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Prénom : MATHEMATIQUES

Devoir Surveillé 7 - durée : 4 h ECE 1 24 mars 2010 Les documents, la calculatrice, et tout matériel électronique sont interdits.

Le soin, la précision et la qualité de la rédaction seront pris en compte dans la notation.

Cours.

1. Qu'est-ce qu'une matrice diagonale ?

2. Quand dit-on qu'une fonction est de classeC^∞? Exercice I.

On considère la suite dénie par u₀= 1, u₁ = 2, et ∀n∈N, u_n+2 = 4u_n+1−3u_n. On donne la matrice M =

4 −3 1 0

. On pose aussi, ∀n∈N, Xn= u_n+1

u_n

! . 1. a. Montrer que ∀n∈N, X_n+1=M X_n.

b. En déduire que ∀n∈N, Xn=MⁿX0. 2. Soit la matriceP =

3 1 1 1

. a. Montrer queP⁻¹ = 1

2

1 −1

−1 3

. b. Vérier queP⁻¹M P =

3 0 0 1

. On noteD cette matrice diagonale.

3. a. DonnerDⁿ, pourn∈N.

b. Démontrer que ∀n∈N^∗, Mⁿ=P DⁿP⁻¹, et calculer ses coecients.

c. En déduire X_n, puis u_n en fonction den∈N.

Exercice II.

On considère la suite récurrente dénie par : u0 = 5 etun+1=f(un), où f est la fonction dénie surR^∗+ parf(x) = ln(3x+ 1).

1. Montrer par récurrence que la suite u est bien dénie, avec ∀n∈N, un>0.

2. Compléter le programme, faisant intervenir la fonctionf, an de simuler u₁₀.

3. Pour x > 0, vérier que l'appel à la fonction f pour calculerf(x) nécessite2 aectations.

4. En supposant que l'appel à la fonction prédénie lncompte pour une opération, vérier que l'appel à la fonctionf pour calculerf(x)nécessite3 opérations.

5. Quelle est la complexité du programme ?

PROGRAM suite_recurrente ; VAR u :... ;

k :... ; FUNCTION f(x :real) :real ;

VAR p :real ; BEGIN

p :=... ; f :=p ;

END ; BEGIN

u :=... ;

FOR k :=...TO...DO ... ;

writeln('on a u(10)=',...) ; END.

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Problème.

On considère la fonctionf dénie sur]0; +∞[parf(x) =e⁻ 1 x. On noteC_f sa courbe représentative.

On rappelle que ∀α >0, lim

X→+∞X^αe^−X = 0. Partie A.

1. a. Justier le fait quef soit continue sur R^∗+.

b. Calculer les limites de f aux bornes de son ensemble de dénition.

c. En déduire quef est prolongeable par continuité en0. On pose donc f(0) = 0. f est maintenant continue sur R+.

2. Montrer quef est strictement monotone, et donner son sens de variation.

3. Montrer que ∀x >0, f⁰⁰(x) = 1−2x x⁴ e⁻

1 x.

4. Trouver alors le(s) point(s) d'inexion def, et étudier sa convexité.

5. Déterminer l'équation de la tangenteT à Cf en x= 1 2. Partie B.

1. a. En utilisant éventuellement les résultats de A.1 et 2., montrer quef est bijective deR+sur[0; 1[. b. Combien vaut f⁻¹(0)?

c. Poury∈]0; 1[, montrer quef⁻¹(y) = 1 ln(¹_y).

2. Quel est le sens de variation def⁻¹? Justier brièvement, sans dériver.

3. a. Poury∈]0; 1[, calculer f⁻¹0

(y).

b. f⁻¹ est-elle dérivable en0? Que peut-on en déduire pour la courbe représentativeC_f⁻¹ de f⁻¹? 4. Tracer l'allure de C_f⁻¹ sur l'annexe, en utilisant le tracé deC_f.

Partie C.

On considère la fonctiong dénie sur Rparg(x) =

( f(x) , six >0 x² , six≤0 1. Expliquer rapidement pourquoig est de classeC^∞ surR^∗+ et surR^∗−. 2. Montrer queg est continue en0.

3. Montrer queg est dérivable en0. Est-elle deux fois dérivable ? 4. En déduire le plus grand entierk tel que g∈C^k(R).

Question supplémentaire.

Comment aurait-on pu prolongerf surR−, de manière à obtenir une fonction de classeC^∞surR? Justier.

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Annexe

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