A460 - Reconstitution des règles du jeu.

A460 - Reconstitution des règles du jeu.

Solution

Si a et b sont deux entiers premiers entre eux, alors il existe un entier n tel que pour tout Nn, N peut s’exprimer comme combinaison linéaire de a et b, c’est à dire qu’il existe p et q 0 tels que N = p*a + q*b.

Le nombre de valeurs entières que N ne peut pas atteindre est égal à (a-1).(b-1)/2.

Réciproquement, si un nombre N est la combinaison linéaire de deux entiers a et b telle que le nombre des valeurs que N ne peut pas atteindre est borné, alors a et b sont premiers entre eux et le nombre de valeurs impossibles est (a-1)(b-1)/2.

Si le nombre de scores que Diophante ne peut pas atteindre est égal à 35, on en déduit (a- 1).(b-1)=70 = 70.1 = 35.2 = 14.5=10.7.

D’où les valeurs possibles des couples (a,b) = (71,2), (36,3), (15,6) et (11,8). On élimine les 2^ème et 3^ème couples car a et b ont des facteurs communs.

Le couple (71,2) permet d’atteindre 58 avec la combinaison 0.71 + 29.2 = 58. Seul le dernier couple (11,8) est susceptible d’être retenu. Comme il est impossible d’établir le score de 58 à partir d’une combinaison linéaire de 11 et 8, on en conclut que les scores marqués par

Diophante lorsqu’il obtient un chiffre pair et impair sont respectivement de 11 et 8 points.