un= cosnπ 6 , un= sin 1 √n 3

Facult´e des Sciences de Rabat SMPC-S1

D´epartement de Math´ematiques M3-E1 : Analyse

S´erie d’exercices 2

Exercice 1 Les suites suivantes sont-elle major´ees, minor´ees ? monotones ? : 1. un= n²−25

2n²+ 1, un= (−1)ⁿ 2. un= cosnπ

6 , un= sin 1

√n 3. un=n²+ 1, un= 1

n²+ (−1)ⁿ(n+ 1)

Exercice 2 On consid`ere la suite (un) d´efinie par un=Pn k=1 1

n²+k².

En utilisant le fait que _n2+n^{1 2} 6 _n2+k^{1 2} 6 _n¹2 pour tout 06k6n, donner un encadrement de un. Que peut-on en d´eduire ?

Exercice 3 Soit (un) la suite r´eelle d´efinie par r´ecurrence en posant u0 = 1 et un+1 = √

1 +un si n∈N^∗.

1. Montrer que (u_n) est croissante et major´ee.

2. Montrer que (un) converge vers le nombre r´eel positif ` qui v´erifie `²−`−1 = 0 et calculer `.

3. On suppose maintenant v0 = 1et vn+1=p

1 +v²_n sin∈N^∗. Montrer quevn est croissante non born´ee.

Exercice 4 Etudier la suite (u_n) d´efinie par u₀ = 1 et u_n+1 = 1

2u_n(u²_n−3u_n+ 5) ∀n >0. Montrer que u_n diverge. ( On montrera que u_n+1>ku_n pour un certain k >1.

Exercice 5 Les ´enonc´es suivants sont-ils vrais ou faux ?

1. Une suite `a termes positifs qui tend vers 0 est d´ecroissante `a partir d’un certain rang.

2. Si une suite a une limite strictement positive, tous ses termes sont strictement positifs `a partir d’un certain rang. R´eciproque ?

3. La somme de deux suites converge si et seulement si les deux suites convergent.

Exercice 6 Une m´ethode ancienne ( attribu´ee `a Platon) permettait d’extraire la racine carr´ee d’un nombre par un proc´ed´e it´eratif. Pour calculer la racine carr´ee d’un nombre k construit la suite r´eccurente uo = 1 et un+1 = ^u_u^n+k

n+1. On suppose dans notre cas k= 2.

1. Montrer que 16un62 pour tout n

2. V´erifier que V_n=u_2n etW_n=u_2n+1 monotone

3. En d´eduire que v_n et w_n convergent toute les deux vers √ 2 4. donner √

2 a 4 chiffre apr`es la virgule.

Exercice 7 Dans l exercice pr´ec”dent on au vu calculer √

2; On donne deux autre suites r´ecurrente dont on admet la convergence v₀= 1 ,v_n+1 = ^v₂ⁿ +_v¹

n etw₀ = 1 , x_n+1=x_n^(x_3x²ⁿ2⁺⁶⁾ n+2. 1. Montrer que v_n et x_n converge vers √

2

2. en calculant v₂ et x₂ laquelle des deux suites vous semble la plus efficace.

1

Correction 1 1. u_n= n²−25

2n²+ 1 croissante born´ee 2. u_n= (−1)ⁿ born´ee non monotone

3. un= cosnπ

6 , un alt`erne un nombre fini de valeurs : born´ee non monotone 4. un= sin 1

√n born´ee decroissante 5. un=n²+ 1,croissante non born´ee

6. un= 1

n²+ (−1)ⁿ(n+ 1) born´e non monotone (elle est toutefois decroissante a partir de n= 2) u_n+1−u_n= _(n+1)2−(−1)^{1 n}(n+2)−_n2+(−1)¹ⁿ(n+1) = ^n2+(−1)n(n+1)−((n+1)²−(−1)ⁿ(n+2))

((n+1)²−(−1)ⁿ(n+2))(n²+(−1)ⁿ(n+1))

= _((n+1)2−(−1)^n2−(n+1)n(n+2))(n^2−(−1)2+(−1)^{n) n}(n+1)) 60 pour n>2

Correction 2 _2n¹ 6un6 ¹_n pourn>2. Donc un converge vers z´ero.

Correction 3 u0 = 1 et un+1=√

1 +un si n∈N^∗.

1. Par r´ecurrence 0 6 un 6 2, et on a u0 = 1 6 u1 = √

2 et par induction si un−1 6 un on aurau_n=√

1 +un−1 6√

1 +u_n=u_n+1, donc (u_n) est croissante et major´ee.

2. (u_n) est croissante et major´ee, donc que (u_n) converge vers le nombre r´eel positif ` qui v´erifie l=√

1 +l et par suite `<sup>2</sup>−`−1 = 0. On r´esoud l’ ´equation pour avoirl= ¹⁺

√ 5 2

3. La croissance s obtient de la mˆeme mani`ere,par contre si on suppose qu elle est major´ee, on aura croissante major´ee, donc convergente versl satisfaisant l=√

1 +l² et donc `<sup>2</sup>−`+ 1 = 0 impossible.

Correction 4 On a u_n+1= 1

2u_n(u²_n−3u_n+ 5) = 1

2u_n(u_n−³₂)²+ ¹¹₄)> 11 8 u_n

Correction 5 1. Une suite `a termes positifs qui tend vers 0 est d´ecroissante `a partir d’un certain rang. Faux un= ^exp(−1)_n ⁿ

2. Si une suite a une limite strictement positive, tous ses termes sont strictement positifs `a partir d’un certain rang. Vrais (cours)

R´eciproque Faux u_n= _n¹

3. La somme de deux suites converge si et seulement si les deux suites convergent. Faux u_n=n et v_n= _n¹ −n

Correction 6 On posef(x) = ^x+2_x+1, alorsf est d´ecroissante, on ecritf(x) = 1 +_x+1¹ si on veut eviter la d´eriv´ee.

1. par induction 16un62 on aura f(2)6f(un)6f(1) ce qui donne 16un+162

2. vn et wn verifient vn+1 =f of(vn) et wn+1 =f of(wn) et comme f of croissante, implique que u_2n et u_2n+1 sont monotones

3. les deux suiteS sont monotones born´ees, donc convergente versl₁etl₂ respectivement. On r´esoud l1=f(l2 etl2 =f(l1 pour trouver l1 =l2=√

2.

Correction 7 1. On passe a la limite dans la formule de xn et de vn pour montrer que l=√ 2 2. par la calculatrice√

2 = 1,4142135623730950488016887242096980. On av1 = 1.5, v2 = 1.41, v2= 1,41421 et x₁ = 1.41x₂= 1,414213, x₃= 1,414213562373095048

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