Lois internes
Jérôme Feret
DIENS (INRIA,ÉNS,CNRS) 18/25 janvier 2016
1 Lois internes
Définition 1.1. SoitA un ensemble. Une loi interne surA est une fonction deA×A dansA.
Exemple 1.1. La fonction vide est une loi interne sur l’ensemble vide.
Exemple 1.2. La fonction qui à la paire(1,1) associe1 est une loi interne sur le singleton{1}.
Exemple 1.3. L’addition+et le produit ·sont des lois internes pourN,Z,Q, ouR. Exemple 1.4. La soustraction−est une loi interne pourZ,Q, ouR.
Exemple 1.5. Si A est un ensemble, alors la composition ◦ est une loi interne sur l’ensemble F(A) des fonctions deA dansA.
Exemple 1.6. La fonction qui associe à toute paire(x, y)de rationnels, le rationnelx+ 2·y, est une loi interne sur Q.
Exemple 1.7. Soit A un ensemble. La fonction c qui à une paire (x, y) ∈A2 d’éléments de A associe le premier élémentxde cette paire, est une loi interne surA.cest la projection selon la première coordonnée.
Notation 1.1. Si ⊗ est une loi interne sur l’ensemble A, alors, pour tous éléments x,y de l’ensembleA, l’élément ⊗(x, y)est habituellement noté x⊗y.
2 Associativité
Définition 2.1. Une loi interne ⊗ sur un ensemble A est dite associative si et seulement si, pour tous élémentsx,y,z de l’ensembleA, on a :x⊗(y⊗z) = (x⊗y)⊗z.
Exemple 2.1. La loi interne sur l’ensemble vide est associative.
Preuve Par définition,∅ × ∅=∅. De plus pour toute propriétéP,∀x∈ ∅, P(x)est vrai.
Donc la loi interne sur l’ensemble vide est donc associative.
2
Exemple 2.2. Une loi interne sur un singleton est associative.
Preuve SoitS un singleton. On noteS ={a}. Soit⊗une loi interne surS. Par définition,a⊗a∈S.
CommeS n’a qu’un élément, on a :a⊗a=a.
Puis, soientx, y, z∈Atrois éléments deA.
On a :x=a,y=a, etz=a.
D’où,
x⊗(y⊗z) =a⊗(a⊗a) x⊗(y⊗z) =a⊗a x⊗(y⊗z) = (a⊗a)⊗a x⊗(y⊗z) = (x⊗y)⊗z.
Donc⊗est associative.
2
Exemple 2.3. L’addition+et la multiplication· sont des lois internes associatives surN,Z,Q, ouR. Exemple 2.4. La soustraction−n’est associative ni surZ, ni surQ, ni surR.
Exemple 2.5. SiA est un ensemble, la composition◦ est une loi associative sur F(A).
Preuve Soitf, g, h∈ F(A).
1. [f◦g]◦het f◦[g◦h]sont deux fonctions deA dansA.
2. Soita∈A.
On a :
[[f◦g]◦h](a) = [f◦g](h(a)) [[f◦g]◦h](a) =f(g(h(a))) [[f◦g]◦h](a) =f([g◦h](a)) [[f◦g]◦h](a) = [f◦[g◦h]](a)
Donc[f◦g]◦h=f◦[g◦h].
Puis◦ est associative.
2
Exemple 2.6. La loi internedéfinie surQparxy=∆x+ 2·y n’est pas associative.
Preuve En effet, on a :
1(11) = 1(1 + 2·1) 1(11) = 13
1(11) = 1 + 2·3 1(11) = 7
et :
(11)1 = (1 + 2·1)1 (11)1 = 31
(11)1 = 3 + 2·1 (11)1 = 5.
Or56= 7.
Doncn’est pas associative.
2
Exemple 2.7. SoitAun ensemble. La projection p1 sur la première coordonnée est une loi associative sur A.
Preuve cest bien une loi interne surA.
De plus, soitx, y, z∈A, on a :
(xcy)cz=xcy (xcy)cz=x (xcy)cz=xc(ycz)
Donccest associative.
2
Proposition 2.1. Si⊗est une loi interne associative sur un ensembleA, alors pour tousx,y,z,téléments deA, on a :x⊗(y⊗(z⊗t)) = ((x⊗y)⊗z)⊗t.
