E570 - Des questions bien ciblées [*** à la main]

(1)

E570 - Des questions bien ciblées [*** à la main]

Problème proposée par Michel Lafond

Zig et Puce jouent au jeu suivant :

Zig choisit en secret deux nombres consécutifs a, a+1 dans E = {1, 2, 3, …, 28}.

Puce essaie de les deviner en posant des questions.

Une question de Puce consiste à proposer à Zig un sous-ensemble F de E.

La réponse de Zig est le nombre [0, 1 ou 2] d’éléments communs à F et {a, a + 1}.

Quel est le nombre minimal de questions que Puce doit poser pour trouver à coup sûr a et a + 1 ?

Solution proposée par Bernard Vignes

E est constitué des 28 entiers consécutifs de 1 à 28. Il y a donc 27 couples d'entiers consécutifs 1-2 à 27-28 qui constitue l'ensemble E: {(1,2),(2,3),(3,4),....(27,28)}.

Chaque question peut recevoir trois réponses : 0, 1 ou 2 soit 3 modalités et l'on observe que 3³

= 27. Si l'on parvient à établir une partition de E en trois-sous-ensembles E₀,E₁ etE₂ qui contiennent chacun 9 éléments tels qu'à chaque sous-ensemble est associé une réponse bien déterminée, on est ramené à un problème avec 9 couples d'entiers.

Avec l'ensemble E'i ( i = 0,1ou 2) ainsi retenu, on poursuit le processus de partition en trois sous-ensembles de 3 + 3 + 3 couples d'entiers.

Une troisième et dernière partition permet d'isoler les deux entiers choisis par Zig.

En théorie, il y a donc un minimum de trois questions que Puce doit poser à Zig.

Est-ce possible? La réponse est affirmative.

Puce choisit l'ensemble F suivant constitué de 14 éléments :

{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,12,14,16,18} auquel il peut associer trois sous-ensembles de couples d'entiers:

F₂ : {(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),(5,6),(6,7),(7,8),(8,9),(9,10)}.

Ce sont les couples d'entiers consécutifs de 1 à 10 qui sont présents dans F, F₁ : {(10,11),(11,12),(12,13),(13,14),(14,15),(15,16),(16,17),(17,18),(18,19)}.

Ce sont les couples d'entiers consécutifs de 10 à 19 dont l'un des termes est dans F et le second dans E ‒{F],

F₀ :{(19,20),(20,21),(21,22),(22,23),(23,24),(24,25),(25,26),(26,27),(27,28)}.

Ce sont les couples d'entiers consécutifs de 19 à 28 qui sont absents de F.

Si Puce reçoit pour réponse n° i, alors le couple {a,a + 1} choisi par Zig appartient à F_i. Avec la réponse à la première question, le problème avec 28 = 3³ + 1 entiers consécutifs est ainsi ramené à un problème avec 10 = 3² + 1 entiers consécutifs qui réclame deux questions seulement.

Il est aisé de bâtir un enchaînement de questions et de réponses sur le même principe: on dispose d'une suite Sp de 3^p+ 1 entiers consécutifs et la question posée contient une suite de (3^p+ 1)/2 entiers avec les 3^{p - 1}+ 1 premiers termes consécutifs de Sp complétés par (3^p-1‒ 1)/2 entiers constituant une série arithmétique de raison 2.

1er cas: réponse = 2

Puce choisit l'ensemble G de 5 entiers : {1,2,3,4,6} auquel il peut associer trois sous- ensembles de couples d'entiers G₂: {(1,2},(2,3),(3,4)},G₁ : {(4,5),(5,6),(6,7)} et G₀:

{(7,8),(8,9),(9,10)}.

3 cas à nouveau sont possibles:

(2)

- si la réponse est 2, Puce propose (1,2). Si la réponse est 2,le couple choisi par Zig est (1,2);

si la réponse est 1, le couple choisi est (2,3) et si la réponse est 0, le couple choisi est (3,4) - si la réponse est 1, Puce propose (4,5). Si la réponse est 2, le couple choisi par Zig est (4,5);

si la réponse est 1, le couple choisi est (5,6) et si la réponse est 0, le couple choisi est (6,7).

- si la réponse est 0, Puce propose (7,8). Si la réponse est 2, le couple choisi par Zig est (7,8);

si la réponse est 1, le couple choisi est (8,9) et si la réponse est 0, le couple choisi est (9,10).

2ème cas: réponse = 1

Puce choisit l'ensemble G de 5 entiers : {10,11,12,13,15} auquel il peut associer trois sous- ensembles de couples d'entiers G₂: {(10,11},11,12),12,13)},G₁ : {(13,14),(14,15),(15,16)} et G₀: {(16,17),(17,18),(18,19)}.

- si la réponse est 2, Puce propose (10,11). Si la réponse est 2,le couple choisi par Zig est (10,11); si la réponse est 1, le couple choisi est (11,12) et si la réponse est 0, le couple choisi est (12,13)

- si la réponse est 1, Puce propose (13,14). Si la réponse est 2, le couple choisi par Zig est (13,14); si la réponse est 1, le couple choisi est (14,15) et si la réponse est 0, le couple choisi est (15,16).

3ème cas: réponse = 0

Puce choisit l'ensemble G de 5 éléments : {19,20,21,22,24} auquel il peut associer trois sous- ensembles de couples d'entiers G₂: {(19,20},(20,21),(21,22)},G₁ : {(22,23),(23,24),(24,25)}

et G₀: {(25,26),(26,27),(28,29)}.

- si la réponse est 2, Puce propose (19,20). Si la réponse est 2,le couple choisi par Zig est (19,20); si la réponse est 1, le couple choisi est (20,21) et si la réponse est 0, le couple choisi est (21,22)

Nota

La même méthode de partition d'un ensemble de 3^k + 1 entiers consécutifs de 1 à 3^k + 1 est toujours valable pour déterminer en k questions un couple (a, a + 1) choisi parmi les 3^k couples d'entiers (1,2) à (3^k, 3^k+ 1)