Lois de compositions internes, groupes

Lois de compositions internes, groupes

1 Loi de composition interne

1.1 D´efinition

D´efinition.SoitEun ensemble. On appelleloi de composition internedeEune application : EE Ñ E pa, bq ÞÑ ab Remarque.

D´efinition.Une partieFdeEmuni d’une loi de c.i.est ditestableparsi et seulement si :@pa, bq PF², abPF

On dit que induit une nouvelle loi de c.i. surF.

Exemple.

1.2 Propri´et´es des lois de c.i.

D´efinition. Soit une loi de c.i. surE.

(a) est commutativesi et ssi :@pa, bq PE², abba

(b) est associativesi et ssi :@pa, b, cq PE³, a pbcq pabq c

(c) ePE est un´el´ement neutre de si et ssi :@xPE, exxex

(d) (Dans le cas o`u poss`ede un ´el´ement neutre e)

Soit xPE. S’il existe x¹ PE t.q.xx¹ x¹xe, on dit quex¹ est unsym´etrique dex pour la loi.

Remarque.

Exemple. SoitE PpFq muni des deux lois de c.i.X etY. En ´etudier les propri´et´es.

Exemple. Soit E R^R FpR,Rq muni de la loi . Montrer que c’est une loi de c.i. dont on donnera les propri´et´es.

Propri´et´e. Soit une loi de c.i. surE. Si admet un ´el´ement neutre, il est unique.

Propri´et´e. Soit une loi de c.i. sur E, associative, admettant un ´el´ement neutre e et soit x P E. Si x a un

sym´etrique pour , alors il est unique.

Notation. SoitEun ensemble muni d’une loi de c.i.associative et poss´edant un ´el´ement neutre. Un ´el´ementx

qui admet un sym´etrique est ditinversible(ou parfois sym´etrisable), et son sym´etrique s’appelle soninverse,

not´e x¹.

Lorsque la loi est not´ee additivement ( ), le sym´etrique de x est not´ex et s’appelle l’oppos´e dex.

D´efinition. Soit etldeux lois de c.i. surE. On dit queestdistributive`a gauche sur lsi et seulement si

@pa, b, cq PE³, a pblcq pabqlpacq.

D´efinition. SoitE etF deux ensembles munis respectivement des lois de c.i.etJ. Alors le produit cart´esien

EF est muni d’une loi de c.i. appel´eeloi produitd´efinie par :pa, bq♦pa¹, b¹q paa¹, bJb¹q

2 Structure de groupe

2.1 D´efinition

D´efinition. Soit Gun ensemble non vide muni d’une loi de c.i. . On dit quepG,qest un groupesi et ssi

• est associative ;

• poss`ede un ´el´ement neutree;

• Tout ´el´ementx a un sym´etrique dansGpour .

Si en plus est commutative, on ditque le groupe est commutatif ouab´elien.

Exemple.

Exemple.

2.2 Propri´et´es

Propri´et´e.

(a) L’´el´ement neutre est unique.

(b) Dans un groupe pG,q, tout ´el´ement a un sym´etrique unique.

(c) Dans un groupe pG,q, tout ´el´ement estr´egulier, c’est-`a-dire @pa, b, cq PG³, acbcùñab

(d) @pa, bq PG², pabq¹b¹a¹

2.3 Sous-groupes

D´efinition. Soit pG,qun groupe et H€Gtel que

(0) H€G

(1) H∅;

(2) @pa, bq PH², abPH;

(3) @aPH, a¹ PH.

On dit que H est unsous-groupe de G.

Entre nous.

Propri´et´e. SoitH un sous-groupe depG,q. Alors induit une loi de c.i. surH etH est un groupe.

Th´eor`eme.

H €G,pG,qgroupe.H est un sous-groupe deGsi et ssi

(1) H ∅;

(2’) @pa, bq PH², ab¹PH.

Remarque. En notation additive, la seconde condition s’´ecrit :@pa, bq PH², abPH Exemple.

Remarque. Dans la pratique, pour montrer qu’un ensemble est un groupe, on peut :

• revenir aux axiomes ;

• montrer que c’est un sous-groupe d’un groupe connu.

C’est souvent la seconde m´ethode que l’on utilise dans les exercices.

Propri´et´e. Toute intersection quelconque de sous-groupes d’un groupeGest un sous-groupe de G.

Remarque.

Th´eor`eme.

FixonsaP Zet posons aZ tx t.q.DkP Z, xaku.

AlorsaZest un sous-groupe de pZ, q, et tous les sous-groupes deZsont de cette forme.

