Master 2 Math´ematiques appliqu´ees- Module “Matrices al´eatoires”
Partiel du 7 avril 2016
Notes de cours autoris´ees. La pr´esentation et la propret´e de la copie entreront en compte dans l’´evaluation.
Exercice. Loi de Cauchy et convolution libre. On consid`ere la variable de Cauchy standard C ayant pour densit´e
1 π(1 +x2) surR. On note
GC(z) = E 1
z− C
= 1 π
Z
R
dx (z−x)(1 +x2) sa transform´ee de Cauchy-Stieltjes, d´efinie pour toutz tel que =z >0.
(a) D´ecomposer 1/(1 +x2) en deux ´el´ements simples surCet en d´eduire par un calcul de r´esidus que
GC(z) = 1 z+ i·
(b) Montrer que C n’a aucun moment entier.
(c) On noteRC la transform´ee de Voiculescu de C, dont on rappelle qu’elle peut ˆetre d´efinie par inversion de GC. Montrer `a l’aide du (a) que RC est constante et vaut −i.
(d) En d´eduire queC C = 2d C,o`ud´esigne la somme libre. Quelle analogie faites- vous avec la somme ind´ependante classique de deux variables de Cauchy ? Avec la somme libre de deux variables al´eatoires semi-circulaires ?
(e) Plus g´en´eralement, soit X une variable al´eatoire quelconque sur R. On note GX+C et GXC les transform´ees de Cauchy-Stieltjes respectives de X +C (somme ind´ependante classique) et X C (somme libre). Montrer `a l’aide du (a) et du (c) que
GX+C(z) = GXC(z) = GX(z+ i).
En d´eduire que X+ C =d X C.
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