REVISIONS - Techniques de calcul d’int´ egrale sur un segment [a, b]

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Lyc´ee Dominique Villars Cours - Exercices ECE 2

REVISIONS - Techniques de calcul d’int´ egrale sur un segment [a, b]

Lorsqu’une fonction f est continue sur un segment [a, b], celle-ci possède une primitive F qui permet de définir l’intégrale def entre les bornes aetb:

Z b a

f(t) dt = F(b)−F(a)

La connaissance d’une intégrale relève toujours de la détermination d’une primitive. Cependant, compte tenu de la difficulté d’obtention de primitives de certaines fonctions, il existe plusieurs techniques afin de faciliter les calculs : la formule d’intégration par parties (IPP) et la formule de changement de variable.

¶ Comment d´eterminer une primitive de f, lorsque cela est possible ?

Chercher `a observersi cela est possible) l’expressionf(x) sous une des formes suivantes :

f(x) =K×u⁰(x)×(u(x))^α K∈R, u(x) f onction de x et α∈R− {−1}

f(x) =K×u⁰(x)

u(x) K∈R, u(x) f onction de x f(x) =K×u⁰(x)×e^u(x) K∈R, u(x) f onction de x

Si il est possible d’ecriref(x) sous l’une des formes ci-dessus alors, les formules de primitivation s’appliquent. On a F primivite def selon les liens suivants :

f(x) =K×u⁰(x)×(u(x))^α F(x) = K× (u(x))^α+1

α+ 1 α6=−1

f(x) =K×u⁰(x)

u(x) F(x) = K×ln|u(x)|

f(x) =K×u⁰(x)×e^u(x) F(x) = K×e^u(x)

Exemples :

À Soit f(x) = x

(x²+ 1)² alors :

f(x) = x×(x²+ 1)⁻² = 1

2×2x×(x²+ 1)⁻² = 1

2 ×u⁰(x)(u(x))⁻² avec u(x) =x²+ 1 Une primitive de f est alors F d´efinie par

F(x) = 1

2 ×(u(x))⁻²⁺¹

−2 + 1 = 1

2×(x²+ 1)⁻¹

−1 = −1 2× 1

x²+ 1 = − 1 2(x²+ 1) Á Soit g(x) = 12x+ 3

2x²+x alors :

g(x) = 3× 4x+ 1

2x²+x = 3× u⁰(x)

(u(x) avec u(x) = 2x²+x Une primitive de g est alors G d´efinie par

G(x) = 3 ln

2x²+x

Â Soit h(x) = e^1/x

x² alors :

h(x) = (−1)×−1

x² ×e^1/x = (−1)×u⁰(x)e^u(x) avec u(x) = 1 x 1

(2)

Une primitive de h est alors H d´efinie par

H(x) = (−1)e^1/x

Calculer la valeur de chacune des int´egrales suivantes : L₁ =

Z 1

−1

xe^2x²⁺¹ dx L₂ = Z 1

0

e^2x e^2x+ 13

dx L₃ =

Z e 1

(lnx)⁴ x dx

R1 = Z 1

0

e^x

e^x+ 3 dx R2 = Z 1

0

√ x

2x²+ 1 dx R3 = Z e²

e

1 xlnx dx I₁ =

Z 2 1

dx

x³ I₂ =

Z 9 4

2dx

√x I₃ = Z 4

1

dx 3x√ x I₅ =

Z e 1

(ln(x)−4)²

x dx I₆ =

Z 3 2

2x

−x²+ 3 dx I₇= Z 2e

e

1 xlnx dx I8=

Z 2 0

e^2x dx I9 = Z 1

0

e^3+ln(x+2)

x+ 2 dx I10= Z 4

1

(x²+ 1)e^−x³^−3x+56dx Exercice 1.

· Comment utiliser la formule d’IPP ?

Soientu etv deux fonctions de classe C¹ sur l’intervalle [a, b] alors Z b

a

u⁰(t)v(t)dt= [u(t)v(t)]^b_a − Z b

a

u(t)v⁰(t)dt Th´eor`eme.

Exemples.

