Démontrer qu’il est toujours possible de représenter :
Q₁ - un entier positif de la forme 3k – 2 avec k entier ≥ 1 comme la somme d’un carré parfait et de deux cubes parfaits.
Q₂ - un entier positif quelconque comme la somme d’un carré parfait et de trois cubes parfaits.
Q₃ - un entier quelconque comme la somme de cinq cubes parfaits pas nécessairement distincts.
Q₄ - un entier positif ou nul sous la forme a² + b² – c² avec a,b,c entiers positifs distincts , 0 < a <
b < c.
Q₅ - un entier quelconque sous la forme 1² 2² …. n² avec un certain entier n et le choix convenable du signe « + » ou « – » précédant chacun des termes k² avec k = 1,2...,n
Q1 : (k+3)3-k3=9k2+27k+27=(3k+5)2-3k+2, donc 3k-2=(3k+5)2+k3+(-k-3)3
Q2 : En ajoutant 0, 1 ou 8 à un entier de la forme 3k-2, on peut obtenir n’importe quel entier : la deuxième proposition découle donc directement de la première.
Q3 : (k+1)3+(k-1)3+2(-k)3=6k : tout multiple de 6 est somme de 4 cubes (dont 2 égaux) ; en ajoutant ±1, ±8 ou ±27, on peut obtenir tout entier comme somme de 5 cubes.
Q4 : Nous avons 0=32+42-52, 1=42+72-82, 2=52+112-122 ; plus généralement, puisque (n+3)2=n2+6n+9, n=(n+3)2-(n2+5n+9) ; n2+5n+9 est de la forme 2m+1=(m+1)2-m2, avec m=(n+2)(n+3)/2+1 ; donc n=(n+3)2+((n+2)(n+3)/2+1)2-((n+2)(n+3)+2)2
Q5 : Les nombres n de la forme 4k-1 et 4k donnent des entiers pairs tandis que ceux de la forme 4k+1 et 4k+2 donnent des entiers impairs. De plus, la symétrie autorise à ne s’intéresser qu’aux entiers positifs .
Si, par la formule ±12±22±...±n2, tous les nombres de même parité peuvent être obtenus jusqu’à (n+1)2, alors la formule ±12±22±...±n2±(n+1)2 permet d’obtenir tous les
nombres de même parité jusqu’à 2(n+1)2, qui est supérieur à (n+2)2 dès que n≥2. Pour démontrer la propriété par récurrence, il suffit alors de vérifier avec un tableur que, pour n=10, on peut obtenir tous les nombres impairs inférieurs à 127 (>112).