Preuve Soit⊗est une loi interne associative sur un ensemble A, alors pour toutx,y,z,t∈A, on a : x⊗(y⊗(z⊗t)) =x⊗((y⊗z)⊗t)
x⊗(y⊗(z⊗t)) = (x⊗(y⊗z))⊗t x⊗(y⊗(z⊗t)) = ((x⊗y)⊗z)⊗t
2
Notation 2.1. Lorsqu’une loi est associative, on omet généralement les parenthèses.
3 Commutativité
Définition 3.1. Une loi interne ⊗ sur un ensemble A est dite commutative si et seulement si, pour tous élémentsx,y de l’ensemble A, on a :x⊗y=y⊗x.
Exemple 3.1. La loi interne définie sur l’ensemble vide, est commutative.
Preuve Par définition,∅ × ∅=∅. De plus pour toute propriétéP,∀x∈ ∅, P(x)est vrai.
Donc la loi interne définie sur l’ensemble vide est commutative.
2
Exemple 3.2. Une loi interne définie sur un singleton, est commutative.
Preuve Soit S un singleton. On note S ={a}. Soit ⊗une loi interne sur S. Puis, soitx, y ∈A. On a :x=aety=a. D’où,
x⊗y=a⊗a x⊗y=y⊗x.
Donc⊗est commutative.
2
Exemple 3.3. L’addition+et la multiplication· sont des lois internes commutatives surN,Z,Q, ouR. Exemple 3.4. Si Aest un ensemble contenant au moins deux éléments, la composition ◦définie sur F(A) n’est pas une loi commutative.
Preuve SoitA un ensemble contenant au moins deux éléments. Soita, b∈Adeux éléments distincts.
Notons :
f :
(A→A x 7→a etg :
(A→A x 7→b On a :
(g◦f)(a) =g(f(a)) (g◦f)(a) =g(a) (g◦f)(a) =b
et :
(f◦g)(a) =f(g(a)) (f◦g)(a) =f(b) (f◦g)(a) =a.
Ora6=b. doncg◦f 6=f◦g.
Donc◦n’est pas commutative.
2
Exemple 3.5. La loi internedéfinie surQparxy=∆x+ 2·y n’est pas commutative.
Preuve On a :01 = 2et 10 = 1. Or26= 1. Doncn’est pas commutative.
2
Proposition 3.1. Si⊗ est une loi interne associative et commutative sur un ensembleA, alors pour tous x,y,z,t éléments de l’ensembleA, on a :x⊗(y⊗(z⊗t)) = ((t⊗y)⊗z)⊗x.
Preuve Soit⊗est une loi interne associative et commutative sur un ensembleA, alors pour toutx,y, z,t∈A, on a :
x⊗(y⊗(z⊗t)) =x⊗(y⊗(t⊗z)) x⊗(y⊗(z⊗t)) =x⊗((y⊗t)⊗z) x⊗(y⊗(z⊗t)) =x⊗((t⊗y)⊗z) x⊗(y⊗(z⊗t)) = ((t⊗y)⊗z)⊗x
2
4 Élements neutres
Définition 4.1. SoitA un ensemble muni d’une loi interne ⊗.
1. un élément εd∈A est un élément neutre à droite pour la loi ⊗ si et seulement si pour tout élément x∈A, on ax⊗εd=x.
2. un élément εg∈A est un élément neutre à gauche pour la loi⊗ si et seulement si pour tout élément x∈A, on aεg⊗x=x.
3. un élémentε∈Aest un élément neutre pour la loi⊗si et seulement si c’est un élément neutre à droite pour la loi⊗et un élément neutre à gauche pour la loi⊗.
Exemple 4.1. La loi interne définie sur l’ensemble vide n’a pas d’élément neutre.
Exemple 4.2. Une loi interne définie sur un singleton admet un élément neutre (le seul élément du single- ton).
Exemple 4.3. Par exemple, 0 est un élément neutre pour la loi +définie sur N, Z,Q, et R, alors que 1 est un élément neutre pour ·définie surN,Z,Q, etR.
Exemple 4.4. SiAest un ensemble, la fonction identité est un élément neutre pour la composition◦définie sur F(A).
Exemple 4.5. Soit la loi interne, définie sur Qpar xy =∆x+ 2·y.0 est un élément neutre à droite pour la loi, mais il n’y a pas d’élément neutre à gauche pour la loi .
Preuve
1. Pourx∈Q, on ax0 =x+ 2·0, puisx0 =x.
Donc0est neutre à droite.
