GMP - Maths S2- Séance 4. ED du 1er ordre : cas général.
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Exercice 1 -
Résoudre les équations suivantes, se ramenant au premier ordre.
a. xy′′−2y′=0 b. xy′′+ =y′ 0 c. y′′+3y′=4sinx+cosx
Exercice 2 -
Résoudre les équations homogènes suivantes : y′′− y′+ y=
a. 3 2 0 b. y′′−4y′+4y=0 c. y′′−2y′+5y=0
( ) ( )
; ; 2
d. y′′+4y′+4y=0 f 0 =1 f′ 1 =e−
Exercice 3 -
Un condensateur a été préalablement chargé (charge totale conte- nue : Q, en coulombs). Sa capacité est C, en farads (coulombs par volt). Il est ensuite mis en place dans un circuit ouvert (figure ci- contre), en série avec une résistance (R, en ohms) et une bobine (inductance L, en henry).
Lorsqu’on ferme le circuit, les charges + et – contenues dans l’une et l’autre plaque du condensateur peuvent circuler (décharge du condensateur, jusqu’à équilibre), créant ainsi dans le circuit un cou- rant d’intensité variable.
La tension aux bornes du condensateur vaut : =
( )
tC
u q
C , où q est la quantité de charge encore présente dans le condensateur à l’instant t.
La tension aux bornes de la résistance est uR =R i.
( )
t , où i est l’intensité du courant à l’instant t, par défi- nition : le débit de charges électriques ; donc= −dt d i q.
La tension aux bornes de la bobine est en avance de phase de 90° par rapport à la tension aux bornes de la résistance et est .
= dt
L d
u L i .
1) Justifier que lors de la décharge, la quantité de charge restante, q(t), vérifie l’équation différentielle :
′′+ ′+ =q 0 Lq Rq
C .
2) On considère l’application numérique suivante :
R = 500 Ω ; L = 200 mH = 200×10-3 H ; C = 5 µF = 5×10-6 F.
Résoudre dans ces conditions l’équation différentielle ci-dessus.
(On rappelle que dans le cas où l’équation caractéristique possède deux racines réelles r1 et r2, les solutions de l’équation différentielle sans second membre sont q=Aer1t+Ber2t)
3) Étant donné qu’à t = 0, q = Q = 0,5 coulomb et i = 0, déterminer les valeurs des deux constantes de la fonction q.
4) Vérifier que la charge q est une fonction positive et strictement décroissante du temps.
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Exercice 4 -
Les fonctions q1 et q2 de la variable réelle t≥0 représentent l’évolution dans le temps des charges de deux condensateurs d’un circuit électrique. q1(0) = Q (posi- tif) et q2(0) = 0. Les lois de l’électricité donnent le système ci-contre :
1) En dérivant ces deux expressions, puis en effectuant des substitutions adé- quates, montrer que le système implique 2 3 2 5 2
2 16 0
′′+ ′+ =
q q q .
2) Résoudre cette équation différentielle.
3) a. Grâce à une combinaison linéaire des deux équations du système, montrer que : 1 2 1 2
′ 2
= +
q q q
b. Ecrire alors q1 en fonction du temps.
4) Utiliser les conditions initiales données dans l’énoncé pour déterminer les expressions définitives de q1
et q2 en fonction du temps.
1 1 2
2 2 1
3 16 5 16
′ + =
′+ = − ′
q q q
q q q
