Probl` eme : Produit semi-direct de groupes

DS 5

Les calculatrices sont interdites.

Exercices

Exercice 1 :

Pour tout n∈N^∗, calculer X

1≤i,j≤n

min(i, j) et X

1≤i,j≤n

max(i, j).

Exercice 2 :

Soit a, b∈R. En utilisant deux m´ethodes diff´erentes, calculer les primitives de x7−→e^axcos(bx).

Exercice 3 :

Posonsj =e^2iπ3 . On se place dans un plan affine euclidien orient´e, rapport´e `a un rep`ere orthonorm´e direct not´eR = (O,~ı, ~). Soit A, B etC trois points du plan d’affixes a, b etc.

Montrer queABC est un triangle ´equilat´eral direct (i.e :AB=AC =BCet (−→

CA,−−→ CB) est une base directe) si et seulement sia+bj+cj² = 0.

Exercice 4 :

On fixe un entier n sup´erieur ou ´egal `a 2. On note S_n le groupe des bijections de {1, . . . , n}dans lui-mˆeme.

1^◦) Montrer que pour toute transposition (a, b) de Sn, il existe σ ∈ Sn telle que (a, b) = σ⁻¹(1,2)σ.

2^◦) D´eterminer tous les morphismes de groupes de S_n dans {−1,1}.

Exercice 5 :

Soient A un anneau commutatif etI un id´eal de A. On appelle radical deI et on note R(I) l’ensemble des x∈A pour lesquels il existen ∈N^∗ tel que xⁿ∈I.

1^◦) Montrer que R(I) est un id´eal de A contenant I.

2^◦) Montrer que R(R(I)) =R(I).

3^◦) Soit J un second id´eal de A. Montrer que R(I∩J) =R(I)∩R(J).

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Probl` eme : Produit semi-direct de groupes

Partie I : Automorphismes de groupes

1^◦) Lorsque H est un groupe, on note Aut(H) l’ensemble des automorphismes deH.

Montrer que Aut(H) est un groupe pour la loi de composition.

2^◦) Soitn ∈Navecn ≥2 etx∈Z/nZ. `A quelle condition surxl’applicationy7−→xy est-elle un automorphisme du groupeZ/nZ?

3^◦) Soit n ∈N avecn ≥2.

Montrer que Aut(Z/nZ) est isomorphe au groupe des inversibles de Z/nZ.

Partie II : produit semi-direct

Dans cette partie, H et K d´esignent deux groupes not´es multiplicativement et ϕ est un morphisme du groupe K vers le groupe Aut(H). Ainsi, lorsque k ∈ K et h ∈ H, ϕ(k)(h) repr´esente l’image de h par l’automorphisme ϕ(k).

4^◦) Pour tout (h, k)∈H×K et (h⁰, k⁰)∈H×K, on pose (h, k).(h⁰, k⁰) = (h ϕ(k)(h⁰), kk⁰).

Montrer que cette ´egalit´e d´efinit une loi de groupe sur l’ensemble H×K.

Ce groupe est appel´e le produit semi-direct deH parK relativement `aϕet il est not´e Ho^ϕK.

5^◦) Montrer queHoϕK est commutatif si et seulement si H etK sont ab´eliens et si ϕest l’application k 7−→Id_H.

6^◦) En utilisant les questions pr´ec´edentes, construire un groupe non commutatif d’ordre 21.

7^◦) SiRest un sous-groupe d’un groupeG, not´e multiplicativement, on dit queRest un sous-groupe distingu´e de Gsi et seulement si, pour toutg ∈Getr∈R,grg⁻¹ ∈R.

SiG est un groupe not´e multiplicativement, on note 1_G son ´el´ement neutre.

On note E =H× {1K} etF ={1H} ×K et on pose E.F ={e.f / e∈E, f ∈F}.

Montrer que

— E∩F ={1_HoϕK};

— E.F =Ho^ϕK;

— F est un sous-groupe de HoϕK isomorphe `aK;

— E est un sous-groupe distingu´e de HoϕK isomorphe `a H.

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Partie III : construction r´eciproque

8^◦) Soit G un groupe, toujours not´e multiplicativement. On suppose qu’il existe un sous-groupe distingu´e de G, not´e E, et un sous-groupe de G not´e F, tels que

E∩F ={1_G} etE.F =G.

Montrer que l’applicationp, deE×F dansG, d´efinie parp(e, f) =ef est une bijection.

Montrer qu’il existe un morphisme ϕ de F dans Aut(E) tel que G est isomorphe `a EoϕF.

9^◦) Soit H, H⁰, K et K⁰ 4 groupes not´es multiplicativement.

On suppose que H⁰ est isomorphe `a H et que K<sup>0</sup> est isomorphe `aK.

Si ϕ est un morphisme de K dans Aut(H), montrer qu’il existe un morphisme ϕ⁰ de K⁰ dans Aut(H⁰) tel que HoϕK est isomorphe `a H⁰oϕ⁰ K⁰.

10^◦) Soit n ∈ N avec n ≥ 2. On note Uⁿ l’ensemble des racines n-i`emes de l’unit´e dans C et on appelle D_n l’ensemble des similitudess telles ques(Un) =Un.

a) Montrer queD_n est un groupe (que l’on appelle le groupe di´edral d’ordre 2n).

b) Montrer que si s∈Dn, alors s(0) = 0.

c) D´eterminer les ´el´ements de D_n.

d) Montrer que D_n est isomorphe `a un produit semi-direct de Z/nZpar Z/2Z.

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