2. Par l’absurde, soitεg∈Qun élément neutre à gauche.
On aurait :εg0 = 0(carεgest neutre à gauche) et εg0 =εg (par définition de). D’oùεg = 0.
Mais on aurait aussi :εg1 = 1(carεg est neutre à gauche) etεg1 =ε+ 2(par définition de).
D’oùεg=−1.
Or0 =−1 (Absurde).
Doncn’a pas de neutres à gauche.
2
Proposition 4.1. SoitAun ensemble muni d’une loi interne ⊗. Si⊗admet à la fois un élément neutre à droite et un élément neutre à gauche, alors ⊗admet un élément neutre.
Preuve Soit A un ensemble muni d’une loi interne ⊗. Soit εd un élément neutre à droite et εg un élément neutre à gauche. On a :εg⊗εd=εd (carεg est neutre à gauche) etεg⊗εd=εg (carεd est neutre à droite). D’oùεd=εg. Puisεd est un élément neutre.
2
Proposition 4.2. Soit A un ensemble muni d’une loi interne ⊗. Si⊗ admet un élément neutre, alors⊗ admet un unique élément neutre.
Preuve Soit A un ensemble muni d’une loi interne ⊗. Soit ε1 et ε2 deux éléments neutres. On a : ε1⊗ε2=ε2(carε1 est neutre à gauche) etε1⊗ε2=ε1 (carε2 est neutre à droite). D’oùε1=ε2.
2
5 Inverses
Définition 5.1. Soit⊗une loi interne sur un ensembleA qui admet un élément neutreεet soitx, y deux éléments deA. On dit que :
1. y est un inverse à gauche de xsi et seulement si y⊗x=ε.
2. y est un inverse à droite de xsi et seulement six⊗y=ε.
3. y est un inverse dexsi et seulement si y est un inverse à droite de x, et un inverse à gauche de x.
Un élémentx∈A est dit inversible si et seulement si il admet un inverse.
Exemple 5.1. L’entier0 est le seul élément inversible pour la loi +définie surN. Exemple 5.2. Tous les éléments deZ(resp.Q, resp.R) sont inversibles pour la loi+.
Exemple 5.3. L’élément1 est le seul élément inversible deN(resp.Z) pour la loi ·.
Exemple 5.4. Tous les éléments sauf0sont inversibles pour les lois· définies surQetR. Exemple 5.5. La fonction :
f =∆ (
N→N n 7→n+ 1
a des inverses à gauche, mais pas d’inverse à droite, pour la composition ◦ définie surF(N).
Preuve 1. Soitk∈N.
On considère la fonctiongk
∆=
N →N
0 7→k
n >0 7→n−1 On a biengk∈ F(N).
De plus, pourn∈N, on a :
[gk◦f](n) =gk(f(n)) [gk◦f](n) =gk(n+ 1)
[gk◦f](n) = (n+ 1)−1 (carn+ 1>0) [gk◦f](n) =n.
Donc[gk◦f] =IdN.
Puisgk est un inverse à gauche def. 2. Soitgun inverse à gauche def.
On a, pourn∈N:
[g◦f](n) =g(f(n)) [g◦f](n) =g(n+ 1).
Org est un inverse à gauche def, donc :[g◦f] =IdN, puis[g◦f](n) =n.
Donc pour toutn∈N,g(n+ 1) =n.
Puis pour toutm∈N\ {0},g(m) =m−1(on a posém=n+ 1).
Doncg=gg(0). Ce qui prouve qu’il n’y a pas d’autre inverse à gauche.
3. Par l’absurde, on considèregun inverse à droite def. On aurait :
[f◦g](0) =f(g(0)) [f◦g](0) =g(0) + 1.
et :
[f◦g](0) =IdN(0) [f◦g](0) = 0.
D’oùg(0) + 1 = 0, puisg(0) =−1 (ce qui est absurde carg(0)∈N).
Doncgn’est pas un inverse à droite def. 2
Exemple 5.6. La fonction :
f =∆
N→N 0 7→0 n 7→n−1
a des inverses à droite, mais pas d’inverse à gauche, pour la composition ◦ définie surF(N).
Preuve
1. On considère la fonctiong=∆ (
N→N n 7→n+ 1. On a bieng∈ F(N).
De plus, pourn∈N, on a :
[f◦g](n) =f(g(n)) [f◦g](n) =f(n+ 1)
[f◦g](n) = (n+ 1)−1 (carn+ 1>0) [f◦g](n) =n
Donc[f◦g] =IdN.
