D1913. Un concours de symétries Problème proposé par Dominique Roux.
On donne dans le plan 4 pointsA,B,C,D. On prend les symétriques d’une droite variableLpas- sant parD, par rapport à chacun des 3 côtés du triangleABC.
Comment choisirLpour que les 3 droites obtenues soient concourantes en un pointE? Quel est l’ensemble des pointsDdonnant ainsi le même pointE?
Solution de Claude Felloneau
La droiteLdoit passer par l’orthocentreHdu triangleABC.
SiD6=H,L=(D H). SiD est confondu avecH, toute droite passant parDconvient.
SiEest sur le cercleC circonscrit au triangleABC, l’ensemble des pointsDdonnant le pointEest la droite de Steiner associée àE. SiE∉C , aucun pointDne donneE.
On note respectivements1,s2,s3les symétries axiales par rapport aux droites (AB), (BC) et (C A).
On poseL1=s1(L),L2=s2(L),L3=s3(L). Le cercle circonscrit au triangleABCest notéC. Les mesures en radians des angles orientés³−→
AB,−→
AC´ ,³−→
BC,−→
B A´ et³−−→
C A,−→
C B´
sont respectivement no- téesα,βetγ.
On a :
L2=s2◦s3(L3)=r(L3) oùrest la rotation de centreCet d’angle 2γ, L1=s1◦s3(L3)=r0(L3) oùr0est la rotation de centreAet d’angle−2α, L1=s1◦s2(L2)=r00(L2) oùr00est la rotation de centreBet d’angle 2β.
Remarque : les trois droitesL1,L2etL3ne sont pas confondues si A, B et C ne sont pas alignés (ce qui est le cas puisqu’on parle de triangle ABC).
En effet, siL2=L3, le projeté orthogonal du centreC de la rotationr surL3est invariant parr, c’est doncC.
De même, siL1=L3alorsAappartient àL3, et siL1=L2alorsBappartient àL2. Comme A, B et C ne sont pas alignés,L1,L2etL3ne peuvent être confondues.
1. Si les droitesL1,L2etL3sont concourantes en un pointEalors l’orthocentreHdu triangleABC appartient àL.
Preuve :
CommeE∈L2etL2=r(L3) , il existe un pointF deL3tel queE=r(F). CommeEappartient à L3, on en déduit que³−→
EC,−→u´
≡π
2−γ[π] où→−u est un vecteur directeur deL3. De même,E∈L1etL1=r0(L3), donc³−→u,−→
E A´
≡π
2−α[π].
On a donc³−→
EC,−→
E A´
≡π
2−γ+π
2−α[π], donc³−→
EC,−→
E A´
≡β[π].
Ainsi³−→
EC,−→
E A´
≡³−→
BC,−→
B A´
[π]. Les pointsA,B,C,Esont donc cocycliques. AinsiEappartient au cercleC.
La démonstration précédente est valable siE6=CetE6=Amais la conclusion reste valable siE est confondu avecAouC.
CommeEappartient àC, les symétriques deEpar rapport aux côtés du triangleABCsont ali- gnés sur la droiteLqui est la droite de Steiner∆Edu pointE. Elle passe parH.
De plus, les pointsD donnant le mêmeEsont les points de la droite∆E. 2. SiLpasse parHalors les droitesL1,L2etL3sont concourantes.
Preuve :
On poseHi=si(H) pouri=1, 2 ou 3.
Quitte à permuter les sommets du triangleABC, on peut supposer queLn’est pas parallèle à (AC).
La droiteL3passe par le pointH3qui appartient au cercleC. De plus, elle n’est pas parallèle à (AC) sinonLle serait également, doncL3n’est pas tangente au cercleC, et recoupeC en un pointE, distinct deH3.
La droite de Steiner ∆E du point E passe par s3(E) et H qui sont deux points distincts (car E6=H3) de la droiteL. Donc∆E=L.
Ainsis1(E)∈Lets2(E)∈L, doncE∈L1etE∈L2.
CommeL1,L2etL3ne sont pas confondues, elles sont concourantes enE.
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