E570 - Des questions bien ciblées [*** à la main]
Problème proposée par Michel Lafond
Zig et Puce jouent au jeu suivant :
Zig choisit en secret deux nombres consécutifs a, a+1 dans E = {1, 2, 3, …, 28}.
Puce essaie de les deviner en posant des questions.
Une question de Puce consiste à proposer à Zig un sous-ensemble F de E.
La réponse de Zig est le nombre [0, 1 ou 2] d’éléments communs à F et {a, a + 1}.
Quel est le nombre minimal de questions que Puce doit poser pour trouver à coup sûr a et a + 1 ? Solution proposée par Marie-Christine Piquet
Puce peut procéder comme ceci sachant qu'il existe 27 couple possibles .Il compartimente la liste de nombres en 3 types de sous ensembles , un sous ensemble de nombres consécutifs , un sous ensemble de nombres pairs consécutifs et enfin un sous ensemble masqué .
En effet , lorsque Puce propose une liste il peut obtenir 3 réponses différentes 0 , 1 ou 2
Il y a donc au départ 3 familles de 10 nombres : 1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 - 7 - 8 - 9 - 10 19 - 20 - 21 - 22 - 23 - 24 - 25 - 26 - 27 - 28 10 - 11 - 12 - 13 - 14 - 15 - 16 - 17 - 18 - 19 Il propose cette liste :
{ 1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 - 7 - 8 - 9 - 10 - 12 - 14 - 16 - 18}
le sous ensemble masqué étant { 19 - 20 - 21 - 22 - 23 - 24 - 25 - 26 - 27 - 28 }
A) la réponse est 0 , Puce oublie les 18 premiers nombres et va utiliser la même stratégie en proposant la seconde liste.
Il propose alors cette liste : { 19 - 21 - 22 - 23 - 24 } _ le sous ensemble masqué étant (25 - 26 - 27 - 28) 1) si 0 --> il reste en jeu les nombres 25 - 26 - 27 - 28 et il propose finalement {25 - 26}
_si 0 la réponse est (27 - 28) _si 1 la réponse est (26 - 27) _si 2 la réponse est (25 - 26)
2) si 1 --> il reste en jeu les nombres 19 - 20 - 21 - 24 & 25 ; il propose finalement {19 - 20}
_si 0 la réponse est (24 - 25) _si 1 la réponse est (20 - 21) _si 2 la réponse est (19 - 20)
3) si 2 --> il reste en jeu les nombres 21 - 22 - 23 - 24; il propose finalement {21 - 22}
_si 0 la réponse est (23 - 24) _si 1 la réponse est (22 - 23) _si 2 la réponse est (21 - 22)
B) la réponse est 1 ett Puce conserve la même stratégie et va travailler avec les 10 nombres centraux: 10 -11-12-13-14-15-16-17-18-19 Il propose alors la liste { 10 - 12 - 13 - 14 - 15 }, le sous ensemble masqué étant { 16 - 17 - 18 - 19 }
1) si 0 --> il reste les 4 nombres 16 - 17 - 18 - 19 et il propose { 16 - 17 } _si 0 la réponse est ( 18 - 19)
_si 1 la réponse est ( 17 - 18) _si 2 la réponse est ( 16 - 17)
2) si 1 --> il reste en jeu les nombres 10 - 11 - 12 - 15 & 16 et il propose { 10 - 11 } _si 0 la réponse est ( 15 - 16)
_si 1 la réponse est (11 - 12) _si 2 la réponse est ( 10 - 11)
3) si 2 --> il reste en jeu les nombres 12 - 13 - 14 - 15 et il propose { 12 - 13 } _si 0 la réponse est ( 14 - 15)
_si 1 la réponse est ( 13 - 14) _si 2 la réponse est ( 12 -13)
C) la réponse est 2 , on est alors sur la liste { 1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 - 7 - 8 - 9 - 10 } et Puce propose la liste suivante: { 1 - 3 - 4 - 5 - 6 }
1) si 0 , il reste les nombres 7 - 8 - 9 - 10 et il propose { 7 - 8 } _si 0 la réponse est ( 9 - 10)
_si 1 la réponse est ( 8 - 9)
_ si 2 la réponse est ( 7 - 8)
2) si 1 , il reste 1 - 2 - 3 - 6 - 7 et il propose { 1 - 2 } _si 0 la réponse est ( 6 - 7)
_si 1 la réponse est ( 2 - 3) _si 2 la réponse est ( 1 - 2)
3) si 2 , il reste 3 - 4 - 5 - 6 et il propose { 3 - 4 } _si 0 la réponse est ( 5 - 6)
_si 1 la réponse est ( 4 - 5) _si 2 la réponse est ( 3 - 4)
Ainsi les 27 couples ont été proposés après 3 questions.
Pour trouver un couple de nombres consécutifs sachant qu'il y a 3 réponses possibles :
- avec un ensemble de 3 + 1 = 4 nombres successifs il suffit d'une seule question.
- avec un ensemble de 3² + 1 = 10 nombres successifs 2 questions sont nécessaires - avec un ensemble de 3³ + 1 = 28 nombres successifs 3 questions sont nécessaires
Je pense que d'une façon générale pour un ensemble de 3^n + 1 nombres successifs n questions s'avèrent nécessaires et suffisantes.
Avec 3^4 + 1 = 82 nombres successifs on peut répondre après 4 questions et dans ce cas on travaille avec 3 listes de 28 nombres (nombres consécutifs, nombres pairs consécutifs, sous-ensemble masqué) avec la même stratégie que précédemment.
