Exercice 1 - Montrer que les vecteurs

GMP - Maths S2- Espaces vectoriels - Séance 4. Base d’un espace vectoriel.

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Exercice 1 -

Montrer que les vecteurs

(

^{0 1 1 , , ,}

) (

^{1 0 1 et , ,}

) (

1 1 0 forment une base de ^{, ,}

)

ℝ³. Trouver dans cette base les coordonnées du vecteur ^u=

(

^{1 1 1, ,}

)

^.

Exercice 2 -

Montrer que les polynômes

(

^x−1

)

^{2, x2 et}

(

^x+1

)

² forment une base de ^ℝ2

[ ]

^{X .}

Trouver dans cette base les coordonnées du polynôme x²+ +x 1.

Exercice 3 -

Dans un E un ℝ-espace vectoriel E de base ^{B =}

(

^{e e e1, ,2 3}

)

, on définit les trois vecteurs

1 1 2 2 3

u = −e e +e , u₂=2e₁− −e₂ e₃ et u₃= + −e₁ e₂ 2e₃. Est-ce que ^{Vect u u u}

(

^{1, ,2 3}

)

^{=E ?}

Exercice 4 -

Soient F et G les sous-espaces vectoriels de ℝ³ définis par :

( )

{

^{, , 3| 2 0 et}

} { ⁽

^{, ,}

⁾

^{3|2 2 0}

}

F= x y z ∈ℝ x− y+ =z G= x y z ∈ℝ x− +y z= .

1) Donner une base de F et une base de G. Comment interpréter géométriquement ces sous-espaces vectoriels ?

2) Donner une base de F∩G. Comment interpréter géométriquement F∩G ?

Exercice 5 -

Soit a et b deux réels distincts. Montrer que P_ab, l’ensemble des polynômes de ^ℝ4

[ ]

^{X dont a et b sont}

racines, est un sous-espace vectoriel de ^ℝ4

[ ]

^X . Donner une base de P_ab.