Puisg est un inverse à droite def. 2. Soithun inverse à droite def.
On a, pourn∈N,[f◦h](n) =f(h(n))et, comme[f ◦h] =IdN,[f◦h](n) =n.
D’oùn=f(h(n)).
Puis, sih(n)>0, alorsn=h(n)−1, puish(n) =n−1et n >0.
Par contraposé, sin= 0alorsh(n) = 0.
D’oùh(0) = 0.
De plus, pour toutn >0,h(n)>0(sinonn=f(h(n)), puisn= 0), et donch(n) =n−1.
Doncf a au plus un inverse à droite.
3. Par l’absurde, on considèregun inverse à gauche def. On aurait :
[g◦f](0) =g(f(0)) [g◦f](0) =g(0).
et :
[g◦f](0) =IdN(0) [f◦g](0) = 0.
Mais on aurait aussi :
[g◦f](1) =g(f(1)) [g◦f](1) =g(0).
et :
[g◦f](1) =IdN(1) [g◦f](1) = 1.
D’où0 = 1ce qui est absurde. Doncgn’est pas un inverse à gauche def. 2
Exemple 5.7. La fonction :
f =∆ (
Z→Z n 7→n+ 1
a un inverse à gauche et un inverse à droite. , pour la composition ◦ définie surF(Z).
Preuve
1. On considère la fonctiong=∆ (
Z→Z n7→n−1.
On a bieng∈ F(Z).
De plus, pourn∈N, on a :
[g◦f](n) =g(f(n)) [g◦f](n) =g(n+ 1) [g◦f](n) = (n+ 1)−1 [g◦f](n) =n
Donc[g◦f] =IdZ.
Puisg est un inverse à gauche def. 2. Soithun inverse à gauche def.
On a, pourn∈Z:
[h◦f](n) =h(f(n)) [h◦f](n) =h(n+ 1)
Orhest un inverse à gauche def, donc :[h◦f] =IdZ, puis[h◦f](n) =n.
Donc pour toutn∈Z,h(n+ 1) =n.
Puis pour toutm∈Z,h(m) =m−1 (on a posém=n+ 1).
Donc il existe au plus un inverse à gauche def.
3. On considère la fonctiong=∆ (
Z→Z n7→n−1. On a bieng∈ F(Z).
De plusn∈N, on a :
[f◦g](n) =f(g(n)) [f◦g](n) =f(n−1) [f◦g](n) = (n−1) + 1 [f◦g](n) =n
Donc[f◦g] =IdZ.
Puisg est un inverse à droite def. 4. Soithun inverse à droite def.
On a, pourn∈Z:
[f◦h](n) =f(h(n)) [f◦h](n) =h(n) + 1
Orhest un inverse à droite def, donc :[f◦h] =IdZ, puis[f◦h](n) =n.
Donc pour toutn∈Z,n=h(n) + 1.
Puis pour toutn∈Z,h(n) =n−1.
Donc il existe au plus un inverse à droite def. 2
Exemple 5.8. La fonction :
f ∆=
Z→Z 0 7→0 n 7→n−1
n’a des inverses ni à gauche, ni à droite, pour la composition ◦définie surF(Z).
Preuve
1. Par l’absurde, soitg un inverse à gauche def.
[g◦f](0) =g(f(0)) [g◦f](0) =g(0)
Org est un inverse à gauche, donc[g◦f] =IdN. Puis[g◦f](0) = 0.
Ainsig(0) = 0.
De plus,
[g◦f](1) =g(f(1)) [g◦f](1) =g(0)
Org est un inverse à gauche, donc[g◦f] =IdN. Puis[g◦f](1) = 1.
Ainsig(0) = 1.
Ainsi0 = 1ce qui est absurde.
Doncf n’a pas d’inverse à gauche.
2. Par l’absurde, soitg un inverse à droite def.
[f◦g](1) =f(g(1))
Org est un inverse à droite, donc[f◦g] =IdN. Puis[f ◦g](1) = 1.
(a) sig(1) = 0, on aurait :
[f◦g](1) =f(0) [f◦g](1) = 0.
puis1 = 0(absurde).
(b) sig(1)6= 0, on aurait :
[f ◦g](1) =f(g(1)) [f ◦g](1) =g(1)−1.
Puisg(1)−1 = 1.
Doncg(1) = 0(absurde).
