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13. Calcul approch´e d’une int´egrale

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Academic year: 2022

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TSI - Travaux Pratiques d’informatique

13. Calcul approch´e d’une int´egrale

Nous utiliserons dans ce TP le langage de programmationPython au moyen de l’environnement de d´evelop- pementIDLE.

Le but du TP est de calculer une valeur approch´ee de l’int´egrale I = Z 1

0

4 1 +x2dx.

1. Calculer la valeur exacte de l’int´egraleI.

2. Cr´eer en langage Python une fonction de la variable nnomm´ee subdivision permettant de cr´eer une liste de n+ 1 flottants de 0 `a 1 en progression arithm´etique.

(par exemple pour l’entr´een= 4 la fonction doit renvoyer la liste [0, 0.25, 0.5, 0.75, 1])

3. Cr´eer en langage Python une fonction de la variable l nomm´ee image permettant d’obtenir la liste des images par la fonction f :x7→ 4

1 +x2 des valeurs d’une listel.

(par exemple pour l’entr´eel= [1, 2, 3] la fonction doit renvoyer la liste [2.0, 0.8, 0.4])

4. Cr´eer en langage Python une fonction des variables l, a et b nomm´ee somme permettant de calculer la somme des valeurs d’indices compris entre aetbd’une listel.

(par exemple pour l’entr´eel= [0, 1, 2, 3, 4],a= 1 etb= 3, la fonction doit renvoyer la valeur 6)

5. Utiliser les fonctionssubdivision,image etsomme pour cr´eer en langage Python une fonction de la variable nnomm´ee rectangle permettant de calculer 1

n

k=n1

X

k=0

f k

n

. V´erifier querectangle(100) approcheI `a 102 pr`es.

6. Utiliser les fonctionssubdivision,image etsomme pour cr´eer en langage Python une fonction de la variable nnomm´ee trapeze permettant de calculer 1

n

f(0) +f(1)

2 +

k=n1

X

k=1

f k

n !

. V´erifier quetrapeze(100) approche I `a 104 pr`es.

7. Cr´eer en langage Python une fonction des variables l,aetb nomm´eepseudosomme permettant de calculer la somme des valeurs d’indices compris entreaetbd’une listelen comptant double celles d’indices impairs.

8. Utiliser les fonctionssubdivision,imageetpseudosomme pour cr´eer en langage Python une fonction de la va- riablennomm´eesimpsonpermettant de calculer 1

3n

f(0) +f(1)

2 + 2

k=n1

X

k=0

f

2k+ 1 2n

+

k=n1

X

k=1

f 2k

2n !

. V´erifier quesimpson(50) approcheI `a 1013 pr`es.

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TSI - Travaux Pratiques d’informatique 13. Calcul approch´e d’une int´egrale

R´ eponses

1) I = 4 arctan(1)−4 arctan(0) =π.

2) def subdivision(n):

’’’retourne une liste de n+1 flottants de 0 `a 1 en progression arithm´etique’’’

l=[]

for k in range(0,n+1):

l.append(k/n) return(l)

3) def image(l):

’’’retourne les images des ´el´ements de l par la fonction x->4/(1+x^2)’’’

L=[]

for k in range(0,len(l)):

L.append(4/(1+l[k]**2)) return(L)

4) def somme(l,a,b):

’’’calcul de la somme des valeurs de l d’indices compris entre a et b’’’

s=0

for k in range(a,b+1):

s=s+l[k]

return(s)

5) def rectangle(n):

’’’calcul d’une valeur approch´ee de pi par la m´ethode des n rectangles’’’

x=subdivision(n) y=image(x) s=somme(y,0,n-1) return(s/n)

6) def trapeze(n):

’’’calcul d’une valeur approch´ee de pi par la m´ethode des n trap`ezes’’’

x=subdivision(n) y=image(x) s=somme(y,1,n-1)

return((s+(y[0]+y[n])/2)/n)

7) def pseudosomme(l,a,b):

’’’calcul de la somme des valeurs de l d’indices compris entre a et b en comptant double les valeurs d’indices impairs’’’

s=0

for k in range(a,b+1):

if k%2==0:

s=s+l[k]

else:

s=s+2*l[k]

return(s)

8) def simpson(n):

’’’calcul d’une valeur approch´ee de pi par la m´ethode de simpson’’’

x=subdivision(2*n) y=image(x)

s=pseudosomme(y,1,2*n-1)

return((s+(y[0]+y[2*n])/2)/(3*n))

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