Des questions bien ciblées
Problème E570 de Diophante
proposé par Michel Lafond
Zig et Puce jouent au jeu suivant :
Zig choisit en secret deux nombres consécutifs a, a+1 dans E = {1, 2, 3, … , 28}. Puce essaie de les deviner en posant des questions.
Une question de Puce consiste à proposer à Zig un sous-ensemble F de E. La réponse de Zig est le nombre [0, 1 ou 2] d’éléments communs à F et {a, a + 1}.
Quel est le nombre minimal de questions que Puce doit poser pour trouver à coup sûr a et a + 1 ?
Solution
Il s'agit d'un questionnaire comportant 27 possibilités, pour lequel chaque questions comporte trois issues. Au minimum, il faut poser trois questions.
Montrons que trois questions suffisent.
Première question : Puce propose F1 = {1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 12, 14, 16, 18}
Si Zig répond 2 alors a est dans {1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9}
sinon si Zig répond 1 alors a est dans {10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18}
sinon Zig répond 0 alors a est dans {19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27}
Dans les trois cas a est dans un intervalle [N, N+9[ avec N = 1, 10 ou 19.
Deuxième question : Puce propose F2 = {N, N+1, N+2, N+3, N+5}
Si Zig répond 2 alors a est dans {N, N+1, N+2}
sinon si Zig répond 1 alors a est dans {N+3, N+4, N+5}
sinon Zig répond 0 alors a est dans {N+6, N+7, N+8}
Dans les trois cas a est dans un intervalle [P, P+3[ avec P=1 modulo 3.
Troisième question : Puce propose F3 = {P, P+1}
Si Zig répond 2 alors a vaut P
sinon si Zig répond 1 alors a vaut P+1 sinon Zig répond 0 alors a vaut P+2 . Dans les trois cas on obtient la réponse.
On pourrait généraliser, en allongeant E et/ou en considérant des triplets ou plus.