Dans les deux cas, c’est absurde.
Doncf n’a pas d’inverse à droite.
2
Proposition 5.1. SoitAun ensemble. Les éléments inversibles pour la composition définie sur l’ensemble F(A) sont les fonctions bijectives. Les éléments qui ont un inverse à gauche sont les injections. Si de plus si il existe une fonctionh : ℘(A)\ {∅} →Atelle que pour toutX ⊆A\ {∅},h(X)∈X, alors les éléments qui ont un inverse à droite sont les surjections.
Preuve
1. (⇒)Soitf : A→Aqui admet un inverse à gauche. Soitg : A→Aun inverse à gauche de f. On ag◦f =IdA. Soitx, y∈A tels quef(x) =f(y). On ag(f(x)) =xet g(f(y)) =y. D’oùx=y (car g◦f =IdA). Puis f est injective. (⇐) Soitf une injection deAdansA. Soitg : A→Ala fonction qui à y ∈Im(f) associe l’uniquex tel quef(x) =y, et à y ∈A\Im(f)associe y. On a alors pour toutx∈A,f(x)∈Im(a), doncg(f(x))est égal àx. Puisg◦f est la fonction identité.
2. (⇒)Soitf : A →A qui admet un inverse à droite. Soitg : A→ A un inverse à droite de g. On a f◦g=IdA. Soitx∈A. On a f(g(x)) =x, donc x∈Im(f). Puisf est surjective. (⇐) Soit f une surjection de Adans A. Soit g : A →Ala fonction qui à x∈ Aassocieh({y ∈A |f(y) =x}) (h est bien défini carf est surjective). On a alors pour tout x∈A, g(x) =h({y∈A|f(y) =x}). Puis g(x)∈ {y∈A|f(y) =x}. D’où,f(g(y)) =y. Puisf◦g est la fonction identité.
2
Propriété 5.1. Soit A un ensemble, soit ⊗une loi interne sur A, qui admet un élément neutre ε. Alors, l’élément x est un inverse à droite de l’élément y pour ⊗ si et seulement si l’élément y est un inverse à gauche de l’élémentxpour⊗.
Preuve SoitAun ensemble et ⊗une loi interne surA, qui admet un élément neutre ε. Soientxet y deux éléments deA.
1. (⇒) Si l’élémentxest un inverse à droite de l’élémenty, alorsx⊗y=ε, puis l’élémentyest un inverse à gauche de l’élémentx.
2. (⇐) Si l’élément y est un inverse à gauche de l’élément x, alors y⊗x= ε, puis l’élément x est un inverse à droite de l’élémenty.
2
Propriété 5.2. SoitAun ensemble, soit⊗une loi interne associative surA, qui admet un élément neutre, et soit x un élément deA. Si l’élément xa un inverse à gauche pour ⊗, alors pour tous éléments y, z de l’ensemble A, six⊗y=x⊗z alorsy=z.
On dit alors que l’élémentxest simplifiable à gauche.
Preuve SoitAun ensemble, soit⊗une loi interne associative surA, soitεun élément neutre pour⊗, et soitxun élément deA.
On suppose que l’élémentxa un inverse à gauche. On note cet inversex−1g . Soient maintenanty etz deux éléments deAtels que x⊗y=x⊗z.
On a :
y=ε⊗y (puisqueεest neutre)
y= (x−1g ⊗x)⊗y (puisquex−1g est un inverse à gauche dex) y=x−1g ⊗(x⊗y) (par associativité)
y=x−1g ⊗(x⊗z) (puisquex⊗y=x⊗z) y= (x−1g ⊗x)⊗z (par associativité)
y=ε⊗z (puisquex−1g est un inverse à gauche dex) y=z (puisqueεest neutre)
Doncy=z.
2
Propriété 5.3. SoitAun ensemble, soit⊗une loi interne associative surA, qui admet un élément neutreε et soitxun élément deA. Si x∈Aa un inverse à droite pour ⊗, alors pour tous élémenty,zde l’ensemble A, siy⊗x=z⊗xalorsy=z.
On dit alors que l’élémentxest simplifiable à droite.
Preuve SoitAun ensemble, soit⊗une loi interne associative surA, soitεun élément neutre pour⊗, et soitxun élément deA.
On suppose que l’élémentxa un inverse à gauche. On note cet inversex−1d . Soient maintenanty etz deux éléments deAtels que y⊗x=z⊗x.
