E137. © RG
Une suite S de Richard Guy est une collection de fractions telles que le dénominateur de la (k + 1)ième fraction est égal au numérateur de la kième fraction tandis que le numérateur de (k + 1)ième fraction est égal au plus petit carré parfait compatible avec une suite S strictement croissante.
Par exemple si la kième fraction est égale à 25/9, le dénominateur de la (k +1)ième fraction est égal à 25 et son numérateur est égal à 81 qui est le plus petit carré parfait tel que 81/25 > 25/9.
Q1 Le premier terme de la suite S est la fraction 4/1. Déterminer la valeur limite de S ou prouver que S croit indéfiniment.
Q2 Démontrer qu’il existe une suite S dont les numérateur et dénominateur de la première fraction sont deux entiers positifs strictement inférieurs à 100 telle qu’au-delà de la quinzième fraction, le carré de 2020 apparaît dans deux fractions consécutives.
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Solution de Paul Voyer
Q1
La suite S est décrite dans http://oeis.org/A001519, les carrés des termes sont décrits dans http://oeis.org/A001519.
Elle est infinie.
Q2
Au moins une telle suite est présente.
94 111 132 157 187 223 266 318 381 457 549 660 794 956 1152 1389 1675 2020 2437 80 94 111 132 157 187 223 266 318 381 457 549 660 794 956 1152 1389 1675 2020