Corollaire. aZ bZet aZ XbZsont des sous-groupes de Z, d’o`u pgcd et ppcm.

2.4 Morphismes de groupes

D´efinition. SoitpG,q, pG¹,Jq deux groupes,f : GÑG¹ une application.f est unmorphisme de groupes

si et seulement si @px, yq PG², fpxyq fpxqJfpyq.

Si de plus f est bijective, on parle d’ isomorphisme.

Si de plus GG¹, on parle d’endomorphisme.

Si de plus f est bijective et GG¹, on parle d’ automorphisme.

Remarque. Dire queG etG¹ sontisomorphes, c’est direqu’il existe un isomorphisme de groupes GÑG¹. Entre nous.

Exemple.

Propri´et´e. L’ensemble des automorphismes d’un groupe G est un sous-groupe de pBijpGq,q, appel´e groupe des automorphismes et not´e AutpGq.

Exemple.

Propri´et´e. SoitpG,q, pG¹,Jqdeux groupes dont les ´el´ements neutres sont respectivementeete¹, et soitf un

morphisme de groupe de GÑG¹. Alors

(a) fpeq e¹;

(b) @xPG, fpx¹q rfpxqs¹;

(c) @xPG, @nP Z, fpxⁿq rfpxqsⁿ.

Th´eor`eme.

Soit pG,q, pG¹,Jqdeux groupes, f un morphisme de groupe deGÑG¹.

• SiH sous-groupe de G, alorsfpHq sous-groupe deG¹;

• SiH¹ sous-groupe de G¹, alorsf¹pH¹q sous-groupe de G.

D´efinition.

• Le noyau de f estKerf f¹pte¹uq txPGt.q. fpxq e¹u.

• L’imagede f est Imf fpGq tyPG¹ t.q.DxPGavec yfpxqu.

Propri´et´e. CommeGette¹u sont des sous-groupes deG etG¹, Imf et Kerf sont des sous-groupes deG¹ etG , d’apr`es le th´eor`eme pr´ec´edent.

Th´eor`eme.

On conserve les mˆemes notations. On a :

(a) f est injectif ðñ Kerf teu

(b) f est surjectif ðñ Imf G¹

24.1SurEs1,1r,ond´efinitlaloipar: @pa,bqPE2 ,abab 1ab (a)V´erifierquec’estuneloidecompositioninterne,et´etudierles propri´et´esdecetteloi. (b)QuelleestlastructuredepE,q? (c)Montrerquef:xÞÑex1 ex1estunmorphismedepR,qvers pE,q. lcigroupes_1.tex 24.2 (a)

´ Etudierlespropri´et´esdesloisdecompositioninterneX,Y,Msur PpEq. (b)Ond´efinitdeuxnouvellesloisdecompositioninterneetJsur PpEqpar " XAYBsiAXB∅ ABAJBAYApBqE EsiAXB∅ BYAEpAq

´ Etudierlespropri´et´esdeceslois. (c)Comments’appellelastructuredepPpEq,Mq?depPpEq,Jq? lcigroupes_2.tex 24.3SurQQ,ond´efinituneloidecompositioninternef: 11211111 @pa,bq,pa,bqPpQQq,pa,bqfpa,bqpaa,babq

´ Etudierlespropri´et´esdecetteloi.Quelssontles´el´ementsdeQQ ayantunsym´etriquepourlaloif? lcigroupes_3.tex ( 24.4MontrerqueAf:RÑR;pa,bqPRRest xÞÑaxb ungroupepourlaloi.Est-ilcommutatif? lcigroupes_4.tex 2 24.5SoitpG,qungroupetelquepourtoutxdeG,xe.Montrer queGestcommutatif.