On a :
y=y⊗ε (puisqueεest neutre)
y=y⊗(x⊗x−1d ) (puisquex−1d est un inverse à droite dex) y= (y⊗x)⊗x−1d (par associativité)
y= (z⊗x)⊗x−1d (puisquey⊗x=z⊗x) y=z⊗(x⊗x−1d ) (par associativité)
y=z⊗ε (puisquex−1d est un inverse à droite dex) y=z (puisqueεest neutre)
Doncy=z.
2
Proposition 5.2. Soit ⊗une loi interne associative sur un ensemble A, qui admet un élément neutreε.
Soit xun élément de A. On suppose l’existence de deux éléments xd, xg ∈A tels quexd soit un inverse à droite dexet que xd soit un inverse à gauche de xg. Alorsxd=xq (et doncxest inversible).
Preuve Soit⊗une loi interne associative sur un ensembleA, qui admet un élément neutreε. Soient x, xd, xg trois éléments deA. On suppose que xd est un inverse à droite dexet xg est un inverse à gauche dex.
On a :
xd=xd⊗ε(puisqueεest un élément neutre)
xd=xd⊗(x⊗xg)(puisquexg est un inverse à gauche dex) xd= (xd⊗x)⊗xg(puisque⊗est associative)
xd=ε⊗xg(puisquexd est un inverse à droite dex) xd=xg(puisqueεest un élément neutre) 2
Proposition 5.3. Soit⊗une loi interne associative sur un ensembleA, qui admet un élément neutreε. Soit xun élément de A. Si l’élément xest inversible, alors il existe un unique élément y∈A tel que x⊗y =ε ety⊗x=ε.
Preuve Soit⊗une loi interne associative sur un ensembleA, qui admet un élément neutre.
Soitxun élément deA.
Soienty et zdeux inverses de l’élémentx.
Par définition,yet zsont des inverses à gauche dex.
Donc,y⊗x=εet z⊗x=ε.
Ainsiy⊗x=z⊗x.
Ory est, par définition, un inverse à droite de xet, de plus,⊗est associative.
Donc, par la propriété 5.3,xest simplifiable à droite.
Puisy =z.
2
Définition 5.2. Soit ⊗une loi interne associative sur un ensemble A, qui admet un élément neutre ε. Si x∈A est inversible, l’unique élémenty ∈A tel que x⊗y =ε et y⊗x=ε est appelé inverse dex, et est notéx−1.
Propriété 5.4. SoitAun ensemble, soit⊗une loi interne associative surA, qui admet un élément neutre. Si l’élémentxest inversible, alors son inverse est inversible et l’inverse de l’inverse de l’élémentxest l’élément x.
Preuve Soit⊗une loi interne associative sur un ensembleA, qui admet un élément neutreε, etxun élément inversible A. On note ε l’élément neutre. On sait que x−1 est l’inverse de x. En particulier, c’est un inverse à droite dex, puis par la propriété 5.1,xest un inverse à gauche dex−1. De plus,x−1 est aussi un inverse à gauche dex, puis par la propriété 5.1,xest un inverse à droite dex−1. Ainsi, xest l’inverse à droite et à gauche dex−1. Doncx−1est inversible, et son inverse estx.
2
Propriété 5.5. SoitAun ensemble, soit⊗une loi interne associative surA, qui admet un élément neutre.
Soientxety∈A deux élément inversibles. Alorsx⊗y est inversible, de plus : (x⊗y)−1=y−1⊗x−1.
Preuve SoitAun ensemble, soit⊗une loi interne associative surA, qui admet un élément neutreε.
Soientxety∈A deux élément inversibles.
On a :
(y−1⊗x−1)⊗(x⊗y) =y−1⊗(x−1⊗(x⊗y)) (par associativité) (y−1⊗x−1)⊗(x⊗y) =y−1⊗((x−1⊗x)⊗y) (par associativité)
(y−1⊗x−1)⊗(x⊗y) =y−1⊗(ε⊗y) (carx−1 est l’inverse dex) (y−1⊗x−1)⊗(x⊗y) =y−1⊗y (carεest un élément neutre) (y−1⊗x−1)⊗(x⊗y) =ε (cary−1 est l’inverse dey)
Et, quitte à remplacery parx−1 et xpary−1 dans le calcul précédent, et en appliquant(x−1)−1 =x et (y−1)−1=y, on a également :(x⊗y)⊗(y−1⊗x−1) =ε.
