E570. Des questions bien ciblées
E5. Enigmes logiques
Problème proposée par Michel Lafond
Zig et Puce jouent au jeu suivant :
Zig choisit en secret deux nombres consécutifs a, a+1 dans E = {1, 2, 3, …, 28}.
Puce essaie de les deviner en posant des questions.
Une question de Puce consiste à proposer à Zig un sous-ensemble F de E.
La réponse de Zig est le nombre [0, 1 ou 2] d’éléments communs à F et {a, a + 1}.
Quel est le nombre minimal de questions que Puce doit poser pour trouver à coup sûr a et a + 1 ?
Solution proposée par Jean Nicot
Notons Em les m plus petits éléments de E. Il est avantageux pour Puce de proposer un sous-
ensemble Fp des p plus petits éléments de Em. La réponse 1 fournit la solution immédiate {p,p+1} et les autres réponses ramènent à Ep ou Em-p pour une réponse 0.
Une seule question F2 suffit pour résoudre E4. Deux questions suffiront pour résoudre E5 à E8
puisque F4 ramène, au pire, à E4.
Pour En, on trouve le plus grand k tel que n<2k +1 et la première question F2k-1={1,2,…,2k-1} ramène, au pire, à un nombre correspondant à un ensemble E2k-1
Pour n=28, Puce demande F16{les 16 plus petits nombres}, puis F8{les 8 plus petits nombres restants}, puis F4{ les 4 plus petits nombres restants}, puis F2, sauf si une réponse 1 amène une solution
immédiate.
Il suffit de 4 questions au plus, soit, pour En, un nombre de questions au plus égal à la partie entière de log2(n-1) = log(n-1) / log(2).