lcigroupes_5.tex 24.6SoitGtα,β,γ,δu,o`uα,β,γ,δsontlesapplicationsde RÑRd´efiniespar: αpxqxβpxq1 xγpxqxδpxq1 x MontrerquepG,qestungroupedontondonneralatabledecompo- sition. lcigroupes_6.tex 24.7SoitERrt0,1uetlesapplicationssuivantes,d´efiniesde EÑE: f1:xÞÑxf2:xÞÑ1xf3:xÞÑ1 1x f4:xÞÑ1 xf5:xÞÑx x1f6:xÞÑx1 x MontrerqueGtf1,...,f6uestungroupepourlacomposition.En d´eterminertouslessous-groupes.Quelestlepluspetitgroupeconte- nantf2?contenantf3?contenantf2etf3?lcigroupes_19.tex 24.8 (a)Montrerquelatabledecompositiond’ungroupefiniestuncarr´e latin,c’est-`a-direquechaque´el´ementdugroupeapparaˆıtunefois etuneseuledanschaqueligneetchaquecolonne. (b)Formerlatabledesgroupes`a1,2,3et4´el´ements. lcigroupes_7.tex 24.9Montrerqueleproduitcart´esiendedeuxgroupesestencore ungroupe.lcigroupes_8.tex 24.10DonnerlesloisetlestablesdecompositionsdeZ{4Zet Z{2ZZ{2Z.Est-cequecesontdesgroupes?Sont-ilsisomorphes? lcigroupes_33.tex 24.11SoitpG,qungroupe.OnappellecentredeGl’ensemble CpGqtaPG|@xPG,axxau D´emontrerqueCpGqestunsous-groupedeG,etd´eterminerCpGq lorsqueGestcommutatif.lcigroupes_9.tex

24.12SoitpG,qungroupeetA€G.Onpose: NpAqtxPGt.q.@aPA,Dpa1 ,a2 qPA2 t.q.axxa1 etxaa2 xu MontrerqueNpAqestunsous-groupedeG.lcigroupes_21.tex 24.13Quepenserdel’intersectionetdelar´euniondedeuxsous- groupes? lcigroupes_10.tex 24.14SoitpG,qungroupe,HunepartiestabledeG(c’est-`a-dire @px,yqPH2 ,xyPH).OnsupposequeHestfinieetnonvide. (a)SoitaPH;d´emontrerqueφ:N ÑH nÞÑann’estpasinjec- tive; (b)End´eduirequeePH,puisqueHestunsous-groupedeG. lcigroupes_11.tex 24.15PouraPR,onnoteaZtyPRt.q.DnPZ,yanu. D´emontrerquepaZ,qestunsous-groupedepR,q. lcigroupes_12.tex 24.16MontrerquelesgroupespQ,qetpQ ,qnesontpas isomorphes,c’est-`a-direqu’iln’existepasd’isomorphismedegroupes entrelesdeux. lcigroupes_13.tex 24.17SoitEunensemblefininonvide,munid’uneloidecom- positioninterneassociative.Onsupposequetout´el´ementdeEest r´egulier.MontrerqueEestalorsungroupe. Cer´esultatest-ilencorevraisiEestinfini?lcigroupes_17.tex 24.18SoitGungroupenot´emultiplicativement,Hunsous-groupe deGetaun´el´ementdeG.MontrerqueaHa1 estunsous-groupede G.lcigroupes_18.tex 24.19OnmunitRdelaloi: ab3a a3b3 MontrerquepR,qestisomorphe`apR,q.End´eduirequepR,qest ungroupeab´elien.lcigroupes_20.tex

24.20SoitpG,qungroupe.PourtoutaPG,ond´efinit fa:GÑG xÞÑaxa1 (a)D´emontrerquefaestunautomorphisme(onparle d’automorphismeint´erieur).D´eterminerfeo`ueestl’´el´ement neutredeG.SiGestcommutatif,quepeut-ondiredefa? (b)D´emontrerque@pa,bqPG2 ,fbfafba; (c)SoitIntpGqtfa,aPGu. (c.1)D´emontrerquepIntpGq,qestungroupeetque ϕ:GÑIntpGq aÞÑfa estunmorphismesurjectifdegroupes; (c.2)D´emontrerqueKerϕCpGq; (c.3)DonneruneC.N.S.pourqueGetIntpGqsoientisomorphes parϕ; (d)(d.1)SoitAutpGql’ensembledesautomorphismesdeG.D´emon- trerquesiGestnoncommutatif,AutpGqn’estpasr´eduit `atIdGu; (d.2)D´emontrerque,lorsqueGestcommutatifetqu’ilexiste x0PGtelquex^{2 0}e,alorsAutpGqn’estpasr´eduit`a tIdGu. lcigroupes_16.tex 24.21SoitGungroupedecardinalfini.SoitHunsous-groupede G. (a)MontrerquelarelationxRyðñxy1 PHestunerelation d’´equivalence. (b)End´eduirequeCardH|CardG. lcigroupes_34.tex 24.22Onconsid`ereuncarr´eABCDdansleplan. (a)D´eterminerl’ensembleGdetouteslesisom´etrieslaissantgloba- lementinvariantlecarr´e. (b)QuediredelastructuredepG,q? lcigroupes_35.tex