E570 - Des questions bien ciblées

E570 - Des questions bien ciblées Problème proposé par Michel Lafond

Zig et Puce jouent au jeu suivant :

Zig choisit en secret deux nombres consécutifs a, a+1 dans E = {1, 2, 3, …, 28}.

Puce essaie de les deviner en posant des questions.

Une question de Puce consiste à proposer à Zig un sous-ensemble F de E.

La réponse de Zig est le nombre [0, 1 ou 2] d’éléments communs à F et {a, a + 1}.

Quel est le nombre minimal de questions que Puce doit poser pour trouver à coup sûr a et a + 1 ?

Solution proposée par Patrick Gordon Commençons par E = {1, 2, 3, …, 10}

On remarque que a ne peut prendre que 9 valeurs : 1, 2…9. Si Puce pose ses questions avec assez d'habileté pour que les 3 réponses [0, 1 ou 2] soient à chaque fois possibles, il doit s'en tirer avec deux questions seulement puisque 3² = 9.

Il faut naturellement que la première question donne, pour chacune des réponses [0, 1 ou 2], un triplet de valeurs de a.

Cela exclut les F1 "compacts" tel F1 = {1 à 4} car on est loin d'une répartition en 3 triplets :

1. Si la réponse est 1, a = 4 2. Si la réponse est 0, a = {5 à 9}

3. Si la réponse est 2, a = {1 à 3}

En revanche, un F1 tel que F1 = {1, 2, 3, 4, 6}, à peine différent du précédent, donne :

1. Si la réponse est 0, a = {7, 8, 9}

2. Si la réponse est 1, a = {4, 5, 6}

3. Si la réponse est 2, a = {1, 2, 3}

La seconde question, si elle est bien posée, pourra toujours, avec 3 réponses possibles [0, 1 ou 2], départager entre les 3 cas possibles.

Par exemple, pour a = {7, 8, 9}, on posera la question F2 = {7, 8} et alors :

1. Si la réponse est 0, a = 9 2. Si la réponse est 1, a = 8 3. Si la réponse est 2, a = 7.

Pour a = {4, 5, 6}, on posera la question F₂ = {4, 5} et alors :

1. Si la réponse est 0, a = 6 2. Si la réponse est 1, a = 5 3. Si la réponse est 2, a = 4.

Pour a = {1, 2, 3}, on posera la question F2 = {1, 2} et alors :

1. Si la réponse est 0, a = 3 2. Si la réponse est 1, a = 2 3. Si la réponse est 2, a = 1.

Extension à E = {1, 2, 3, …, 28}

Il faut que la première question donne, pour chacune des réponses [0, 1 ou 2], 9 valeurs de a.

C'est le cas si F₁ = {1 à 10; 12, 14, 16, 18}.

En effet :

1. Si la réponse est 2, a = {1 à 9}

2. Si la réponse est 1, a = {10 à 18}

3. Si la réponse est 0, a = {19 à 27}

On est alors ramené au problème précédent et il est établi que, dans le cas k = 3, Puce peut s'en tirer avec 3 questions seulement.

Extension au cas général E = {1, 2, 3, …, 3^k + 1}

Il faut que la première question donne, pour chacune des réponses [0, 1 ou 2], 3^k-1 valeurs de a.

Par analogie avec ce que dessus, on est amené à construire F1 avec :

- les premiers entiers, de 1 à 3^k-1 + 1 - aucun entier au-delà de 2 × 3^k-1.

Reste à choisir des entiers entre 3^k-1 + 1 exclu et 2 × 3^k-1 inclus, soit une plage de 3^k-1 – 1 nombres.

Si on les prend de 2 en 2, on construit F₁ avec :

- les premiers entiers, de 1 à 3^k-1 + 1

- les entiers de 2 en 2, de 3^k-1 + 3 à 2 × 3^k-1. Dans le cas k = 2 du début, on retrouve bien :

- les premiers entiers, de 1 à 4,

- les entiers de 2 en 2, "de 6 à 6", c’est-à-dire le seul 6.

Dans le cas de k = 3, on retrouve bien :

- les premiers entiers, de 1 à 10, - les entiers de 2 en 2, de 12 à 18.

On montre aisément que :

1. Si la réponse est 2, a = {1 à 3^k-1}

2. Si la réponse est 1, a = {3^k-1 + 1 à 2 × 3^k-1} 3. Si la réponse est 0, a = {2 × 3^k-1 +1 à 3^k}

On a bien départagé 3 ensembles de chacun 3^k-1valeurs de a et on est ramené au problème précédent pour k – 1.

Il est ainsi établi que, dans le cas général, Puce peut s'en tirer avec k questions seulement.