À On souahite calculer l’int´egrale

I = Z 2

1

tln(t)dt

Pour cela aucune des formules vues précédemment ne permet de déterminer une primitive de la fonction f(t) =tlnt

Par contre, nous pouvons décomposer cette fonction comme le produit de deux fonctions t → t et t → lnt. La formule d’intégration par partie nous permet de nous ramener au calcul de l’intégrale du produit de la dérivée de l’une par une primitive de l’autre. Définissons ainsi les fonctions :

u(t) =t²

2 v(t) = lnt On observe alors que u et v sont de classe C¹ sur l’intervalle [1,2]et que

u⁰(t) =t v⁰(t) = 1 t D’apr`es la formule d’IPP, on d´eduit que

I = Z 2

1

u⁰(t)v(t)dt = [u(t)v(t)]²₁ − Z 2

1

u(t)v⁰(t)dt

=

t²lnt 2

2 1

− Z 2

1

t² 2 ×1

t dt

=

2²ln 2

2 − 1²ln 1 2

− Z 2

1

t 2 dt =

2²ln 2

2 −1²ln 1 2

− 1 2

Z 2 1

t dt

= 2 ln 2 − 1 2

t² 2

2 1

= 2 ln 2 − 2²−1² 4

= 2 ln 2−3 4

2

(3)

Á On souhaite calculer l’int´egrale

J = Z 1

0

te^tdt

Il n’est l`a encore pas possible de d´eterminer une primitive de la fonction

f(t) =te^t

Par contre, celle-ci se d´ecompose comme le produit de deux fonctions t→t et t→e^t. Posons alors : u(t) =e^t v(t) =t

On observe alors que u et v sont de classe C¹ sur l’intervalle [0,1]et que u⁰(t) =e^t v⁰(t) = 1 D’apr`es la formule d’IPP, on d´eduit que

J = Z 1

0

u⁰(t)v(t)dt = [u(t)v(t)]¹₀ − Z 1

0

u(t)v⁰(t)dt

=

te^t1 0 −

Z 1 0

e^tdt

= e¹−0×e⁰

− Z 1

0

e^tdt

= e −

e^t1

0 = e − (e−1) = 1

Déterminer la valeur des intégrales suivantes en appliquant la méthode d’intégration par parties : J1=

Z 1 0

xe^−x dx J2 = Z 1

0

x²e^x² dx J3= Z 1

0

(x²+ 1)e^−x dx

J4= Z 1

0

x ln(2x+ 1)dx J5 = Z e

1

lnx dx J6 = Z 1

0

(x²+ 3x−2) lnx dx J₇ =

Z 1 0

ln(1 + 2x)

(1 + 2x)³ dx J₈ = Z 2

1

ln

1 +1 x

dx Exercice 2.

¸ Comment utiliser la formule de changement de variable ?

Soit f une fonction continue sur [a, b] et ϕune fonction de classe C¹ et bijective de [a, b] sur ϕ([a, b]) alors en posantu=ϕ(t) et donct=ϕ⁻¹(u) on a :

Z b a

f(t)dt= Z ϕ(b)

ϕ(a)

f(ϕ⁻¹(u))× [ϕ⁻¹]⁰(u)du Th´eor`eme.

ATTENTION : il ne faut pas oublier de modifier les bornes d’int´egration, ni le terme [ϕ⁻¹]⁰(u) temoin du passage d’une variable `a une autre!!!

Exemple.

Calcul de

I = Z 1

0

t 2t+ 1dt Utilisons le changement de variable bijectif u=ϕ(t) = 2t+ 1 tel que

t= u−1

2 =ϕ⁻¹(u) 3

(4)

Il vient alors que

[ϕ⁻¹]⁰(u) = 1

2 que l’on note plus simplement dt du = 1

2

Cette relation permet de comprendre qu’il faut remplacer le terme d’int´egration par rapport `a la variablet, dt, non pas par du mais par ¹₂ du!!!

De plus, il nous faut modifier les bornes d’intégration pour les adapter à la nouvelle variable d’intégration, u.

Lorsque t= 0 alorsu = 1(ou autrement dit ϕ(0) = 1) et lorsque t= 1alors u= 3 (ou autrement dit ϕ(1) = 3).

On d´eduit ainsi que :

t

2t+ 1 dt=

u−1 2

u 1

2 du= u−1

4u du= 1 4

1− 1

u

du et finalement

I = Z 3

1

1 4

1− 1

u

du= 1 4

Z 3 1

1du− Z 3

1

1 u du

= 1 4

[u]³₁−[ln(|u|)]³₁

= 1

4(2−ln(3))

En appliquant les changements de variables indiqués entre parenthèses, calculer les intégrales suivantes H₁ =

Z 1 0

t√

3t+ 1dt (u= 3t+ 1), H₂= Z e

1

lnt

t dt (u= lnt), H₃= Z 1

0

dt

e^t+ 1 (u=e^t) H₄=

Z 1 1/2

1 x(x+ 1)ln

x x+ 1

dx (t= x

x+ 1), H₅= Z 2

1

ds

s(s³+ 1) (α=s³+ 1)

H₆= Z ₀

−1

u³du (u²+ 1)√

u²+ 1 (v=u²+ 1), H₇ = Z3

0

t.ln(t²+ 1)

t²+ 1 dt (x=t²+ 1) Exercice 3.

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