ(i1).
Ainsi,i1∼i3, d’où la transitivité.
Ainsi, il s’agit bien d’une relation d’équivalence.
• On considère alors{X1, . . . , Xt} la partition de [[1, m]] formée des classes d’équivalence. Soit j ∈[[1, t]]
et i ∈ Xj. Puisque σ est d’ordre fini, il existe k > 0 tel que σk(i) = i. Soit k0 la plus petite de ces valeurs. Alorsσ0(i), σ1(i), . . . , σk0−1(i)sont des éléments deux à deux distincts deXj (siσq(i) =σr(i), avecq < r, en appliquant la fonction bijectiveσ−q, on contredit la minimalité dek0). De plus, la suite (σk(i))n∈Nest alors périodique de période minimalek, leskvaleurs prises sur une période étant deux à deux distinctes. Or, par définition de la relation d’ordre et de ses classes, les valeurs prises par cette suite sont exactement les éléments deXj, donck=|Xj|. Ainsi, la restriction de σàXj est une permutation cyclique : après avoir donné un ordre cyclique aux éléments deXj, chaque application de la permutation σfait tourner les éléments. En particulier, Xj={σk(i), i∈[[0, k0−1]]}.
On vient de décrire la décomposition en cycles disjoints de la permutation σ : la permutation σ peut être vue comme un ensemble de cycles disjoints : à chaque fois qu’on applique une nouvelle fois σ, on fait tourner d’un cran chaque cycle. Les cycles n’ont pas tous la même taille, donc on n’en fait pas le tour à la même vitesse. Cette situation est à comparer aux roues de tailles différentes d’un tracteur ou d’une locomotive à vapeur : une permutation est un ensemble de roues de tailles différentes, qu’on fait tourner simultanément.
SoitJ ⊂[[1, n]]un système de représentant de chaque classeXi. On note X(j)la classe représentée par j ∈J. Étant donné j∈J, on a alors, le produit étant justifiant par le fait que les éléments dont on fait le produit sont dansH qui est abélien) :
Y
i∈X(j)
hi= Y
i∈X(j)
x−1σ(i)yxi=
nYj−1
k=0
x−1σk+1(j)yxσk(j)
=x−1σnj(j)yxσnj−1
(j)x−1σnj−1
(j)yxσnj−2
(j). . . x−1σ2(j)yxσ(j)x−1σ(j)yxj
et après simplifications : Y
i∈X(j)
hi=x−1σnj(j)ynjxj=xjynjx−1j .
En particulier, comme Q
i∈X(j)
hi∈H, on a pour toutj∈J, x−1j ynjxj∈H
• Du fait que H est abélien, on obtient, en faisant le produit des expressions trouvées sur chacune des parts de la partition X(j), j∈J :
Ym
i=1
hi=Y
j∈J
x−1j ynjxj soit: T(y) = Y
j∈J
x−1j ynjxj
• Comme lesnj sont les cardinaux de parts d’une partition de[[1, m]], on a X
j∈J
nj=m.
(e) Soity∈H. D’après la question 2 (appliquée avecx=x−1j ), puisquex−1j ynjxj ∈H ainsi queynj, il vient, pour toutj∈J :
x−1j ynjxj =ynj. Ainsi,T(y) =Y
j∈J
ynj =y
P
j∈J
nj
, donc T(y) =ym .
(f) La fonctiony 7→ymest bijective de H dansH, carmest premier avecpα. En effet, on a alors, d’après le théorème de Bézout, l’existence de deux entiersu et v tels que um+vpα = 1. La fonction y 7→yu de H dansH est alors une réciproque de y7→ym, puisque
(yu)m= (ym)u=ymu=y1−vpα =y×(y−v)pα=y, d’après le théorème de Lagrange,H étant d’ordrepα. Ainsi T(H) =H . Par ailleurs soith∈Ker(T)∩H, on a :
e=T(h) =hm,
donc l’ordre de h divise m. Comme l’ordre de h divise pα (théorème de Lagrange), l’ordre de h divise pα∧m= 1. Ainsih=e. On en déduit que Ker(T)∩H ⊂ {e}, puisKer(T)∩H ={e}.
D’après la question II-4, Gest donc un produit semi-direct deKer(T)parH.
