Stanislas
Exercices
Structures Algébriques
Chapitre X MPSI 1
2015/2016
I - Lois
Exercice 1. (-) Soit ∗ la loi de composition interne dénie pour tous réels x, y par x∗ y = x+y+x2y.
1.Vérier que∗ n'est pas commutative, n'est pas associative, que∗ admet un élément neutre et qu'aucun élément de R\ {0} n'admet d'inverse pour∗.
2. Résoudre l'équationx∗x= 3.
Exercice 2. (-)SoitMla loi dénie pour tous couples (a, b),(a0, b0)∈Q×Qpar(a, b)M(a0, b0) = (aa0, ba0+b0). Étudier les propriétés de cette loi.
II - Groupes
Exercice 3. (Centre d’un groupe,♥)Soit (G,·) un groupe. Montrer que le centreZ de G, déni parZ ={x∈G ; ∀ y∈G, x·y=y·x}est un sous-groupe de G.
Exercice 4. (♥)SoitM un ensemble muni d'une loi interne associative∗et d'un élément neutree. On noteU(M) l'ensemble des éléments inversibles deM. Montrer que(U(M),∗)est un groupe.
Donner des exemples concrets.
Exercice 5. Pour tout entier naturel n non nul, Un désigne l'ensemble des racines n-èmes de l'unité. On noteUe = S
n∈N?
Un. La structure (eU,·)est-elle une structure de groupe ?
Exercice 6. (!) Soit G un sous-groupe de (Z,+). Montrer qu'il existe un entier naturel n ∈N tel que G=nZ.
On pourra utiliser la division euclidienne en considérant l'entierm= min{x, x∈G∩N?}.
Exercice 7.Soit (G,+) un groupe et A, B deux sous-groupes deG. Montrer que A∪B est un sous-groupe de Gsi et seulement siA⊂B ou B⊂A.
III - Anneaux, Corps
Exercice 8. (♥)SoitE un ensemble non vide. On munitP(E) des lois usuelles∪,∩,∆. 1. Montrer que(P(E),∆) est un groupe abélien.
2. Montrer que(P(E),∆,∩) est un anneau commutatif. Est-ce un corps ? 3. (P(E),∆,∪)est-il un anneau ?
Exercice 9. (Éléments nilpotents♥)Soit(A,+,·)un anneau. Soitx∈A. L'élémentxest nilpotent si et seulement si il existe un entiern∈N?tel quexn= 0. On noteN(A)l'ensemble des éléments nilpotents de A.
1. Soit(x, y)∈N(A)2 tels quexy =yx. Montrer quexy, x+y etx−y sont nilpotents.
2. Si l'anneauAest commutatif, montrer que (N(A),+) est un sous-groupe de (A,+). 3. Soitx∈N (A). Montrer que1−xest inversible et déterminer son inverse.
Exercice 10. (-)Pour tous (x, y),(x0, y0) ∈R2, on dénit les opérations (x, y)⊕(x0, y0) = (x+ x0, y+y0) et(x, y)⊗(x0, y0) = (xx0, xy0+yx0).
1. Montrer que(R2,⊕,⊗) est un anneau commutatif.
2. Cet anneau est-il intègre ?
Stanislas A. Camanes
Exercices. Structures Algébriques MPSI 1
IV - Quelques calculs matriciels
Exercice 11. (-)Pour chacune des matricesAetB suivantes, calculer, lorsqu'ils sont dénis, les produits AB etBA.
1. A=
1 1 2 3 1 2
,B=
−1 0 x 5 3 y
,x, y∈R.
2. A=
x 0 0 0 y 0 0 0 z
,B =
0 −1 7 3 −6 −2
3. A=
x 0 0 0 y 0 0 0 z
,B =
1 1 5 4
9 3 −6 5 4 1 2 10
. 4. A=
2 1 6 3
,B =
2 3 1
−4 −6 −2
.
5. A=B =
4 −2 −4
−1 −1 1 5 −1 5
. 6. A =B = (aij)i,j∈
J1,nK dénie par aij = 0 si i > j etaij = (−1)i−1 j−1i−1
sinon.
7. A= (aij)i,j∈J1,nK,X=
x1
...
xn
. Calculer AX,
tXA,XtX ettXX.
Exercice 12. (-)Dans tout cet exercice,netp désignent des entiers naturels non nul eta, b, c, θ des réels. Calculer les puissancesn-èmes des matrices suivantes.
1. Rθ =
cosθ −sinθ sinθ cosθ
. 2.J =
1 . . . 1 ... ... ...
1 . . . 1
∈Mp(R).
3.A3=
1 a b 0 1 c 0 0 1
. 4.A4=
a b b b a b b b a
.
5. A5 =
1 −2 −6
−3 2 9
2 0 −3
.
Exercice 13. (-)SoitA=
1 3 −1 2 4 4
. Déterminer l'ensemble des matrices B ∈M3,2(R) telles queAB=I2. Existe-t-il une matriceC∈M3,2(R)telle que CA=I3?
Exercice 14. (-)Soit A=
−1 15 0
6 8 0
3 −3 14
.
1. CalculerA2−7A−98I3.
2. En déduire que pour tout n ∈ N, il existe (les déterminer) des réels un, vn tels que An = unA+vnI3.
Exercice 15. (-) Soient θ, a deux réels et n un entier naturel. Déterminer l'inverse (s'il existe) des matrices suivantes
1. A1=
cosθ −sinθ sinθ cosθ
. 2. A2=
1 2 1 0 2 4 1 1 2
.
3. A3=
1 −1 2 3
2 1 −1 2
4 2 1 −1
1 4 2 1
.
4. J =
1 · · · 1 ... ... ...
1 · · · 1
.
5. A5 =
1 a · · · an 0 1 a · · · an−1
... ... ... ... ...
... ... ... a 0 · · · 0 1
.
Stanislas A. Camanes
Exercices. Structures Algébriques MPSI 1
6. A6=
1 2 · · · n+ 1 0 1 2 · · · ...
... ... ... ... ...
... ... ... 2 0 · · · 0 1
.
Exercice 16. (Centre deMn(K),♥)
1.SoitDune matrice diagonale deMn(K)dont les éléments diagonaux sont deux à deux distincts.
Montrer que pour toutA∈Mn(K), siAD=DA, alors Aest diagonale.
2.Déterminer le centre deMn(K), i.e. les élémentsHdeMn(K)tels que pour toutM ∈Mn(K), M H =HM.
Exercice 17.Soit G=
1 a b 0 1 c 0 0 1
; (a, b, c)∈C3
.
1. Montrer que(G,·) est un sous-groupe de (G`3(C),·). 2. Déterminer le centre deG.
Stanislas A. Camanes
