LM-125 Calcul Matriciel, deuxi`eme semestre 2009-2010 Universit´e Pierre et Marie Curie
Feuille de TD 5 : Applications Lin´eaires et Matrices
Exercice 1.Ecrire les matrices associ´ees `a toutes les applications lin´eaires qui figurent dans l’exercice 1 de la feuille TD4.
Exercice 2.Soitf :R3 →R2l’application lin´eaire d´efinie par
f(x, y, z) = (x+y, y+z).
1. D´eterminer la matrice associ´ee `af dans les bases canoniques.
2. Donner une base deKer(f)et deIm(f). L’applicationf est-elle injective ? Surjective ? Bijective ?
Exercice 3. Soit f : R4 7→ R4 l’endomorphisme de l’espace vectoriel R4 dont la matrice dans la base canonique deR4est
1 −1 1 2
3 −3 0 6
−5 5 2 −10
2 −2 2 4
1. D´eterminer le noyau et l’image def. Donner les bases ainsi que la dimension de ces espaces.
2. L’applicationf est-elle surjective ? injective ? bijective ?
3. Est-ce qu’on peut repr´esenterR4comme somme directe du noyau et de l’image def.
Exercice 4.SoientE etF deuxK-espaces vectoriels de dimensions finies tels que dimE= 4et dimF = 3, de bases respectives BE = {e1, e2, e3, e4} et BF = {f1, f2, f3}. Soit u : E 7→ F l’application lin´eaires d´efinie par
u(e1) = f1+f2+f3 u(e2) = −f1+f2−f3 u(e3) = 2f1+f2+f3 u(e4) = −2f1−f2
1. Donner la matrice deudans les basesBE etBF.
2. D´eterminer le noyau et l’image deu. Donner les bases ainsi que les dimensions de ces espaces.
3. L’applicationuest-elle surjective ? injective ? bijective ?
Exercice 5.Soitf ∈L(R3)d´efinie parf(x, y, z) = (2y+z, x−4y,3x).
Trouver la matrice def dans la base{(1,1,1),(1,1,0),(1,0,0)}.
Exercice 6. On note p (resp. s) la projection orthogonale (resp. la sym´etrie orthogonale) sur la droite D d’´equationx+ 2y= 0dansR2.
1. Montrer quepetssont des applications lin´eaires et d´eterminer leur matrice dans la base canonique de R2.
2. Quelle est leur matrice dans la base{u, v}o`uu= (1,2)etv= (−2,1)?
1
Exercice 7.SoitE=R3,β = (e1, e2, e3)sa base canonique etu∈L(E)qui envoie chaqueeisure1+e2+e3. 1. DonnerMβ(u).
2. (a) Donner une base(v1, v2)deKer(u).
(b) Donner une base(v3)deIm(u).
(c) Montrer queβ0 = (v1, v2, v3)est une base deE.
3. D´eterminerB =Mβ0(u).
4. (a) Soitn∈N. CalculerBn=Mβ0(un).
(b) En d´eduire l’expression deAn=Mβ(un).
5. Soienta, b ∈ R. D´eterminer les couples(a, b) ∈ R2 tels queaA+bI3 soit inversible. Exprimer alors l’inverse de la matriceaA+bI3comme combinaison lin´eaire deAetI3.
Exercice 8. Dans R3, donner P et P−1 o`u P est la matrice de passage de la base canonique `a la base {(0,1,1),(1,0,1),(1,1,1)}. Calculer la composante du vecteur(1,1,0)dans cette nouvelle base.
Exercice 9.SoitEun espace vectoriel de dimension 2 etB= (u1, u2)une base deE.
1. Montrer que les vecteursv1 =u1+u2etv2 =−u1forme une baseB0 deE.
2. Soitf :E 7→Elin´eaire de matrice
1 0 3 −1
dans la baseB. Donner la matriceA0 def dans la baseB0.
Exercice 10. Soit E l’ensemble des matrices r´eelles de la forme
a b b c
etu : E → E l’application lin´eaire d´efinie par :
a b b c
7→
a+c b b a+b+c
.
1. Montrer queEest un espace vectoriel surRet en trouver une baseB.
2. Montrer queu∈L(E)et d´eterminer la matriceM deupar rapport `a la baseB. Calculer celle deu2. 3. D´eterminer le rang deM, une baseB1deIm(u)et une baseB2 deKer(u).
4. Montrer queB0 =B1∪B2est une base deE. Que peut-on en d´eduire ?
5. D´eterminer les matrices de passagesPdeB `aB0etQdeB0`aB. Calculer sans utiliserPetQla matrice M0deupar rapport `aB0.
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