Donc(y−1⊗x−1)est bien l’inverse de x⊗y.
2
Propriété 5.6. SoitAun ensemble, soit ⊗une loi interne associative et commutative sur A, qui admet un élément neutre. Soientxety∈A deux élément inversibles. Alorsx⊗y est inversible, de plus :
(x⊗y)−1=x−1⊗y−1.
Preuve SoitAun ensemble, soit⊗une loi interne associative surA, qui admet un élément neutreε.
Soientxety∈A deux élément inversibles.
D’après la propriété 5.5,x⊗y est un élément inversible de A, et de plus, on a :(x⊗y)−1= (y−1)⊗(x−1).
Puis, comme⊗est commutative, on obtient :(x⊗y)−1= (x−1)⊗(y−1).
2
Propriété 5.7. Il existe des lois associatives non commutatives, munies d’un élément neutre, dont tous les éléments ont un inverse, et qui ne vérifient pas la propriété 5.6.
Preuve Par exemple, nous considérons un ensembleAà trois éléments {a, b, c} distincts deux à deux.
Nous considéronsBij(A)l’ensemble des bijections deAdansA, muni de la composition◦des fonctions.
1. La loi◦est bien une loi interne, car la composée de deux bijection deAdansA, est bien une bijection deAdansA.
2. De plus, la composition est bien associative.
3. Enfin, la fonction identité surAest une bijection, et c’est l’élément neutre de la loi◦ surBij(A).
4. Enfin chaque bijection admet un inverse, qui est aussi une bijection deAdansA.
5. Notons :
f :
A→A a7→b
b7→a g :
A→A a7→c b7→b
On a :
(f◦f)(a) =f(f(a)) (f◦g)(a) =f(g(a)) (g◦f)(a) =g(f(a)) (g◦g)(a) =g(g(a)) (f◦f)(a) =f(b) (f◦g)(a) =f(c) (g◦f)(a) =g(b) (g◦g)(a) =g(c) (f◦f)(a) =a (f◦g)(a) =c (g◦f)(a) =b (g◦g)(a) =a
(f◦f)(b) =f(f(b)) (f◦g)(b) =f(g(b)) (g◦f)(b) =g(f(b)) (g◦g)(b) =g(g(b)) (f◦f)(b) =f(a) (f◦g)(b) =f(b) (g◦f)(b) =g(a) (g◦g)(b) =g(b) (f◦f)(b) =b (f◦g)(b) =a (g◦f)(b) =c (g◦g)(b) =b
(f◦f)(c) =f(f(c)) (f◦g)(c) =f(g(c)) (g◦f)(c) =g(f(c)) (g◦g)(c) =g(g(c)) (f◦f)(c) =f(c) (f◦g)(c) =f(a) (g◦f)(c) =g(c) (g◦g)(c) =g(a) (f◦f)(c) =c (f◦g)(c) =b (g◦f)(c) =a (g◦g)(c) =c
Ainsi,f◦g6=g◦f.
De plus,f◦f =IdA, doncf−1=f. De même,g◦g=IdA, doncg−1=g.
D’après la propriété 5.5, on a :(f ◦g)−1= (g−1)◦(f−1).
Puis,(f ◦g)−1=g◦f.
Org◦f 6=f◦g.
Etf◦g= (f−1)◦(g−1).
Donc(f ◦g)−16= (f−1)◦(g−1).
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Proposition 5.4. Soit⊗ une loi interne associative sur un ensemble A, qui admet un élément neutre. Si tous les éléments de Aont un inverse à droite, alors tous les éléments deA sont inversibles.
Preuve Soit⊗une loi interne sur un ensemble A, qui admet un élément neutre.
On suppose que tous les éléments deAont un inverse à droite pour la loi⊗. Soitxun élément deA.
Soitxd∈A un inverse à droite dexpour la loi⊗.
Soitxdd un inverse à droite dexd pour la loi⊗.
On a :
xdd=ε⊗xdd (carεest neutre)
xdd= (x⊗xd)⊗xdd (carxd est un inverse à droite dex) xdd=x⊗(xd⊗xdd) (par associativité)
xdd=x⊗ε (carxdd est un inverse à droite dexd) xdd=x (carεest neutre)
Donc :
xd⊗x=xd⊗xdd
xd⊗x=ε (carxdd est un inverse à droite dexd) Doncxd est aussi un inverse à gauche dex. Puis c’est l’inverse dex.
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