Lycée Louis-Le-Grand,Paris MPSI 4– Mathématiques A. Troesch
Problème n
o14 : Structures algébriques
Problème 1– Théorème de Burnside
Le but de ce problème est l’étude des produits semi-directs de groupes, et l’étude de conditions pour qu’un groupe soit un produit semu-direct de deux sous-groupes donnés. Dans la dernière partie, on montre un théorème de Burnside, montrant que, sous certains conditions, un groupeGpeut être décrit comme produit-semi-direct par un de sesp-sous- groupes de Sylow.
Tous les groupes considérés dans ce problème sont considérés en notation multiplicative.
On définit les notions suivantes :
• Étant donné un groupeGet un sous-groupe H deG, on appelle normalisateur de H dansGl’ensemble : NG(H) ={g∈G|gH=Hg}={g∈G|gHg−1=H}={g∈G| ∀h∈H, ghg−1∈H}.
• On dit que H est un sous-groupe normal (ou distingué) de G si et seulement pour tout g ∈ G, gH = Hg, autrement dit siNG(H) =G.
• Étant donné un groupeGet une partie X de G, on appelle centralisateur deX dansGl’ensemble : CG(X) ={g∈G| ∀x∈X, gx=xg.}
Étant donnéx∈G, on notera plus simplementCG(x)le centralisateur du singleton{x}.
• Étant donné un groupeGet deux sous-groupesH etK deG, on désigne parHK le produit deH parK, défini par :
HK ={hk, h∈H, k∈K}.
• Étant donné deux groupesG etH, de neutres respectifs eG eteH, et un morphisme de groupes f :G→H, on appelle noyau def l’ensemble
Ker(f) ={x∈G|f(x) =eH}.
• SoitG un groupe d’ordreprm, oùpr∧m= 1, etpest un nombre premier. On appelle p-sous-groupe de Sylow de Gun sous-groupe deG de cardinalpr.
• Étant donné H un sous-groupe de G, etg ∈G, on appelle classe à gauche de g modulo H l’ensemble gH = {gh, h∈H}.
• SoitH etK deux sous-groupes deG. On dit queH et K sont conjugués dansGs’il existeg∈G tel que K=gHg−1={ghg−1, h∈H}.
On rappelle, ou on admet les points suivants :
• Étant donné un morphismef :F →G,Ker(f) est un sous-groupe deF.
• Théorèmes de Sylow : Tout groupe Gadmet un p-sous-groupe de Sylow. De plus, les p-sous-groupes de Sylow de Gsont conjugués deux à deux dansG.
• L’ensembleSn des permutations de [[1, n]], muni de la loi de composition des applications est un groupe.
• Étant donné un sous-groupe H de G, on peut trouver des éléments x1, . . . , xm de G tels que les ensembles x1H, . . . , xmH soient deux à deux distincts et forment une partition deG. On a alorsm= ||HG||, où |G| désigne l’ordre (le cardinal) deG. On dit dans ce cas que (x1, . . . , xm) est un système de représentants des classes à gauche moduloH dans G.
Partie I – Quelques résultats préliminaires
1
1. SoitGun groupe, etH un sous-groupe deG. Montrer queNG(H)est un sous-groupe deGet queH ⊂NG(H) 2. SoitGun groupe.
(a) Montrer que pour tout x∈G,CG(x)est un sous-groupe deG.
(b) En déduire que pour toute partieX deG,CG(X)est un sous-groupe deG.
(c) SoitH un sous-groupe de G. Comparer (au sens des inclusions)CG(H)etNG(H).
Partie II – Produit semi-direct de deux sous-groupes de G
On se donne dans cette partie un groupeG, et deux sous-groupes H et K de G. On note el’élément neutre de G.
1. Montrer que l’applicationf :H×K→HKdéfinie parf(h, k) =hkest bijective si et seulement siH∩K={e}.
2. (a) Montrer queHK est un sous-groupe deGsi et seulement siHK=KH.
(b) Montrer que dans ce cas,HK est le plus petit sous-groupe deGcontenantH∪K.
On dit queGest produit semi-direct deK parH siG=HK,H∩K={e}et siK est un sous-groupe distingué deG.
3. On suppose dans cette question queGest produit semi-direct deK parH.
(a) Montrer qu’il existe une unique applicationα:G→H telle que pour tout (x, y)∈H×K, α(xy) = x, et queαest un morphisme de groupe.
(b) Montrer queα(H) =H et H∩Ker(α) ={e}.
4. Réciproquement, étant donné un sous-groupe H d’un groupe G et α un morphisme de G dans H tel que α(H) =H etH∩Ker(α) ={e}, montrer queGest produit semi-direct deKer(α)parH.
Partie III – Théorème de Burnside
Dans cette partie, on suppose queG un est groupe fini d’ordre prm, où pest un nombre premier et p∧m= 1. On considère H unp-sous-groupe de Sylow de G, et on suppose que NG(H) = CG(H). On se propose de prouver qu’il existe un sous-groupeK de Gtel queGsoit produit semi-direct deK parH (théorème de Burnside).
1. Vérifier queH est abélien.
2. Soit(x, y)∈G×H, etz=xyx−1. On suppose quez∈H.
(a) Montrer queH etxHx−1 sont desp-sous-groupes de Sylow deCG(z).
(b) À l’aide d’un résultat admis en début d’énoncé, en déduire l’existence de x′ ∈ CG(z) tel que H = x′(xHx−1)x′−1, et en déduire quez=y.
3. Soity∈G, et(x1, . . . , xm)un système de représentants des classes à gauche moduloH dansG.
(a) Montrer que pour tout i∈[[1, m]], il existe un indice σ(i)∈[[1, m]]et un élémenthi de H uniques tels que yxi =xσ(i)hi.
(b) Montrer queσ∈Sm. (c) On définit alorsT(y) =
m
Y
i=1
hi. Montrer queT :y7→T(y)définit un morphisme deGdansH.
(d) Soit y ∈G. Montrer qu’il existe une partieJ de[[1, m]]et une famille d’entiers strictement positifs (ni)i∈J
tels que
T(y) = Q
i∈J
(x−1i ynixi)
∀i∈J, x−1i ynixi∈H P
i∈J
ni=m.
Indication : on pourra définir une relation d’équivalence sur[[1, m]]par i∼j⇐⇒ ∃k∈N, j=σk(i),
oùσk =σ◦ · · · ◦σ(aveck facteurs σ) ; σ0 = id. Faire ensuite le produit des x−1σ(i)yxi en les groupant par classes d’équivalences de l’indicei, en respectant au sein de chaque classe un certain ordre.
2
(e) Déduire de certaines questions qui précèdent que pour touty∈H,T(y) =ym. (f) Montrer queGest produit semi-direct deKer(T)parH.
Le morphismeT est appelé morphisme de transfert de GdansH. On peut montrer qu’il est indépendant du choix du système de représentants(x1, . . . , xm).
3
